1、心理統(tǒng)計(jì)學(xué)筆記（ 1 ）基本概念總體：具有某些共同的、可觀測(cè)特征的一類事物的全體，構(gòu)成總體的每個(gè)基本單元稱為個(gè)體樣本：由于不能或沒必要對(duì)整個(gè)總體進(jìn)行研究，我們只能從總體中選擇出一些個(gè)體代表總體，這些個(gè)體的集合叫樣本變量：本身是變化的或者對(duì)于不同個(gè)體有不同值得特征或條件常量：本身不變且對(duì)不同的個(gè)體的值也相同參數(shù)：描述總體的數(shù)值，它可以從一次測(cè)量中獲得，也可以從總體的一系列測(cè)量中推論得到比例：全組中取值為X 的比例，p=f/N插值法：一種求兩個(gè)已知數(shù)值之間中間值的方法，其假設(shè)所求解點(diǎn)附近數(shù)據(jù)呈線性變化統(tǒng)計(jì)量：描述樣本的數(shù)值，與參數(shù)的獲得方式相同隨機(jī)取樣：從總體抽取樣本的一種策略，要求總體中的每一個(gè)

2、個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等取樣誤差：樣本統(tǒng)計(jì)量與相應(yīng)的總體參數(shù)之間的差距偏態(tài)分布：分?jǐn)?shù)堆積在分布的一端，而另一端成為比較尖細(xì)的尾端，其與對(duì)稱分布對(duì)應(yīng)次數(shù)分布：一批數(shù)據(jù)在某一量度的每一個(gè)類目所出現(xiàn)的次數(shù)情況離散型變量：由分離的、不可分割的范疇組成，臨近范疇之間沒有值存在連續(xù)型變量：在任何兩個(gè)觀測(cè)值之間都存在無限多個(gè)可能值，它可被分割成無限多個(gè)組成部分（ 2）學(xué)習(xí)建議將注意放在概念上，心理統(tǒng)計(jì)應(yīng)該是一門概念性的科學(xué)，而非純數(shù)學(xué)。一定要將統(tǒng)計(jì)方法與心理學(xué)研究的情景結(jié)合起來學(xué)習(xí)。弄懂一個(gè)概念再開始學(xué)習(xí)下一個(gè)，心理統(tǒng)計(jì)中的概念應(yīng)用性較差卻是之后做題的基礎(chǔ)。做題按照推薦格式能避免出錯(cuò)幾率。（ 3）統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)總表數(shù)

3、據(jù)類型單樣本問獨(dú)立樣本相關(guān)樣本多組樣本的比較相關(guān)問題比較比較重復(fù)測(cè)量題獨(dú)立樣本等總體單樣本t/z獨(dú)立樣本相關(guān)樣本t獨(dú)立樣本重復(fù)測(cè)量Pearson距正態(tài)檢驗(yàn)t/z檢驗(yàn)方差分析方差分析積差相關(guān)型分布檢驗(yàn)分布大樣本下大樣本下大樣本下轉(zhuǎn)化為順序型轉(zhuǎn)化為順形態(tài)的相應(yīng)的的相應(yīng)的的相應(yīng)的t序型未知t/z 檢驗(yàn)t/z 檢驗(yàn)檢驗(yàn)順序型符號(hào)檢驗(yàn)曼 - 惠特尼維爾克松克 - 瓦氏單弗里德曼Spearman法U 檢驗(yàn)T 檢驗(yàn)向雙向等級(jí)等級(jí)相關(guān)方差分析方差分析命名型力匹配度2獨(dú)立性符號(hào)檢驗(yàn)2獨(dú)立性檢驗(yàn)2獨(dú)立性檢驗(yàn)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)、描述統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)是指用來整理、概括、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法，側(cè)重于描述一組數(shù)據(jù)的全貌，表達(dá)一 件事物

4、的性質(zhì)。（一）統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖簡(jiǎn)單明確、生動(dòng)直觀地表達(dá)數(shù)量關(guān)系，具有一目了然、整潔美觀、容易理解在制定等特點(diǎn)。它們是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步整理，以簡(jiǎn)化的形式加以表現(xiàn)的兩種最簡(jiǎn)單的方式。統(tǒng)計(jì)圖表之前，一般首先要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行以下兩種初步整理：數(shù)據(jù)排序：按照某種標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)收集到的雜亂無章的數(shù)據(jù)按照一定順序標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行排列 統(tǒng)計(jì)分組：根據(jù)被研究對(duì)象的特征，將所得到數(shù)據(jù)劃分到各個(gè)組別中去1統(tǒng)計(jì)圖統(tǒng)計(jì)圖：用點(diǎn)、線、面的位置、升降或大小來表達(dá)統(tǒng)計(jì)資料數(shù)量關(guān)系的一種陳列形式組成：坐標(biāo)軸、圖號(hào)、圖題、圖目、圖尺、圖形、圖例、圖注分類：條形圖、圓圖、線性圖、直方圖、散點(diǎn)圖、莖葉圖2統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)表：將要統(tǒng)計(jì)分析的事物或指標(biāo)以表

