1、 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性曲線的凹凸性曲線凹凸性的判別法曲線凹凸性的判別法曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的拐點(diǎn)及其求法第第6章章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性20)( xf0)( xf定理定理6.8, 0)(),()2( xfba內(nèi)內(nèi)如果在如果在單調(diào)增加單調(diào)增加;單調(diào)減少單調(diào)減少.一、函數(shù)單調(diào)性的判別法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法xyO

2、abAB)(xfy xyO)(xfy abAB設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù),在在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).那末函數(shù)那末函數(shù)y = f (x)在在a, b上上那末函數(shù)那末函數(shù)y = f (x)在在a, b上上, 0)(),()1( xfba內(nèi)內(nèi)如果在如果在 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性3證證,21baxx ,21xx 且且 拉氏定理拉氏定理)()()(1212xxfxfxf , 0)( f則則),()(12xfxf , 0)( f則則),()(12xfxf )(21xx , 0)( xf, 0)( xf(1)(2) 此定理不論對(duì)于開(kāi)、閉、

3、有限或無(wú)窮此定理不論對(duì)于開(kāi)、閉、有限或無(wú)窮區(qū)間都正確區(qū)間都正確.注注若在若在(a, b)內(nèi)內(nèi),若在若在(a, b)內(nèi)內(nèi),因?yàn)橐驗(yàn)樗运詙 = f (x)在在a, b上單調(diào)增加上單調(diào)增加;因?yàn)橐驗(yàn)樗运詙 = f (x)在在a, b上單調(diào)減少上單調(diào)減少. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性4例例解解.1e的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xyx. 1e xy,)0,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y,), 0(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y.), 0單調(diào)增加單調(diào)增加函數(shù)在函數(shù)在 ).,( 定義域?yàn)槎x域?yàn)?0,(單調(diào)減少單調(diào)減少函數(shù)在函數(shù)在 因?yàn)橐驗(yàn)樗运运运?6.4 函數(shù)的單調(diào)性

4、與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性5方法方法不存在不存在的根及的根及用方程用方程)(0)(xfxf 問(wèn)題問(wèn)題如上例如上例, 函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的,若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)數(shù)的符號(hào).的的分界點(diǎn)分界點(diǎn)二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào).則該區(qū)間稱為函數(shù)的則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. .導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間可能是單調(diào)區(qū)間的點(diǎn)劃分函數(shù)的點(diǎn)劃分函數(shù)f (x)的定義區(qū)間的定義

5、區(qū)間, 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性6例例解解的的確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23 xxxxf12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx, 11 x. 22 x).,(定義域定義域)1 ,()2 , 1(), 2( x)(xf)(xf 單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為,1 ,(,2 , 1 )., 2 xyO1122,0)(得得解方程解方程 xf單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性7例例解解.)(32的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù)xxf )0(,32)(3 xxxf,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x單調(diào)減少區(qū)間為單調(diào)減少區(qū)間為,0 ,(

6、 )., 0 32xy )0,( ), 0( x)(xf)(xf ).,( 定義域定義域xyO單調(diào)增加區(qū)間為單調(diào)增加區(qū)間為導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(1)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)不一定是單調(diào)區(qū)間駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)不一定是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。的分界點(diǎn)。如如, ,3xy , 00 xy上上但在但在),(注注單調(diào)增加單調(diào)增加.3xy xyO(2):區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)（或無(wú)窮多個(gè)離散點(diǎn)）導(dǎo)數(shù)為區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)（或無(wú)窮多個(gè)離散點(diǎn)）導(dǎo)數(shù)為零零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.如如, ,),(sin 在在xxy內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且xycos1 等號(hào)只在等號(hào)

7、只在), 1, 0()12( kkx (無(wú)窮多個(gè)離散點(diǎn)無(wú)窮多個(gè)離散點(diǎn))處成立處成立,故故),(sin 在在xxy內(nèi)內(nèi)單調(diào)增加單調(diào)增加., 0 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性9例例.)1ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx 單調(diào)性的單調(diào)性的應(yīng)用應(yīng)用: (1) 證明不等式證明不等式.證證),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè)( ).1xfxx;), 0上單調(diào)增加上單調(diào)增加所以在所以在,0時(shí)時(shí)所以當(dāng)所以當(dāng) x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf0)0( f且且 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性10例

8、例證證xxxfxsine21)(2 設(shè)設(shè)xxxfxcose)( , 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在所所以以xf 定不出符號(hào)定不出符號(hào)0)0( f且且0)0( f且且.1 , 0)(Cxf 0 .21sine, 102xxxx 證明證明xxfxsine1)( 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性11 )(,10 xfx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0sine212 xxx,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在所所以以xf )(xf有有)0(f . 0 .1 , 0)(Cxf )0(f. 0 xxxfxcose)(

