1、平面曲線弧長平面曲線弧長xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個個端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點(diǎn)時，無限增加且每個小弧段都縮向一點(diǎn)時，此折線的長此折線的長|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧AB的弧長的弧長.第1頁/共18頁 設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分

2、變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長 dy小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 第2頁/共18頁例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長長度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab第3頁/共18頁例例 2 2 計(jì)計(jì)算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長長)0( nx.解解nnx

3、ny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 第4頁/共18頁曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 第5頁/共18頁例例 3 3 求求星星形形線線323232ayx )0( a的的全全長長.解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對

4、稱根據(jù)對稱性性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 第6頁/共18頁例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長長.證證設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)橢圓的周長為設(shè)橢圓的周長為2s,cos12022dxxa 第7頁/共18頁 ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對稱性知根據(jù)橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12

5、第8頁/共18頁曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長弧長.)()(22 drrs 第9頁/共18頁例例 5 5 求求極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下曲曲線線33sin ar的的長長. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 第10頁/共18頁例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應(yīng)應(yīng)于于 從從0到

6、到 2的的弧弧長長.解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 第11頁/共18頁平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長的公式求弧長的公式 第12頁/共18頁思考題思考題 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線)(xfy 是否一定可求長？是否一定可求長？第13頁/共18頁思考題解答思考題解答不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長曲線光滑才可求長第14頁/共18頁一、一、 填空題：填

7、空題：1 1、 曲線曲線xyln 上相應(yīng)于上相應(yīng)于83 x的一段弧長為的一段弧長為_；2 2、 漸伸線漸伸線)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相應(yīng)于上相應(yīng)于變到變到從從 0t 的一段弧長為的一段弧長為_；3 3、 曲 線曲 線1 r自自43 至至34 一 段 弧 長 為一 段 弧 長 為_ . .二、二、 計(jì)算半立方拋物線計(jì)算半立方拋物線32)1(32 xy被拋物線被拋物線32xy 截得的一段弧的長度截得的一段弧的長度 . .三、三、 計(jì)算星形線計(jì)算星形線tax3cos ，tay3sin 的全長的全長 . .練練 習(xí)習(xí) 題題第15頁/共18頁四四、 求求心心形形線線)cos1( ar的的全全長長. .五五、 證證明明：曲曲線線xysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓2222 yx的的周周長長. .六六、 在在擺擺線線),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分?jǐn)[擺線線第第一一拱拱成成3:1的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo). .第16頁/共18頁練習(xí)題答案