5、格的形式列出來，以代替煩瑣文字描述的一種表現(xiàn)形式組成：隔開線、表號(hào)、名稱、標(biāo)目、數(shù)字、表注分類：簡(jiǎn)單表、分組表、復(fù)合表（二）集中量數(shù)集中量數(shù)又叫集中趨勢(shì)，是體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)一般水平的統(tǒng)計(jì)量。它能反映頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一點(diǎn)集中的情況。1算數(shù)平均數(shù)（ 1 ）定義算數(shù)平均數(shù)：即所有觀察值的總和與總頻數(shù)之商，簡(jiǎn)稱為平均數(shù)或均數(shù)平均數(shù)一般與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合使用。XiN(2)特點(diǎn)在一組數(shù)據(jù)中每個(gè)變量與平均數(shù)之差的總和等于零在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都加上一個(gè)常數(shù)C,所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)常數(shù)C,所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)(3)意義算數(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一

6、種集中量數(shù)，它在大多情況下是真值最好的估計(jì)值。(4)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏、計(jì)算嚴(yán)密、計(jì)算簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)明易解、適合于進(jìn)一步用代數(shù)方法鹽酸、較少受抽樣變動(dòng)的影響缺點(diǎn)：易受極端數(shù)據(jù)的影響、不能在出現(xiàn)模糊數(shù)據(jù)時(shí)計(jì)算2.中數(shù)(1)定義中數(shù)：按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，在這組數(shù)據(jù)中，有一半數(shù)據(jù)比它大，一般數(shù)據(jù)比它小，等價(jià)于百分位數(shù)是50的那個(gè)數(shù)。(2)算法數(shù)列總個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，第 (n+1)/2 個(gè)數(shù)就是中數(shù)數(shù)列總個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可取位于中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中數(shù)分布中有相等的數(shù)時(shí)，將重復(fù)的數(shù)字看成一個(gè)連續(xù)體，利用中間分?jǐn)?shù)的精確上下限使用插 值法(3)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單、容易理解、不受極端值

7、影響、能在有模糊數(shù)據(jù)情況下使用、可在順序型數(shù)據(jù)時(shí)使用缺點(diǎn)：代表性低、不夠靈敏、穩(wěn)定性低、需要排序、不能進(jìn)一步做代數(shù)運(yùn)算3.眾數(shù)(1)定義眾數(shù)：在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值眾數(shù)可能不只一個(gè)。在正偏態(tài)分布時(shí)，平均數(shù)最靠近尾端，中數(shù)位于其與眾數(shù)之間。(2)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：能在數(shù)據(jù)不同質(zhì)的情況使用，能避免極端值干擾缺點(diǎn)：不穩(wěn)定、代表性差、不夠靈敏、不能做進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算(三)差異量數(shù)差異量數(shù)就是對(duì)一組數(shù)據(jù)的變異性，即離中趨勢(shì)特點(diǎn)進(jìn)行度量和描述的統(tǒng)計(jì)量，也稱為離散 量數(shù)。1.離差與平均差離差：分布中的某點(diǎn)到均值得距離，其符號(hào)表示了某分屬于均值之間的位置關(guān)系而數(shù)值表示 了它們之間的絕對(duì)距離離差之和始

8、終為零。x X平均差：次數(shù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對(duì)離差的平均值Xi XAD.n2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差 和方：每一個(gè)離差值平房求和由于離差正負(fù)值互相抵消無法代表離中趨勢(shì)我們引入和方的概念22SS XX(1)總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差：每個(gè)數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差乘方后的均值，即離均差平房后的均數(shù)作為樣本統(tǒng)計(jì)量用符號(hào) S2表示，作為總體參數(shù)用符號(hào) 一表示，也叫均方。2 SSN標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根作為樣本統(tǒng)計(jì)量用符號(hào) s表示，作為總體參數(shù)用符號(hào)。表示。(2)樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差樣本的變異性往往比它來自的總體的變異性要小。為了校正樣本數(shù)據(jù)帶來的偏差，在計(jì)算樣 本方差時(shí)，我們用自由度來矯正樣本誤差，從而有利于

