1、3.3 二維 r.v.函數(shù)的分布已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 為已知的二元函數(shù), 轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件 3.3問題方法求 Z = g( X ,Y )的概率分布當(dāng)( X ,Y )為離散r.v.時(shí), Z 也離散當(dāng)( X ,Y )為連續(xù)r.v.時(shí)，其中的幾何意義：Dz例1 設(shè)二維r.v.( X,Y )的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 0求的概率分布離散型二維 r.v.的函數(shù)離散型解 根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合分布可得如下表格：P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y )(-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (

2、2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX+Y-2 -1 0 1 2PX - Y-1 0 1 2 3PX Y-2 -1 0 1 PY /X-1 -1/2 0 1 設(shè) X B (n1, p), Y B (n2, p), 且獨(dú)立，具有可加性的兩個(gè)離散分布 設(shè) X P (1), Y P (2), 且獨(dú)立，可加性則 X + Y B ( n1+n2, p)則 X + Y P(1+ 2) X P(1), Y P(2), 則Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2, , Poisson分布可加性的證明問題 已知r.v.

3、( X ,Y )的d.f.數(shù)， g(x,y)為已知的二元函數(shù)，求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.方法 從求Z 的分布函數(shù)出發(fā),將Z 的分布函數(shù) 轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件 建立新的二維r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其邊緣分布得Z 的d.f.二維連續(xù)r.v.函數(shù)的分布連續(xù)型(1) 和的分布：Z = X + Y 設(shè)( X ,Y )的聯(lián)合d.f.為 f (x,y), 則 zzx +y= z或特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則或或稱之為函數(shù) f X ( z) 與 f Y ( z)的卷積 例2 已知( X ,Y ) 的聯(lián)合d.f.為Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一（圖形

4、定限法）顯然X ,Y 相互獨(dú)立,且例2z1z = xz-1 = xx21解法二 從分布函數(shù)出發(fā)x+y = z當(dāng)z 0 時(shí)，1yx1當(dāng)0 z 1 時(shí)，yx11x+y = zzzx+y = z當(dāng)1 z 2 時(shí)，z-11yx1zz例3 已知 ( X ,Y ) 的聯(lián)合 d.f.為Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一 （圖形定限法）由公式（1）例31yx1x+y = z22當(dāng)2 z 時(shí)，zxz = xz = 2xx = 112當(dāng) z 2 , zzzz當(dāng) 0 z 1, 當(dāng) 1 z 2, f Z (z) = 0這比用分布函數(shù)做簡(jiǎn)便解法二 （不等式組定限法）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域令不等式邊邊相等

5、,解得 z 軸上的三個(gè)分界點(diǎn) 0，1，2當(dāng) 或 時(shí)不等式組 無解當(dāng) 時(shí)不等式組 解為當(dāng) 時(shí)不等式組 解為 若X ,Y 獨(dú)立,則若相互獨(dú)立則推廣正態(tài)性質(zhì)5獨(dú)立正態(tài)變量的和仍為正態(tài)變量正態(tài)分布性質(zhì)4 若(X ,Y )則正態(tài)性質(zhì)6二維正態(tài)變量的兩個(gè)分量之和仍為正態(tài)變量正態(tài)分布性質(zhì)5另一種計(jì)算 f Z (z) 的方法 構(gòu)造一個(gè)新的二維 r.v. (Z ,V ), 求( Z , V ) 的聯(lián)合 d.f. f ( z, v ) 求邊緣密度 f Z (z)另法其中隨機(jī)變量代換法設(shè)存在唯一的反函數(shù)：h , s 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 則已知 ( X ,Y )的聯(lián)合 d.f. f XY ( x , y )求 (Z,

6、V ) 的 p.d.f. f ZV(z, v) 的公式記證例如 已知(X ,Y )的聯(lián)合d.f. f (x,y)， Z = X / Y , 求 f Z (z)令(2) 商的分布： Z = X / Y 例4 已知 X, Y 相互獨(dú)立且均服從N(0,1)分布解例4時(shí)，試求： = X+Y 、 =X/Y的密度。(3) 極值分布：即極大(小)值的分布離散隨機(jī)變量的極值分布可直接計(jì)算僅就獨(dú)立情形討論極值分布maxX ,Y P1 00.75 0.25 例5 X, Y 相互獨(dú)立, 都服從參數(shù)為 0.5 的0-1分布. 求 M = maxX ,Y 的概率分布解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25

7、0.25例5設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X ,Y 相互獨(dú)立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y ,求 M ,N 的分布函數(shù).推廣相互獨(dú)立，且設(shè)則例6 系統(tǒng) L 由相互獨(dú)立的 n 個(gè)元件組例6(3) 冷貯備 ( 起初由一個(gè)元件工作, 其它 n 1 個(gè)元件做冷貯備, 當(dāng)工作元件失效時(shí), 貯備的元件逐個(gè)地自動(dòng)替換)；成, 其連接方式為 (1)串聯(lián); (2)并聯(lián)；若 n 個(gè)元件壽命分別為且求在以上 3 種組成方式下, 系統(tǒng) L 的壽命 X 的 d.f.解(1) (2)(3)n = 2 時(shí)，txx = t可證, X 1+ X 2 與 X 3 也相互獨(dú)立, 故歸

8、納地可以證明， 問 題設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，且求隨機(jī)變量 的概率密度 函數(shù) 題8 設(shè) X 與Y 相互獨(dú)立, 且 X B (n, p)，Y B (m, p), 則二項(xiàng)分布可加性的證明 附 錄附錄 X + Y B ( n + m , p)證Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2, , n + m（證明中用到 ）k = 0,1,2, , n + m 所以 X +Y B ( n+m , p )(1) 設(shè) n m , 當(dāng) k n 時(shí)，其中證二(2) 當(dāng) n k m 時(shí)(3) 當(dāng) m k n + m 時(shí)故 X + Y B ( n + m , p) 由二項(xiàng)分布背景,不難理解X+Y 表示做了n + m 次試驗(yàn),事件 發(fā)生的次數(shù).前例3 已知 ( X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為Z = X + Y ,求 f Z (z)解法三令前例32uzz = 2uz = u + 1z = u11z = 2u2uzz = u + 1附例 已知 ( X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為Z = 3 X 2 Y ,求