1、 第7講 二次函數(shù)與面積問題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點并與軸交于點，兩點，且點坐標為（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線與軸交于點，頂點為點，求的面積注：拋物線的頂點坐標是，解：（1）拋物線經(jīng)過點與點，解得：拋物線的解析式為：（2），過點作軸于點，過點作軸交直線于點，過點作軸叫直線于點，如圖所示：利用寬、高原理求“兩定一動”型三角形面積，示意圖如圖，在ABC中，三角形的一個頂點在拋物線上(一動點)，另兩個頂點是定點(兩定點)，則可以將ABC的面積轉(zhuǎn)化為SAQCSAQBAQ·(xQxC)AQ·(xBxQ)AQ·(xBxC)故求ABC面積的最大值就轉(zhuǎn)化為

2、求線段AQ的最大值，實質(zhì)就是類型之一中線段的最值問題二次函數(shù)與三角形定值存在問題1、如圖,經(jīng)過原點O的拋物線y=ax2+bx(a0)與x軸交于另一點(,0),在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點B(2,t).(1)求拋物線的解析式;(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點C,滿足以B,O,C為頂點的三角形的面積為2,求點C的坐標.解:(1)因為B(2,t)在直線y=x上,所以t=2.所以點B的坐標為(2,2).因為拋物線經(jīng)過A(,0),B(2,2)兩點,所以解得所以拋物線的解析式是y=2x2-3x.(2)如圖,過點C作CDy軸,交x軸于點E,交OB于點D,過點B作BFCD于點F,因為點C是拋物線上第四象限

3、的點,所以設C(m,2m2-3m),則E(m,0),D(m,m),所以OE=m,BF=2-m,CD=m-(2m2-3m)=-2m2+4m.所以SOBC=SCDO+SCDB=CD·OE+CD·BF=CD·(OE+BF)=(-2m2+4m)(m+2-m)=-2m2+4m.因為OBC的面積為2,所以-2m2+4m=2,解得m1=m2=1.所以點C的坐標為(1,-1).【變式訓練1-1】如圖,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點 A(-1,0),B(4,0),交y軸于點C;(1)求拋物線的解析式(用一般式表示);(2)點D為y軸右側(cè)拋物線上一點,是否存在點D使SABC=SAB

4、D?若存在請求出點D坐標;若不存在請說明理由.解:(1)因為拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A(-1,0),B(4,0),所以解得，所以拋物線的解析式是y=-x2+x+2.(2)存在.理由如下:由題意可知C(0,2),A(-1,0),B(4,0),所以AB=5,OC=2,所以SABC=AB·OC=×5×2=5.因為SABC=SABD,所以SABD=×5=.設D(x,y),所以AB·|y|=×5|y|=,解得|y|=3.當y=3時,由-x2+x+2=3,解得x1=1,x2=2,此時點D的坐標為(1,3)或(2,3);當y=-3時,由-x

5、2+x+2=-3,解得x1=5,x2=-2(不合題意,舍去),此時點D的坐標為(5,-3).綜上可知存在滿足條件的點D,其坐標為(1,3)或(2,3)或(5,-3).二次函數(shù)與三角形最值存在問題2、如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點D與點C關(guān)于x軸對稱.(1)求點A,B,C的坐標;(2)求直線BD的解析式;(3)在直線BD下方的拋物線上是否存在一點P,使PBD的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)解方程x2-x-2=0,得x1=-1,x2=4.所以點A的坐標為(-1,0),點B的坐標為(4,0).當x=0時,y=-2,所以點C的坐標為(0,-2)

6、.(2)因為點D與點C關(guān)于x軸對稱,所以點D的坐標為(0,2).設直線BD的解析式為y=kx+b,則解得所以直線BD的解析式為y=-x+2.(3)存在.理由如下:如圖,作PEy軸交BD于E,設P（m,m2-m-2）,則E（m,-m+2）,所以PE=-m+2-（m2-m-2）=-m2+m+4.所以SPBD=PE·(xB-xD)=×（-m2+m+4）×4=-m2+2m+8=-(m-1)2+9.因為-1<0,所以m=1時,PBD的面積最大,面積的最大值為9.所以點P的坐標為(1,-3).【變式訓練2-1】如圖，拋物線經(jīng)過A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三點

7、(1)求此拋物線的解析式(2)在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標解.(1)該拋物線過點C(0，2)，設該拋物線的解析式為yax2bx2.將A(4，0)，B(1，0)代入，得解得此拋物線的解析式為yx2x2.(2)設D點的橫坐標為t(0<t<4)，則D點的縱坐標為t2t2.過D作y軸的平行線交AC于E.由題意可求得直線AC的解析式為yx2.E點的坐標為(t，t2)DEt2t2(t2)t22t.SDCA×(t22t)×4t24t(t2)24.當t2時，DCA面積最大D(2，1)二次函數(shù)與四邊形形最值存在問題3、如圖，拋物線過軸上兩