9、對(duì)總體參數(shù)更好的無偏差估計(jì)3 _SSSn 1SS2(3)性質(zhì)每一個(gè)觀測(cè)值都加一個(gè)相同的常數(shù)C之后，計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原來的標(biāo)準(zhǔn)差每一個(gè)觀測(cè)值都乘以一個(gè)相同的常數(shù)C,所得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)(4)意義方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，它們是統(tǒng)計(jì)描述與統(tǒng)計(jì)推斷分析中最常 用的差異量數(shù)，它們的優(yōu)點(diǎn)有：反應(yīng)靈敏、計(jì)算嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算容易、適合代數(shù)運(yùn)算、受抽樣變動(dòng)影響小、意義簡(jiǎn)單明了4 .變異系數(shù)當(dāng)遇到下列情況時(shí)，不能用絕對(duì)差異量來比較不同樣本的離散程度，而應(yīng)當(dāng)使用相對(duì)差異量 數(shù)，最常用的就是差異系數(shù)。兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本所使用的觀測(cè)工具不同，所測(cè)的特質(zhì)相同兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本使用的是

10、同種觀測(cè)工具，所測(cè)的特質(zhì)相同，但樣本間水平差異較大差異系數(shù)：一種最常用的相對(duì)差異量，為標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)平均數(shù)的百分比CV -s 100% X(四)相對(duì)量數(shù)1 .百分位數(shù)百分位數(shù)：在整個(gè)分布中，在某一值之下或等于該值的分?jǐn)?shù)的百分比，所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)百分位數(shù)和百分等級(jí)是同一操作定義的兩端。當(dāng)我們求累計(jì)次數(shù)占總體的百分比是，所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)和百分比的值分 別為百分位數(shù)和百分等級(jí)。2 .百分等級(jí)百分等級(jí)：常模團(tuán)體中低于該分?jǐn)?shù)的人所占總體的百分比百分等級(jí)一定要對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)區(qū)間的精確上限。百分等級(jí)和百分位數(shù)都可以由已知數(shù) 據(jù)用差值法求解。3 .標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(1)定義標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位

11、置量數(shù)，也叫Z分離平均數(shù)有多遠(yuǎn)，即表示原始分?jǐn)?shù)在平均數(shù)以上或以下幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的位置。(2)性質(zhì)Z分?jǐn)?shù)無實(shí)際單位，是以平均數(shù)為參照點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一個(gè)相對(duì)量一組原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得到的 Z分?jǐn)?shù)可正可負(fù)，所有原始分?jǐn)?shù)的 Z分?jǐn)?shù)之和為零原始數(shù)據(jù)的Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1若原始分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換得到的所有Z分?jǐn)?shù)均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(3)優(yōu)點(diǎn)可比性一一不同性質(zhì)的成績(jī)，一經(jīng)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，就可在同一背景下比較可加性一一不同性質(zhì)的原始數(shù)據(jù)具有相同的參照點(diǎn)，因此可相加明確性一一知道了標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，利用分布寒暑表就能知道其百分等級(jí)穩(wěn)定性一一轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)之后，規(guī)定了標(biāo)準(zhǔn)差為1,保證了不同性質(zhì)分?jǐn)?shù)在總分?jǐn)?shù)中權(quán)

12、重 一樣(4)應(yīng)用比較幾個(gè)分屬性質(zhì)不同的觀測(cè)值在各自數(shù)據(jù)分布中相對(duì)位置的高低計(jì)算不同質(zhì)的觀測(cè)值得總合或平均值，以表示在團(tuán)體中的相對(duì)位置若標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)中有小數(shù)、負(fù)數(shù)等不易被人接受的問題，可通過 Z=aZ+b的線性公式將其轉(zhuǎn)化 成新的分?jǐn)?shù)(如韋氏成人智力量表)(五)相關(guān)量數(shù)由于實(shí)驗(yàn)法適用范圍的限制，有的時(shí)候我們只能對(duì)變量間進(jìn)行相關(guān)研究，也就是看兩者是否 有互相跟隨的變化關(guān)系。相關(guān)研究所得到的是一種描述統(tǒng)計(jì)，我們僅僅能用其描述兩個(gè)變量 互相跟隨的程度大小，至于他們之間是否有因果關(guān)系或者是共變關(guān)系則不可妄下定論。相關(guān)系數(shù)：兩列變量間相關(guān)程度的數(shù)字表現(xiàn)形式作為樣本的統(tǒng)計(jì)量用 r表示，作為總體參數(shù)一般用p表示

13、。正相關(guān)：兩列變量變動(dòng)方向相同負(fù)相關(guān)：兩列變量中有一列變量變動(dòng)時(shí)，另一列變量呈現(xiàn)出與前一列變量方向相反的變動(dòng)零相關(guān)：兩列變量之間沒有關(guān)系，各自按照自己的規(guī)律或無規(guī)律變化1 .積差相關(guān) 也就是Pearson相關(guān)。(1)前提數(shù)據(jù)要成對(duì)出現(xiàn)，即若干個(gè)體中每個(gè)個(gè)體都有兩種不同的觀測(cè)值，并且每隊(duì)數(shù)據(jù)與其它對(duì)子相互獨(dú)立兩列變量各自總體的分布都是正態(tài)的，至少接近正態(tài)兩個(gè)相關(guān)的變量是連續(xù)變量，也即兩列數(shù)據(jù)都是測(cè)量數(shù)據(jù)兩列變量之間的關(guān)系應(yīng)是直線性的(2)公式SPxyXYr也就等于X和丫共同變化的程度除以 X和丫各自變化的程度。2 .等級(jí)相關(guān)也就是Spearman相關(guān)(1)適用范圍當(dāng)研究考察的變量為順序型數(shù)據(jù)時(shí)，