9、 即即xxxfxsine21)(2 上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在1 , 0)(xf .21sine2xxx 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(a) 方程根的存在性：零點(diǎn)定理方程根的存在性：零點(diǎn)定理(b) 方程根的唯一性：方程根的唯一性：RolleRolle定理或單調(diào)性定理或單調(diào)性(c) 方程根的個(gè)數(shù)：須確定單調(diào)區(qū)間，由區(qū)間方程根的個(gè)數(shù)：須確定單調(diào)區(qū)間，由區(qū)間端點(diǎn)的單側(cè)極限，結(jié)合零點(diǎn)定理確定根的個(gè)端點(diǎn)的單側(cè)極限，結(jié)合零點(diǎn)定理確定根的個(gè)數(shù)以及根所在的區(qū)間。數(shù)以及根所在的區(qū)間。(2) 確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)單調(diào)性的單調(diào)性的應(yīng)用應(yīng)用: 6.4 函數(shù)的單調(diào)性

10、與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性內(nèi)的實(shí)根。在例討論方程) 1 , 0(01223xxx解解, 12)(23xxxxf令令上連續(xù)，上連續(xù)，在在則則 1 , 0)(xf(0)1,(1)3,ff 因由零點(diǎn)定理，由零點(diǎn)定理，內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)。在在1 , 0)(xf時(shí)，時(shí)，1 , 0 x223)( 2xxxf0所以，所以，內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞增，在在1 , 0)(xf因此，因此， f (x)的圖形與的圖形與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)。內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)。在在1 , 0)(xf所以，所以，內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在在1 , 0)(xf即原方

11、程有且僅有一個(gè)根。即原方程有且僅有一個(gè)根。 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性例例 判斷方程判斷方程0|2| xex有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根, 并指出各個(gè)根所在的區(qū)間并指出各個(gè)根所在的區(qū)間. 方法方法：須確定單調(diào)區(qū)間：須確定單調(diào)區(qū)間 、區(qū)間端點(diǎn)值（或單側(cè)極、區(qū)間端點(diǎn)值（或單側(cè)極限），從而判定根的個(gè)數(shù)以及根所在的區(qū)間。限），從而判定根的個(gè)數(shù)以及根所在的區(qū)間。解解( )|2|xf xex令222,2xexxxexx ，12( )1,2xexfxxex，02xx 是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)， 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性22( )2,2xe

12、xxf xxexx ，12( )1,2xexfxxex，02xx 是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，列表列表x)(xf )(xf2( 2,0)0(0,)(, 2) 不存在不存在2e01lim( )lim(2),xxxf xex lim( )lim(2)xxxf xex 有一根有一根有一根有一根有一根有一根 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性16(concave and convex)三、三、曲線曲線凹凸凹凸性的判別法性的判別法1. 定義定義如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向xyOABC 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性17)(xf

13、y )(xfy 1x2x1x2x定義定義6.1,)(baCxf 設(shè)設(shè),2)()()2(2121xfxfxxf 恒有恒有凹凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸凸)221xx 221xx 圖形上任意弧段圖形上任意弧段位于所張弦的下方位于所張弦的下方圖形上任意弧段圖形上任意弧段位于所張弦的上方位于所張弦的上方xyOxyO如果對(duì)如果對(duì)(a, b)內(nèi)任意內(nèi)任意兩點(diǎn)兩點(diǎn)x1, x2,那么稱那么稱f (x)在在(a, b)內(nèi)的圖形是內(nèi)的圖形是 的的. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性18)(xfy )(xfy 曲線弧上每一點(diǎn)的切線都在曲線的曲線弧上每一點(diǎn)的切線都在曲線的

14、下下或或定義定義 (上上)方方,稱為稱為凹凹 弧弧. .(凸凸)凹凹弧的曲線段弧的曲線段)(xf 即即 f (x)的切線斜率是單增的的切線斜率是單增的,是單增的是單增的,弧的切線斜率是單減的弧的切線斜率是單減的,)(xf 即即是單減的是單減的. .而凸而凸利用利用二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的判斷曲線的凹凸性凹凸性從幾何直觀上從幾何直觀上, 隨著隨著x的增大的增大,xyOxyO 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性19遞增遞增)(xf 0)( xf遞減遞減)(xf 0)( xf定理定理6.96.9具有具有二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù),0)( xf若若),0( 凹凹(凸凸)2. 凹凸性的

15、判別法凹凸性的判別法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 如果如果 f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 在在(a, b)內(nèi)內(nèi)在在(a, b)內(nèi)內(nèi),在在a, b上的圖形是上的圖形是 的的.則則 f (x) 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性20證證20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之間之間與與在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf 這說(shuō)明切線位于曲線的下方這說(shuō)明切線位于曲線的下方,),(0bax 任取任取 泰勒公式泰勒公式),(bax 處的切線處的切線在在曲線曲線0)(xxf

