1、3 3 可積條件4 4 定積分的性質1定積分概念5 5 微積分學基本定理微積分學基本定理2 牛頓萊布尼茨公式 第九章第九章 定定 積積 分分6 定積分的計算定積分的計算9.1 定積分的概念一、問題提出一、問題提出1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設設 y = f (x)為區(qū)間為區(qū)間a, b 上連上連續(xù)函數，且續(xù)函數，且f (x) 0，由曲線，由曲線 y = f (x)，直線，直線 x = a， x = by = 0 所圍成的圖形稱為所圍成的圖形稱為曲邊梯形。曲邊梯形。下面討論曲邊梯形的面積下面討論曲邊梯形的面積xybaO)(xfy 對于多邊形的面積，我們在中學就已經會計算了，對于多邊形的面積，

2、我們在中學就已經會計算了， 例如例如 矩形的面積矩形的面積 = 底底高高顯然，曲邊梯形的面積不能用這個公式來計算。顯然，曲邊梯形的面積不能用這個公式來計算。 雖然曲邊梯形的準確面積我們不會計算，但是雖然曲邊梯形的準確面積我們不會計算，但是我們可以用一些小矩形來近似算出它的面積。我們可以用一些小矩形來近似算出它的面積。 xybaOix1ix1x 分割分割用任意的一組分點：用任意的一組分點：bxxxxann110把把 a, b 分成分成 n 個小區(qū)個小區(qū)間間 xi-1, xi i=1, 2, , n相應地把曲邊梯形分為相應地把曲邊梯形分為 n 個小曲邊梯形，其面積分個小曲邊梯形，其面積分別記為別記

3、為Si i=1, 2, , n（化整為零）（化整為零）xybaOix1ix1x 近似代替近似代替i在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 xi-1, xi 上任取一點上任取一點i ，)(ifiiixfS)(其中其中1iiixxx（曲轉化為直）（曲轉化為直）于是小曲邊梯形的面積于是小曲邊梯形的面積 求和求和niiixfS1)(xybaOix1ix1xi)(if（積零為整）（積零為整）大曲邊梯形的面積大曲邊梯形的面積 取極限取極限xybaOix1ix1xi)(if令令0max|1inixT若極限若極限niiiTxf10|)(lim存在，存在，則定義此極限值為曲邊梯形的面積則定義此極限值為曲邊梯形的面積（直轉化為

4、曲）（直轉化為曲）讓每個小區(qū)間的長度趨于零讓每個小區(qū)間的長度趨于零 求曲邊梯形的面積體現了曲轉化為直、求曲邊梯形的面積體現了曲轉化為直、直轉化為曲的辯證思想。這個計算過程，直轉化為曲的辯證思想。這個計算過程，就是一個先微分后積分的過程。也就是說，就是一個先微分后積分的過程。也就是說，把曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形，在每把曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形，在每個小曲邊梯形中，把曲邊看成直邊，用這個小曲邊梯形中，把曲邊看成直邊，用這些小些小“矩形矩形”面積的和近似地表示原來大面積的和近似地表示原來大曲邊梯形的面積，從而實現了局部的曲轉曲邊梯形的面積，從而實現了局部的曲轉化為局部的直，即化為局部的直，即

5、“以直代曲以直代曲”。 然后，再把分割無限加細，通過取極然后，再把分割無限加細，通過取極限，就使小矩形面積的和，轉化為原來大限，就使小矩形面積的和，轉化為原來大曲邊梯形的面積。這樣局部的直又反過來曲邊梯形的面積。這樣局部的直又反過來轉化為整體的曲。這種曲轉化為直，直轉轉化為整體的曲。這種曲轉化為直，直轉化為曲，以及由此所反映出來的化整為零、化為曲，以及由此所反映出來的化整為零、積零為整的思想方法，是微積分乃至整個積零為整的思想方法，是微積分乃至整個高等數學的一個重要方法。高等數學的一個重要方法。F 雖然是變力，但在很短一段間隔內，雖然是變力，但在很短一段間隔內，F的變化的變化不大，可近似看作是