14、若原始數(shù)據(jù)為等比貨等距，則先轉(zhuǎn)化為順序型數(shù)據(jù)當(dāng)研究考察的變量為非線性數(shù)據(jù)時(shí)(2)公式將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為順序型數(shù)據(jù)，仍然用Pearson相關(guān)公式計(jì)算即可。3 .肯德爾等級(jí)相關(guān)(1)肯德爾W系數(shù)K個(gè)被試對(duì)N件實(shí)物也叫肯德爾和諧系數(shù)，原始數(shù)據(jù)資料的獲得一般采用等級(jí)評(píng)定法，即讓 進(jìn)行等級(jí)評(píng)定。其原理是評(píng)價(jià)者評(píng)價(jià)的一致性除以最大變異可能性。R2123K2 N3 N12R代表評(píng)價(jià)對(duì)象獲得的K個(gè)等級(jí)之和N代表等級(jí)評(píng)定的對(duì)象的樹木K代表等級(jí)評(píng)定者的數(shù)目(2)肯德爾U系數(shù)#N件事物兩兩配對(duì)分其與肯德爾 W系數(shù)所處理的問題相同，但評(píng)價(jià)者采用對(duì)偶比較法，即將 別進(jìn)行比較28 r KrijijijN(n 1) K(K

15、1)rij為對(duì)偶比較記錄表中ij格中的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)4 .點(diǎn)二列相關(guān)與二列相關(guān)(1)點(diǎn)二列相關(guān)適用于一列數(shù)據(jù)為等距正態(tài)變量，另一列為離散型二分變量。Xp Xqrpb StX是與二分稱名變量的一個(gè)值對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù) pX q是與二分稱名變量的另一個(gè)值對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù) qp與q是二分稱名變量?jī)蓚€(gè)值各自所占的比率 st是連續(xù)變量的標(biāo)準(zhǔn)差(2)二列相關(guān)適用于兩列變量都是正態(tài)等距變量，但其中一列變量被人為地分成兩類。r Xp Xq pq bstyy為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線中p值對(duì)應(yīng)的高度，查正態(tài)分布表能得到5 .中相關(guān)適用于兩個(gè)變量都是只有兩個(gè)點(diǎn)值或只表示某些質(zhì)的屬性。r ad bcabacbd c d其中

16、a、b、c、d分別為四格表中左上、右上、左下、右下的數(shù)據(jù)、推斷統(tǒng)計(jì)推論統(tǒng)計(jì)就是指運(yùn)用一系列的數(shù)學(xué)方法，將從樣本數(shù)據(jù)中獲得的結(jié)果推廣到樣本所在的總體。進(jìn)行推論統(tǒng)計(jì)的關(guān)鍵在于所抽取的樣本要能夠盡量接近所要研究的總體。（一）推斷統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1概率概率：表明隨即時(shí)間出現(xiàn)可能性大小的客觀指標(biāo)概率的定義包含以下兩種，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)夠多時(shí)他們是相等的。后驗(yàn)概率：對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行 n次觀察，某一事件 A出現(xiàn)的次數(shù) m與觀測(cè)次數(shù)n的比值 在 n 趨近無窮時(shí)所穩(wěn)定在的常數(shù)p先驗(yàn)概率：在滿足試驗(yàn)可能結(jié)果數(shù)有限且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等的條件下，隨機(jī)事件包含的結(jié)果數(shù)除以結(jié)果總數(shù)2正態(tài)分布當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)生活

17、中許多變量的分布都近似于正態(tài)曲線，因此有“上帝偏愛正態(tài)分布”一說。（ 1 ）特點(diǎn)正態(tài)曲線的形狀就像一口掛鐘，呈對(duì)稱分布，其均值、中數(shù)、眾數(shù)實(shí)際上對(duì)應(yīng)于同一個(gè)數(shù) 值大部分的原始分?jǐn)?shù)都集中分布在均值附近，極端值相對(duì)而言比較少曲線兩端向靠近橫軸處不斷延伸，但始終不會(huì)與橫軸向交正態(tài)分布曲線轉(zhuǎn)化為z 分?jǐn)?shù)后人以z 分?jǐn)?shù)與零點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線下面積固定（ 2）用法依據(jù)Z 分?jǐn)?shù)求概率，即已知標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)求面積從概率求Z 分?jǐn)?shù)，即從面積求標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)值已知概率或Z值，求概率密度，即正態(tài)曲線的高3二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布：對(duì)于一個(gè)事件有兩種可能A和B,但我們對(duì)這一事件觀察 n次，事件A發(fā)生的總次數(shù)的概率分布就是二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的均值為