16、y 0 20)(! 2)(xxf 即即f (x)是凹的是凹的. .),(bax 0)( xf若若 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性例例.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為為凸凸的的；在在曲曲線線0 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y.), 0為為凹凹的的在在曲曲線線 注注)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn) 凸凸變變凹凹的的分界點(diǎn)分界點(diǎn).是是曲曲線線由由3xy xyO 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性例例 利用函數(shù)圖形的利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式凹凸性證明不等式:凹凸性的應(yīng)用：凹凸性的應(yīng)用：

17、證明不等式證明不等式22)1, 0, 0(2)(21 nyxyxyxyxnnnnttf )( )(tf )(tf)()(21yfxf 即即.2)(21nnnyxyx 證證,1 nnt2)1( ntnn0 yxt,0內(nèi)內(nèi)任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì) 2yxf)0( t設(shè)設(shè)圖形是圖形是凹的凹的. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性證證 法一法一 用單調(diào)性證用單調(diào)性證.法二法二 用凹凸性證用凹凸性證.,2sin)(xxxf ,2cos)( xxf.)(的的圖圖形形是是凸凸的的xf, 0)0( f又又, 0)( xf因因此此.2sinxx .2sin,20:xxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明不等式

18、證明不等式例例xxfsin)( 設(shè)設(shè)則則, 0 , 0)2( f即即 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1.1.定義定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的 拐點(diǎn)拐點(diǎn). .幾何上幾何上二、曲線的二、曲線的拐點(diǎn)拐點(diǎn)及其求法及其求法3xy xyO0)( xf0)( xf 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性25,)(0變號(hào)變號(hào)兩近旁兩近旁xfx ,)(0不變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfx 拐點(diǎn)的充分條件拐點(diǎn)的充分條件0)(0 xf且且2. 拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法 拐點(diǎn)也可能出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處拐點(diǎn)也可能出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)不存

19、在的點(diǎn)處. .拐點(diǎn)的必要條件拐點(diǎn)的必要條件若若f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),則點(diǎn)則點(diǎn). 0)(0 xf(1)(2)(x0, f (x0)是拐點(diǎn)的是拐點(diǎn)的必要條件為必要條件為(或或x0為二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)二階二階可導(dǎo)可導(dǎo),點(diǎn)點(diǎn)(x0, f (x0)即為即為拐點(diǎn)拐點(diǎn);點(diǎn)點(diǎn)(x0, f (x0)不是不是拐點(diǎn)拐點(diǎn). . 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一般求拐點(diǎn)的步驟一般求拐點(diǎn)的步驟求二階導(dǎo)數(shù)求二階導(dǎo)數(shù); 求二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)與二階不可導(dǎo)點(diǎn)求二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)與二階不可導(dǎo)點(diǎn);求相應(yīng)區(qū)間的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)求相應(yīng)區(qū)間

20、的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別凹凸性判別凹凸性;求拐點(diǎn)求拐點(diǎn).(1)(2)(3)(4) 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性27例例.95)2(235的拐點(diǎn)及凹、凸性的拐點(diǎn)及凹、凸性求曲線求曲線xxy 解解),( ,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得 不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)y 不存在不存在定義域?yàn)槎x域?yàn)?1)(2). 22 x(3) 列表列表x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))920, 2( )4, 3( 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性28例

21、例.)2 , 0(cossin的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線xxy 解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令,431 x得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為在在2 , 0),0 ,43(拐點(diǎn)的第二充分條件拐點(diǎn)的第二充分條件, 0)(0 xf且且,0)(0 xf而而.472 x).0 ,47(設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在x0的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)是曲線是曲線 y = f (x)的的拐點(diǎn)拐點(diǎn). .三階可導(dǎo)三階可導(dǎo),那末那末(x0, f (x0) 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性29例例.3的拐點(diǎn)的

22、拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線點(diǎn)點(diǎn)xy 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性3032)1(xxy 求求例例的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).解解,3235xxy 31323235 xxy)52(3531 xxyx 處處0不存在不存在,處處52 x. 0 y y),51(9103

23、4 xx343192910 xx,51處處 x. 0 y 不存在不存在x)51,( 0y 拐點(diǎn)拐點(diǎn))2556,51(3 y y51 )0 ,51( )52, 0(52),52( 0 0 單調(diào)增加區(qū)間單調(diào)增加區(qū)間),52()0 ,( 及及單調(diào)減少區(qū)間單調(diào)減少區(qū)間)52, 0(凸區(qū)間凸區(qū)間凹區(qū)間凹區(qū)間)51,( )., 0()0 ,51( 和和不存在不存在 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性31考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)( 三三,四四)10分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = y (x)由方程由方程0ln yxyy確定確定,試判斷曲線試判斷曲線 y = y (x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)附近的凹凸性

