1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)空間向量坐標(biāo)新人數(shù)學(xué)空間向量坐標(biāo)新人(xnrn)教教A選修選修第一頁(yè)，共26頁(yè)。空間兩向量空間兩向量(xingling)的夾角的夾角的概念：的概念：ab ),(ba ),(ab 類似地，可定義向量與一軸或空間類似地，可定義向量與一軸或空間(kngjin)(kngjin)兩軸兩軸的夾角的夾角. .特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0 0與與 之間任意取值之間任意取值. . 或者或者(huzh)(huzh)記作記作第2頁(yè)/共26頁(yè)第二頁(yè)，共26頁(yè)?？臻g一點(diǎn)空間一點(diǎn)(y din)在軸上在軸上的投影的投影 A第3頁(yè)/

2、共26頁(yè)第三頁(yè)，共26頁(yè)。空間一向量空間一向量(xingling)在軸在軸上的投影上的投影uA 已知向量的起點(diǎn)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)和終點(diǎn)B在軸在軸 u上的投影分別上的投影分別為為BA , , 那么軸那么軸 u上的有向線段上的有向線段 BA 的值，稱的值，稱為向量在軸為向量在軸u上的投影上的投影. . 第4頁(yè)/共26頁(yè)第四頁(yè)，共26頁(yè)。ABjuPr.BA 向量向量AB在在 軸軸u上的投影記為上的投影記為 關(guān)于向量關(guān)于向量(xingling)(xingling)的投影定的投影定理（理（1 1）向量向量AB在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向上的投影等于向量的模乘以軸與向量量 的夾角的余弦：的

3、夾角的余弦： ABjuPr cos| AB 證明證明(zhngm(zhngmng)ng)B BuAA ABjuPrABju Pr cos| AB 第5頁(yè)/共26頁(yè)第五頁(yè)，共26頁(yè)。定理定理(dngl)1(dngl)1的說的說明：明：投影投影(tuyng)(tuyng)為為正；正；投影投影(tuyng)(tuyng)為為負(fù)；負(fù)；投影為零；投影為零；(4)(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等；uabc,2 第6頁(yè)/共26頁(yè)第六頁(yè)，共26頁(yè)。關(guān)于向量的投影關(guān)于向量的投影(tuyng)(tuyng)定理定理（2 2）AA BB （可推廣到有限（可推廣到有限(yuxin)多個(gè)）

4、多個(gè)）u第7頁(yè)/共26頁(yè)第七頁(yè)，共26頁(yè)。AA BB CC u1a2a 如圖所示，由向量如圖所示，由向量(xingling)(xingling)加加證明證明(zhngmng)(zhngmng)法的三角形法則法的三角形法則(fz)(fz)可知可知. 21aaBCABAC .Pr , Pr , PrCAjACCBjBCBAjAB 由于由于所以所以jACjBCjABPr PrPr 即即).(Pr PrPr2121aajjaja 第8頁(yè)/共26頁(yè)第八頁(yè)，共26頁(yè)。上的投影分別為點(diǎn)上的投影分別為點(diǎn)在軸在軸點(diǎn)點(diǎn)為一條數(shù)軸為一條數(shù)軸為一向量，為一向量，設(shè)設(shè)212121,PPuMMuMMa u,Pr21uua

5、MMj 記記第9頁(yè)/共26頁(yè)第九頁(yè)，共26頁(yè)。由上節(jié)課例由上節(jié)課例3 3，有，有eaPPu 21第10頁(yè)/共26頁(yè)第十頁(yè)，共26頁(yè)。xyz1R2R1P2P1Q2QORQP1M2MN2111MMRMNM 111NMQMPM .11121RMQMPMMM 從而從而(cng r)得到得到由于由于(yuy),)(121ixxiaPMx 由圖可以由圖可以(ky)看出看出,)(121jyyjaQMy .)(121kzzkaRMz 第11頁(yè)/共26頁(yè)第十一頁(yè)，共26頁(yè)。因此因此(ync)(ync)kajaiaMMzyx 21把上式稱為向量把上式稱為向量 按基本單位向量的分解式按基本單位向量的分解式 . .