6、常力作功問題。按照求曲不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想，邊梯形面積的思想，F(x)AB 再看一個變力做功的問題。再看一個變力做功的問題。 設設 質點質點 m 受受力力 的作用，在變力的作用，在變力F的作用下，沿直線由的作用下，沿直線由 A 點點運動到運動到 B 點，求變力作的功點，求變力作的功bat 分割分割用任意的一組分點：用任意的一組分點：011nnattttb把把 a, b 分成分成 n 個小區(qū)間個小區(qū)間 ti-1, ti i=1, 2, , n1itit1t 近似代替近似代替在在 ti-1, ti 上任取一點上任取一點i ，于是在該小區(qū)間，于是在該小區(qū)間上的力上

7、的力 ( )iiiWFt1iiittti作的功作的功 ix,1ixi, )iF(F 求和求和總功總功1( )niiiWFt 取極限取極限令令0max|1initT若極限若極限| |01lim( )niiTiFt存在，存在，則定義此極限值為力所做的功則定義此極限值為力所做的功的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數學概念提出來就是今天中抽象出來，作為一個數學概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個定要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個定義義 niixif1)(從上面例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或從上面例子

8、看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計算變力作的功，它們都歸結為對問題的某是計算變力作的功，它們都歸結為對問題的某些量進行些量進行“分割、近似求和、取極限分割、近似求和、取極限”，或者，或者說都歸結為形如說都歸結為形如二、定積分的定義二、定積分的定義bxxxxxann1210定義定義1: 在在 a, b 內任取一組分點內任取一組分點將將 a, b 分成分成 n個子區(qū)間個子區(qū)間i= xi-1, xi i=1, 2, , n 這些分點構成這些分點構成a, b 的一個的一個分割分割，記為，記為T = x0, x1, , xn = 1, 2, , n 記記 xi = xi xi-1 ， 并稱并稱max|1

9、inixT為分割為分割 T 的模的模bax1ixix1xixTni, 2, 1T,baTTT不唯一確定唯一確定TTTTT注：1由于因此可用來反映2分割與其模的關系： 即分割一旦給出，就隨之確定，但是的分割卻有無限多個. 被分割的細密程度.具有同一細度稱此和式為稱此和式為 f 在在 a, b 上的一個積分和，也稱為黎上的一個積分和，也稱為黎曼（曼（Riemann）和）和定義定義2: 設函數設函數 f (x) 在在 a, b 上有定義上有定義, 對對a, b的的一個分割一個分割T = 1, 2, , n ，任取點，任取點 i i , i=1, 2, , n ，作和，作和niiixf1)(T i顯然

10、積分和既與分割有關，又與所選取有關 的點集定義定義3: 設函數設函數 f (x) 在在 a, b 上有定義上有定義, 若任給的若任給的 0 ，總存在，總存在 0 ，使得，使得 對對a, b的任何分割的任何分割T = 1, 2, , n ，任意的，任意的 i i , i=1, 2, , n ，只要，只要 |T| b 時時, abbadxxfdxxf)()(例例 1 求在區(qū)間求在區(qū)間 0, 1 上，以拋物線上，以拋物線 y = x2為曲邊的曲邊三角形的面積為曲邊的曲邊三角形的面積解解由定積分的幾何意義，有由定積分的幾何意義，有niiiTxdxxS120|102lim因為定積分存在，對區(qū)間因為定積分

11、存在，對區(qū)間 0, 1 取特殊的分割取特殊的分割xyO2xy 1將區(qū)間將區(qū)間 0, 1 等分成等分成 n 等份等份, 分點為分點為11210nnnnn1n2nn 1xyO2xy 1nxi1每個小區(qū)間的長度每個小區(qū)間的長度), 2 , 1(,1ninininii取取則有則有ninnni121)(limninin1231lim) 12)(1(611lim3nnnnn3) 12)(1(lim61nnnnn31niiiTxdxxS120|102lim n1n2nknn.1211616) 12 () 1(1) 1(21 (11112111 032223222 nnnnnnnnnnnnnnnnSnxOy把

12、底邊0,1分成n等份,然后在每個分點作底邊的垂線, 這樣曲邊三角形被分成n個窄條, 用矩形來近似代替,然后把這些小矩形的面積加起來, 得到一個近似值:2xy 因此, 我們有理由相信, 這個曲邊三角形的面積為:.61121161limlimnnSSnnn例例2 2 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分點點 12, nqqq,典典型型小小區(qū)區(qū)間間為為,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 四、小結定積分的實質定積分的實質：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（