24、附近的凹凸性.解解0ln yxyy在在兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得, 012ln yyy解得解得,ln21yy 兩邊對(duì)兩邊對(duì)x再求導(dǎo)得再求導(dǎo)得,)ln2(2yyyy 代入得代入得將將y ,)ln2(13yyy 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性32考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)( 三三,四四)10分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = y (x)由方程由方程0ln yxyy確定確定,試判斷曲線試判斷曲線 y = y (x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.,)ln2(13yyy 代入得代入得將將1, 1 yx.81)1( y由于二階導(dǎo)函數(shù)由于二階導(dǎo)函數(shù)1 xy 在在的附近是連續(xù)函數(shù)的附近

25、是連續(xù)函數(shù),所以由所以由,81)1( y1 x可知在可知在的附近的附近, 0 y故曲線故曲線 y = y (x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)附近是凸附近是凸. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性33五、小結(jié)五、小結(jié)單調(diào)性的判別單調(diào)性的判別單調(diào)性的單調(diào)性的應(yīng)用應(yīng)用:改變彎曲方向的點(diǎn)改變彎曲方向的點(diǎn): :凹凸性凹凸性;拐點(diǎn)拐點(diǎn);利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式的個(gè)數(shù)和證明不等式.研究曲線的彎曲方向研究曲線的彎曲方向: :凹凸性凹凸性的的應(yīng)用應(yīng)用: 利用利用凹凸性凹凸性證明不等式證明不等式. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

26、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性34證證 只要證只要證.lnlnbaab 令令,lnln)(xaaxxf ax 0)( afxaaxf ln)(xa 1,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ax ,)(時(shí)單調(diào)增加時(shí)單調(diào)增加在在axxf 所以所以,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ab )()(afbf 即即有有, 0lnln baabbaablnln 得得.abba , 0 0 思考題思考題1也即也即., eabbaab 證明證明設(shè)設(shè) 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性35作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題6.4(2196.4(219頁(yè)頁(yè)) )1. 5.1. 5.奇數(shù)題奇數(shù)題 6.(1)(3)(9)(12) 6.(1)(3)(9)(12) 7.

27、 9.(2)(4) 7. 9.(2)(4) 10.(2)(3) 12.10.(2)(3) 12. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性36思考題思考題2考研數(shù)學(xué)二考研數(shù)學(xué)二, 8分分,0ba 設(shè)設(shè)證明不等式證明不等式.1lnln222abababbaa 證證 先證右邊不等式先證右邊不等式.設(shè)設(shè)axaxaxx lnln)( ),0( ax0)( a )221(11)(xxaxaxx axxax2)(2 0 ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ax )(x 單調(diào)減少單調(diào)減少, 故有故有)()(ax 0 即即.lnlnaxaxax bbb 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性3

28、7思考題思考題2考研數(shù)學(xué)二考研數(shù)學(xué)二, 8分分,0ba 設(shè)設(shè)證明不等式證明不等式.1lnln222abababbaa 再證左邊不等式再證左邊不等式.方法一方法一設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfln)( ),0( ax由拉氏定理知由拉氏定理知,至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),(ba 使使 abablnln由于由于,0ba 1從而從而.2lnln22baaabab xx)(ln,1 ,222baa b1 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性38思考題思考題2考研數(shù)學(xué)二考研數(shù)學(xué)二, 8分分,0ba 設(shè)設(shè)證明不等式證明不等式.1lnln222abababbaa 再證左邊不等式再證左邊不等式.方法

29、二方法二 設(shè)設(shè))(2)ln)(ln()(22axaaxaxxf ),0( ax因?yàn)橐驗(yàn)閍xaxaxxxf21)()ln(ln2)(22 xaxaxx2)()ln(ln2 0 ,時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)ax )(xf單調(diào)增加單調(diào)增加, 故有故有)()(afxf 0 0)( af即即0)(2)ln)(ln(22 axaaxax從而從而,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ab0)(2)ln)(ln(22 abaabba即即ababbaa lnln222 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性39考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(一一, 二二) 12分分).(e4lnln,ee2222ababba 證明證明設(shè)設(shè)證證 法一法一,e4ln)(22xxx 設(shè)設(shè)則則,e4ln2)(2 xxx ,ln12)(2xxx 所以所以,e時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0)( x )(x 故故單調(diào)減少單調(diào)減少, 從而從而,ee2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)e ()(2 x,ee2時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng) x)(x 單調(diào)增加單調(diào)增加.,ee2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ba因此因此),()(ab 即即,e4lne4ln2222aabb 故故).(e4lnln222abab , 0e4e422 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性40).(e4