18、pn方差公式為npq標(biāo)準(zhǔn)差的公式為.npq4 .抽樣原理與抽樣方法(1)抽樣原理抽樣的基本原則是隨機(jī)性原則，所謂隨機(jī)性原則，是指在進(jìn)行抽樣時(shí)，總體中每一個(gè)個(gè)體是 否被抽選的概率完全均等。由于隨機(jī)抽樣使每個(gè)個(gè)體有同等機(jī)會(huì)被抽取，因而有相當(dāng)大的可 能使樣本保持和總體有相同的結(jié)構(gòu)，或者說，具有最大的可能使總體的某些特征在樣本中得 以發(fā)現(xiàn)，從而保證由樣本推論總體。(2)抽樣方法簡(jiǎn)單隨機(jī)取樣法系統(tǒng)隨機(jī)取樣法分層隨機(jī)取樣法多段隨機(jī)取樣法5 .抽樣分布 樣本分布：樣本統(tǒng)計(jì)量的分布，是統(tǒng)計(jì)推論的重要依據(jù)(1)正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布樣本統(tǒng)計(jì)量為正態(tài)分布或者接近正態(tài)分布的情況都可根據(jù)正態(tài)分布的概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論?？?/p>

19、體分為正態(tài)或接近正態(tài)，方差已知，樣本平均數(shù)和方差的分布為正態(tài)分布 樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)和方差與母體的平均數(shù)和方差有如下關(guān)系：樣本的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布也漸趨于正態(tài)分布，其分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差和總體有如下關(guān) 系：Xss2s - 2n22 s2n(2) t分布t分布是一種與方差無關(guān)而與自由度有關(guān)的分布, t分布當(dāng)自由度為正無窮時(shí)的特例。很類似正態(tài)分布，我們可以將正態(tài)分布看作總體分布為正態(tài)，方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為t分布:(3)1分布分布的構(gòu)造是從一個(gè)服從正態(tài)分布的總體中每次抽去n個(gè)隨機(jī)變量，計(jì)算其平方和之后標(biāo)準(zhǔn)化的一個(gè)分布。分布曲線下的面積都是 1,但伴隨著n取值的不同，自由度改變，曲線分布

20、 形狀不同，而當(dāng)自由度趨近于正無窮時(shí)f分布即為正態(tài)分布，因此其于 t分布一樣都是一族分布，而正態(tài)分布都是其中的特例。22 X2(4) F分布如果有兩個(gè)正態(tài)分布的總體，我們從其中各自取出兩個(gè)樣本，各自計(jì)算出12df1更多情況下，我們所計(jì)算的 F兩樣本取自相同總體，此時(shí)可將上式化簡(jiǎn)為:(二)參數(shù)估計(jì)當(dāng)在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后，如何通過這組信息，對(duì)總體特征進(jìn)行估計(jì)，也就是如何從局部結(jié)果推論總體的情況，稱為總體參數(shù)估計(jì)?？傮w參數(shù)估計(jì)問題可以分為點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。1 點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤 良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性一一用多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的平均數(shù)為零有效性一一當(dāng)總體參數(shù)的無

21、偏估計(jì)不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，無偏估計(jì)變異小者有效性高，變異大者有效性低，即方差越小越好一致性一一當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)值應(yīng)能夠越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)充分性一一樣本的統(tǒng)計(jì)量是否充分地反映了全部n個(gè)數(shù)據(jù)所反映總體的信息點(diǎn)估計(jì)：用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)，因?yàn)闃颖窘y(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上某一點(diǎn)值，估計(jì)結(jié)果也以一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值表示區(qū)間估計(jì)：根據(jù)估計(jì)量以一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍，這個(gè)區(qū)間就叫做 置信區(qū)間，相應(yīng)的概率成為 置信度，這兩個(gè)量是共通變化的，置 信區(qū)間越大，置信度越高；區(qū)間估計(jì)是用數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍及落入該范圍的概率。標(biāo)準(zhǔn)誤：樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差總體方差未知時(shí)用估

22、算的總體方差計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤。X Jn2 .總體平均數(shù)的估計(jì)當(dāng)總體方差未知時(shí)，則使用 t分布對(duì)應(yīng)置信度3 .標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計(jì)(1)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì)SniZ 2 s(2)方差的區(qū)間估計(jì)22n 1 Sn 12 n 1 Sn 12221 2(三)假設(shè)檢驗(yàn) 可以說，每一個(gè)實(shí)驗(yàn)的存在，僅僅是為了給事實(shí)一個(gè)反駁虛無假設(shè)的機(jī)會(huì)。R.A.Fisher1假設(shè)檢驗(yàn)的原理 假設(shè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種推論過程，通過樣本統(tǒng)計(jì)量得出的差異作為一般性結(jié)論，判斷總體參數(shù)之間是否存在差異假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是對(duì)可置信性的評(píng)價(jià)，是對(duì)一個(gè)不確定問題的決策過程，其結(jié)果在一定概率上正確的，而不是全部。（ 1 ）兩類假設(shè)對(duì)于任何一種研究而言，其