8、點，且與軸交于點（1）求拋物線的解析式；（2）若為線段上一個動點，過點作平行于軸交拋物線于點是否存在這樣的點，使得四邊形恰為平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由當點運動到何處時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標及四邊形面積的最大值解：（1）因拋物線過軸上兩點，故設拋物線解析式為：又； （2）如圖2，設直線的解析式為，解得，則直線的函數(shù)關(guān)系式為設點的橫坐標為，則，若四邊形為平行四邊形，則即，此方程無實數(shù)根，不存在這樣的點，使得四邊形恰為平行四邊形，當時， 最大值此時， 【變式訓練3-1】 如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，過、畫直線（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點在軸

9、正半軸上，且，求的長；（3）若為線段上的一個動點，過點做平行于軸交拋物線于點，當點運動到何處時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標及四邊形面積的最大值？【分析】（1）先根據(jù)點的特點，設成交點式，用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，（2）設出點的坐標，表示出，由，求出即可；（3）把四邊形分成，梯形，分別求出面積，確定出函數(shù)解析式即可解：（1）拋物線與軸交于、兩點，設拋物線解析式為，拋物線與軸交于點，拋物線解析式為，（2）點在軸正半軸上，設點，；（3）如圖，為線段上的一個動點，設，過點做平行于軸交拋物線于點，當時，面積最大，最大值為4，1、如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為，并與軸交于點，

10、點是對稱軸與軸的交點（1）求拋物線的解析式；（2）如圖所示，是拋物線上的一個動點，且位于第一象限，連接，求的面積的最大值；（3）如圖所示，在對稱軸的右側(cè)作交拋物線于點，求出點的坐標；并探究：在軸上是否存在點，使？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）拋物線頂點坐標為，可設拋物線解析式為，將代入可得，；（2）連接，設，當時，的最大值為；（3）存在，設點的坐標為，過作對稱軸的垂線，垂足為，則，在中，或（舍，連接，在中，在以為圓心，為半徑的圓與軸的交點上，此時，設，為圓的半徑，或，綜上所述：點坐標為，或2、如圖，已知拋物線yx22xa(a0)與y軸相交于A點，頂點為M，直線yxa分別與x

11、軸、y軸相交于B，C兩點，并且與直線MA相交于N點(1)若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求a的取值范圍，并用a表示點M，A的坐標(2)將NAC沿著y軸翻折，若點N的對稱點P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于點D，連接CD，求a的值及PCD的面積(3)在拋物線yx22xa(a0)上是否存在點Q，使得以Q，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)由題意聯(lián)立整理得2x25x4a0，由2532a0，解得a.a0，a且a0.令x0, 得ya，A(0，a)由y(x1)21a，得M(1，1a)(2)設直線MA為ykxb，代入A(0，a)、M(1

12、，1a)，得解得故直線MA為yxa.聯(lián)立解得N.由于P點是N點關(guān)于y軸的對稱點，因此P，代入yx22xa，得a2aa，解得a或a0(舍去)A，C，M，AC.SPCDSPACSDACAC.|xP|AC.|xD|××(31).(3)當點Q1在y軸左側(cè)時，由四邊形AQ1CN為平行四邊形，得AC與Q1N相互平分，則點Q1與N關(guān)于原點(0，0)中心對稱，而N，故Q1代入yx22xa，得a2aa，解得a或a0(舍去)，Q1.當點Q2在y軸右側(cè)時，由四邊形ACQ2N為平行四邊形，得NQ2AC且NQ2AC，而N，A(0，a)，C(0，a)，故Q2.代入yx22xa，得a2aa，解得a或a0

13、(舍去)，Q2.當點Q的坐標為或時，Q，A，C，N四點能構(gòu)成平行四邊形1、如圖，拋物線yx2bxc交x軸于點A(3，0)和點B，交y軸于點C(0，3)(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若點P在拋物線上，且SAOP4SBOC，求點P的坐標解：(1)把A(3，0)，C(0，3)分別代入yx2bxc，得解得故該拋物線的函數(shù)解析式為yx22x3.(2)令y0，則x22x30，解得x13，x21，B(1，0)SAOP4SBOC，×3×|x22x3|4××1×3.整理，得(x1)20或x22x70，解得x1或x1±2 .則符合條件的點P的坐標為(1，4)或(12 ，4)或(12 ，4)2、如圖所示，拋物線yax2bxc與兩坐標軸分別交于點A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D是拋物線的頂點(1)求拋物線的解析式，并寫出點D的坐標；(2)F(x，y)是拋物線上的動點，當x>1，y>0時，求BDF面積的最大值解：(1)將A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)分別代入yax2bxc，得解得拋物線的解析式為yx22x3.yx2