6、21MM這里這里(zhl)(zhl)xyz1R2R1P2P1Q2QORQP1M2MN,2第12頁(yè)/共26頁(yè)第十二頁(yè)，共26頁(yè)。kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的坐標(biāo)按基本單位向量的坐標(biāo)(zubio)分分解式：解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量(xingling)：向量向量(xingling)的的坐標(biāo)：坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 第13頁(yè)/共26頁(yè)第十三頁(yè)，共26頁(yè)。向量向量(xingling)的加減法、向量的加減法、向量(xingling)與數(shù)與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表

7、達(dá)式的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式第14頁(yè)/共26頁(yè)第十四頁(yè)，共26頁(yè)。解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設(shè)設(shè)為直線為直線(zhxin)上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，例例 2 2 設(shè)設(shè)),(111zyxA和和),(222zyxB為兩已知點(diǎn)，而為兩已知點(diǎn)，而在在AB直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)M分有向線段分有向線段 AB 為兩部分為兩部分AM、MB，使它們的值的比等于某數(shù)，使它們的值的比等于某數(shù))1( ，即，即 MBAM，求分點(diǎn)求分點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo). ABMxyzo第15頁(yè)/共26頁(yè)第十五頁(yè)，共26頁(yè)。由題意由題意(t y)知：知：MBAM 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz 第1

8、6頁(yè)/共26頁(yè)第十六頁(yè)，共26頁(yè)。非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量非零向量(xingling)(xingling)與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角為方向角. .xyzo 1M 2M 第17頁(yè)/共26頁(yè)第十七頁(yè)，共26頁(yè)。由投影由投影(tuyng)(tuyng)定定理可知理可知方向余弦方向余弦(yxin)(yxin)通常用來表示向量的方通常用來表示向量的方向向. .向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)(zubio)表示式表示式21212121RMQMPMMM pQRxyzo 1M 2M 第18頁(yè)/共26頁(yè)第十八頁(yè)，共26頁(yè)。向量向量(xingling)方向余弦

9、的坐標(biāo)表示式方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1M 2M 第19頁(yè)/共26頁(yè)第十九頁(yè)，共26頁(yè)。方向方向(fngxing)余弦的特征余弦的特征特殊特殊(tsh)地，單位向量可表示為地，單位向量可表示為第20頁(yè)/共26頁(yè)第二十頁(yè)，共26頁(yè)。向量向量 例例3 3 設(shè)已知兩點(diǎn)設(shè)已知兩點(diǎn) 和和 . . 計(jì)算計(jì)算 )2, 2 , 2(1M)0 , 3 , 1(2M21MM的摸的摸 ，方向余弦和方向角，方向余弦和方向角. .解解 21MM21MM第21頁(yè)/共26頁(yè)第二十一頁(yè)，共26頁(yè)。例例4 4 設(shè)已知兩點(diǎn)設(shè)已知兩點(diǎn) 和和 . . 求方向和求方向和 一致的單位向量一致的單位向量 . .)5 , 0 , 4(A)3 , 1 , 7(BAB解解AB因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi)于是于是(ysh)(ysh)AB設(shè)設(shè) 為和為和 的方向一致的單位向量，那么由于的方向一致的單位向量，那么由于 o ABo = ABAB即得即得 第22頁(yè)/共26頁(yè)第二十二頁(yè)，共26頁(yè)。解解設(shè)向量設(shè)向量21PP的方向角為的方向角為 、 、 例例5 5 設(shè)有向量設(shè)有向量P P1 1P P2 2 ，已知，已知| |P P1 1P P2 2|=2 |=2 ，它與，它與x x 軸和軸和y y 軸的夾角分別為軸的夾角分別為 和和 ，如果的，如果的 P P1 1 的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1,0,3)(1,0,3)，