23、結(jié)果無外乎有兩種可能, 即是否符合我們預(yù)期。一般來說證偽一件事情比證實(shí)一件事容易，在行為科學(xué)的研究中，由于我們無法了解總體中除樣本以外的個(gè)體情況，因此嘗試拒絕虛無假設(shè)的方法優(yōu)于證明備擇假設(shè)。備則假設(shè)：因變量的變化、差異卻是是由于自變量的作用往往是我們對(duì)研究結(jié)果的預(yù)期，用H1 表示。虛無假設(shè)：實(shí)際上什么也沒有發(fā)生，我們所預(yù)計(jì)的改變、差異、處理效果都不存在觀察到的差異只是隨機(jī)誤差在起作用，用H0表示。（ 2）小概率原理小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的至于什么就算小概率事件，那就是我們?cè)谟?jì)算前明確的決策標(biāo)準(zhǔn)，也就是顯著性水平“。在 檢驗(yàn)過程中，我們假設(shè)虛無假設(shè)是真實(shí)的，同時(shí)計(jì)算出

24、觀測(cè)到的差異完全是由于隨機(jī)誤差所致的概率。之后將其與我們實(shí)現(xiàn)界定好的顯著性水平比較，從而考慮是否依據(jù)小概率原理來拒絕虛無假設(shè)。（ 3）兩類錯(cuò)誤（本部分內(nèi)容請(qǐng)參照實(shí)心信號(hào)檢測(cè)論對(duì)照來看。 MJ注）I型錯(cuò)誤：當(dāng)虛無假設(shè)正確時(shí)，我們拒絕了它所犯的錯(cuò)誤，也叫a錯(cuò)誤研究者得出了處理有效果的結(jié)論，而實(shí)際上并沒有效果，即所謂“無中生有”n型錯(cuò)誤：當(dāng)虛無假設(shè)是錯(cuò)誤的時(shí)候，我們沒有拒絕所犯的錯(cuò)誤，也叫B錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)未能偵查到實(shí)際存在的處理效應(yīng)，即所謂“失之交臂”兩類檢驗(yàn)的關(guān)系a + 3不一定等于1在其他條件不變的情況下，a與3不可能同時(shí)減小或增大（ 4）檢驗(yàn)的方向性單側(cè)檢驗(yàn)：強(qiáng)調(diào)某一方向的檢驗(yàn)，顯著性的百分等級(jí)

25、為a雙側(cè)檢驗(yàn)：只強(qiáng)調(diào)差異不強(qiáng)調(diào)方向性白檢驗(yàn)，顯著性百分等級(jí)為a/2對(duì)于同樣的顯著性標(biāo)準(zhǔn)，在某一方向上，單側(cè)檢驗(yàn)的臨界區(qū)域要大于雙側(cè)檢驗(yàn)，因此如果差異發(fā)生在該方向，單側(cè)檢驗(yàn)犯3錯(cuò)誤的概率較小，我們也說它的檢驗(yàn)效力更高。(5)假設(shè)檢驗(yàn)的步驟根據(jù)問題要求，提出虛無假設(shè)和備擇假設(shè)選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定檢驗(yàn)的方向性并規(guī)定顯著性水平計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值將統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值對(duì)比做出決策2 .樣本與總體平均數(shù)差異的檢驗(yàn) (1)總體正態(tài)分布且方差已知ZhX一0 苴中 一 0zobsx -X n0和0分別為總體的平均數(shù)和方差(2)總體正態(tài)分布而方差未知S為用樣本和方估算出的總體方差3 .兩樣本平均數(shù)差異的檢驗(yàn)Xi

26、 X2Zobstobs2這是兩樣本平均數(shù)檢驗(yàn)的通用公式，所不同的僅在于標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算DX(1)總體方差已知獨(dú)立樣本DX in1n2相關(guān)樣本22 2rDX12 其中r為兩組變量之間的相關(guān)系數(shù)(2)總體方差未知獨(dú)立樣本(方差差異不顯著時(shí))DX22niSin2 s2nin2n1n2n1n2相關(guān)樣本a.相關(guān)系數(shù)未知:b.相關(guān)系數(shù)已知:DXDX其中d為每對(duì)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之差s2s2 2rsi s2n 14.方差齊性檢驗(yàn)(1)樣本方差與總體方差當(dāng)從正態(tài)分布的總體中隨機(jī)抽取容量為n的樣本時(shí)，其樣本方差與總體方差比值服從充分布:22 多由自由度df n 1查片表，依據(jù)顯著性水平判斷0(2)兩個(gè)樣本方差之間獨(dú)立樣本F

27、1其中當(dāng)兩樣本自由度相差不大時(shí)可用 sn代替sn-1S查表時(shí) df1 ni 1,df2 n2 1相關(guān)樣本2其中df2 224sls2 1 rSi5.相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 積差相關(guān)ra.當(dāng)尸0時(shí)：t 其中df n 21 r2b.當(dāng)p 0時(shí)：先通過查表將 r和p轉(zhuǎn)化為費(fèi)舍 乙和Z p然后進(jìn)行Z檢驗(yàn)等級(jí)相關(guān)和肯德爾 W 系數(shù)在總體相關(guān)系數(shù)為零時(shí)：查各自的相關(guān)系數(shù)表，判定樣本相關(guān)顯著(四)方差分析1.方差分析的原理與基本過程(1)方差分析的概念方差分析的目的是推斷多組資料的總體均數(shù)是否相同，也即檢驗(yàn)多組數(shù)據(jù)之間的均數(shù)差異是否有統(tǒng)計(jì)意義。當(dāng)我們用多個(gè) t檢驗(yàn)來完成這一過程時(shí)，相當(dāng)于從 t分布中隨機(jī)抽取多

28、個(gè)t 值，這樣落在臨界范圍之外的可能大大增加，從而增加了I型錯(cuò)誤的概率。我們可以把方差分析看作t檢驗(yàn)的增強(qiáng)版。(2)方差的可分解性方差分析依據(jù)的基本原理就是方差的可加性原則。作為一種統(tǒng)計(jì)方法，方差分析把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 的總變異分解為若干個(gè)不同來源的分量。數(shù)據(jù)的變異由兩部分組成：組內(nèi)變異：由于實(shí)驗(yàn)中一些希望加以控制的非實(shí)驗(yàn)因素和一些未被有效控制的未知因素造成的變異，如個(gè)體差異、隨機(jī)誤差組內(nèi)變異是具體某一個(gè)處理水平之內(nèi)的，因此在對(duì)總體變異進(jìn)行估計(jì)的時(shí)候不涉 及研究的處理效應(yīng)。組間差異：不僅包括組內(nèi)變異的誤差因素，還包括了是不同組所接受的實(shí)驗(yàn)處理不同造成的 影響如果研究數(shù)據(jù)的總變異是由處理效應(yīng)造成的，那么

29、組間變異在總變異中應(yīng)該占較 大比例。MSb表示組間方差，MSb SSB, dfB k 1, k表示實(shí)驗(yàn)條件的個(gè)數(shù)dfBMSw表示組內(nèi)方差，MSw SW, dfW k n 1 , n表示每種實(shí)驗(yàn)條件中的被試個(gè)數(shù) dfw(3)方差分析的基本假定樣本必須來自正態(tài)分布的總體每次觀察得到的幾組數(shù)據(jù)必須彼此獨(dú)立 各實(shí)驗(yàn)處理內(nèi)的方差應(yīng)彼此無顯著差異2為了滿足這一假定，我們可采用最大F比率法Fmax學(xué)，求出各樣本中方差最大值與最smin小值的比，通過查表判斷。(4)方差分析的基本步驟I求平方和總平方和是所有觀測(cè)值與總平均數(shù)的離差的平方總和S&X2 G% 其中G表示所有數(shù)據(jù)的總合，N表示總共的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)組間平方和

30、是每組的平均數(shù)與總平均數(shù)的離差的平方再與該組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的乘積的總和Ti為每組數(shù)據(jù)和,ni為一 _ 2SSbni X G該組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)組內(nèi)平方和是各被試的數(shù)值與組平均數(shù)之間的離差的平方總和SSwSS(注：SSr SSB SSW推薦用于檢驗(yàn)之前的計(jì)算，而不是被當(dāng)作快捷計(jì)算的方式)n計(jì)算自由度dfT N 1dfB k 1dfW k n 1 N km計(jì)算均方MSB第 dfBSSWMSw dfwW計(jì)算F值FMSbMSwV查F值表進(jìn)行F檢驗(yàn)并做出判斷VI陳列方差分析表2 .完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析3 .隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)中同質(zhì)被試參加所有水平下測(cè)試，因此，組間變異不包括個(gè)體差異的影響。而 每一個(gè)

31、水平之內(nèi)仍然是由不同被試共同完成的，于是我們?nèi)匀粚⒖傮w變異分為組間變異和組內(nèi)變異，但需要進(jìn)一步將組內(nèi)變異分為被試間變異和誤差引起的變異。這樣，我們就可以在 F檢驗(yàn)時(shí)，將被試間變異從組內(nèi)變異中去除，使得檢驗(yàn)結(jié)果更靈敏。個(gè)體誤差用SSr表示，而隨機(jī)誤差用 SSe表示，它們的和等于組內(nèi)差異 SSwMSB，一SSE 一.F -B其中 MSe E而 SSE SSW SSR; dfEk 1 n 1MSEdfE2S0 G;N其中R為同一區(qū)組的數(shù)據(jù)之和，或者同一被試在不同處理下的i 1 k乘積的和讓我們回憶一下兩個(gè)相關(guān)樣本平均數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)那里出現(xiàn)的情況和這里的多樣本方 差分析相仿。也就是說，對(duì)于同樣的

32、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，當(dāng)我們把它看作是由獨(dú)立樣本得出或相關(guān)樣 本得出時(shí)，就要采用不同的檢驗(yàn)方法，從而有可能得出不同的結(jié)論。在假定為相關(guān)樣本的數(shù) 據(jù)得出的顯著性差異如果換作背景是獨(dú)立樣本就可能只能接受虛無假設(shè)。這實(shí)際上是因?yàn)橄?關(guān)情況下樣本之間差異的減小使得對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)要使用的統(tǒng)計(jì)量變大，檢驗(yàn)也就更加靈敏了。4.兩因素方差分析 在兩因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中， 研究者同時(shí)用兩種影響因素作為自變量研究它們對(duì)某一因變量的影響， 其實(shí)驗(yàn)結(jié)果比單因素設(shè)計(jì)更實(shí)際。(1)交互作用與主效應(yīng)主效應(yīng)：某個(gè)自變量的不同水平對(duì)因變量所造成的影響的差異交互作用：一個(gè)因素對(duì)因變量的影響因另一個(gè)因素的不同水平而不同如果兩個(gè)因素彼此獨(dú)立，即不管其中一個(gè)

33、因素處于哪個(gè)水平，另一個(gè)因素的不同水平均值間的差異都保持一致，則 不會(huì)產(chǎn)生交互作用。(2)統(tǒng)計(jì)原理為了看清各因素獨(dú)立作用和交互作用的影響，我們進(jìn)一步將組間差異分解：SSB SSa SSb SSab其中SSa與SSb分別表示a因素與b因素的組間平方和， SSab表示交互作用的平方和dfa a 1 ； dfb b 1 ； dfa b a 1 b 1 ； dfW Nab(3) F的計(jì)算(這里討論獨(dú)立樣本)MS.SSc Fa -其中MSa 這里的SSa是假定全體數(shù)據(jù)只根據(jù) a因素分為兩組所計(jì)算的組間 MSwdfa差異MSbSSbFb -其中MSb 這里的SSb也同樣為假設(shè)只根據(jù) b因素分組所計(jì)算的組間

34、差異 MSwdfbFa b MS也其中MSa b SS上這里的SSa b為總體組間差異減去 SSa和S0得到 MSwdfa b由方差分析只能得到顯著差異的結(jié)果，事后檢驗(yàn)使我們能夠比較各組，發(fā)現(xiàn)差異具體產(chǎn)生在 什么地方。事后檢驗(yàn)采用成對(duì)比較的方式，每次比較兩個(gè)組的差異。這里我們只介紹常用的 紅絲帶檢驗(yàn)而不是過氣的 內(nèi)褲?rùn)z驗(yàn)。HSD僉驗(yàn)法I把要比較的各個(gè)平均數(shù)從小到大作等級(jí)排列n處理?xiàng)l件的數(shù)目k,自由度dfE查表得到相應(yīng)顯著性的 q值出 計(jì)算作為臨界值的 HSD qJMSW/n （當(dāng)為隨機(jī)區(qū)組時(shí)用 MSE代替MSW ）W把要比較的兩個(gè)平均數(shù)的差與臨界值比較，若超過則認(rèn)為差異顯著（五）回歸分析1. 一元線性回歸分析（1）基本概念回歸分析：通過大量的觀測(cè)發(fā)現(xiàn)變量之間存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，并用一定的數(shù)學(xué)模型表示變量相關(guān)關(guān)系的方法只有一個(gè)自變量并且統(tǒng)計(jì)量成大體一次函數(shù)的線性關(guān)系的回歸分析叫一元線性回歸分析。在一元線性回歸中，我們用 W a bX作為回歸方程，代表 X與丫的線性關(guān)系其中：a表示該直線在 Y軸的截距b表示該直線的余率也就是 Y的變化率X為自變量，通常是研究者事先選定的數(shù)值丫1為對(duì)應(yīng)于X對(duì)變量丫的估計(jì)值（2）最小二乘法所謂最小二乘法，就是如果散點(diǎn)圖中每一點(diǎn)沿Y軸方向到直線的距離的平方和最小，則認(rèn)為2這