1、基本要求、重點難點11.1線性方程組的消元法11.2線性方程組解的結(jié)構(gòu)11.3線性代數(shù)的應(yīng)用實例11.4演示與實驗十第1頁/共26頁基本要求 理解線性方程組解的概念。 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。 理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。 理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念；掌握用行初等變換求線性方程組的通解的方法，會用特解及相應(yīng)的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示非齊次線性方程組的通解。 第2頁/共26頁重點難點重點：線性方程組的解的理論與求解方法。第3頁/共26頁11.1 線性方程組的消元法 用消元法解線性方程

2、組的具體做法是：對方程組反復(fù)施行初等變換，化為階梯形方程組，然后從階梯形方程組中看出原方程組是有惟一解，無窮多解，無解。這種方法稱為高斯消元法。 上一章中，我們研究了用克拉默法則和逆矩陣求線性方程組的解。它要求方程組必須是n個未知量和n個方程的線性方程組，而且系數(shù)行列式不等于零。對于未知量個數(shù)和線性方程組的個數(shù)不相等，或者相等但系數(shù)行列式為零時，上一章的兩種方法將無能為力。 第4頁/共26頁設(shè)含有n個未知量、有m個方程式組成的方程組 其中系數(shù)a ij，常數(shù)b j 都是已知數(shù)，x i是未知量（也稱為未知數(shù)）。當(dāng)右端常數(shù)項b1,b2,b m不全為0 時，稱方程組（11.1.13）為非齊次線性方程組

3、；當(dāng)b1=b2=b m=0時，即（11.1.13） 稱為齊次線性方程組。 （2）第5頁/共26頁由n個數(shù)k1, k2, , k n組成的一個有序數(shù)組（ k1, k2, , k n ），如果將它們依次代入方程組（11.1.13）中的x1,x2,x n后，（11.1.13）中的每個方程都變成恒等式，則稱這個有序數(shù)組（k1,k2,k n）為方程組（11.1.13）的一個解。顯然由x1=0,x2=0,x n=0組成的有序數(shù)組（0, 0, , 0）是齊次線性方程組（2）的一個解，稱之為齊次線性方程組（2）的無解，而當(dāng)齊次線性方程組的未知量取值不全為零時，稱之為非零解。 非齊次線性方程組（1）的矩陣表示形

4、式為：可用矩陣形式表示為 AX = b 稱A為方程組（1）的系數(shù)矩陣，X 為未知矩陣，B 為常數(shù)矩陣。 第6頁/共26頁將系數(shù)矩陣A 和常數(shù)矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣 稱為方程組（1）的增廣矩陣。 齊次線性方程組（2）的矩陣表示形式為：AX = O(11.1.20) 。 定理11.1線性方程組(11.1.13)有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，即r(A)=r(B).對于方程組(11.1.14)中，若b=(0，0，0)T，則方程組為 AX=O， (11.1.20) 稱為齊次線性方程組。 第7頁/共26頁定理11.2齊次方程組(11.1.20)一定有解：若r(A)=n則只有零解；它有非

5、零解的充要條件是r(A)n。 由上述定理可知，若m是系數(shù)矩陣的行數(shù)：(1) 當(dāng)mn 時，r(A)mn，此時方程組(11.1.20)一定有非零解，即齊次方程中未知量的個數(shù)大于方程的個數(shù)就一定有非零解； (2) 當(dāng)m=n 時，方程組(11.1.20)有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式det A=0(3) 當(dāng)m=n且r(A)=n 時，此時系數(shù)矩陣的行列式det A0，故方程組(11.1.20)只有零解；(4) 當(dāng)mn 時，此時r(A)n，故存在方程組(11.1.20)的同解方程組，使“mn”。 第8頁/共26頁在10.3.2中我們給出了兩個特殊的矩陣列向量和行向量，為了討論方便用小寫的希臘字母a，表

6、示，而對于n元線性方程組(11.1.13)，每一個方程的系數(shù)都可以看成一個n維行向量，即 i=(ai1，ai2，a in)(i=1，2，m)，共有m個n維行向量a1，a2，am，叫做系數(shù)矩陣的行向量組。 每個未知數(shù)的系數(shù)構(gòu)成一個列向量 共有n個列向量，稱為系數(shù)矩陣m 維列向量組。相應(yīng)地，方程組(11.1.13)的常數(shù)項也可以表為一個m 維列向量： 可見，線性方程組(11.1.13)與n+1個m 維列向量組1，2， n，之間是一一對應(yīng)的?？捎孟蛄拷M表示方程組。若方程組有解，即存在x1,x2,x n，使得=x11+x22+x n n成立，此時稱是向量組1,2, n的線性組合。 11.2 線性方程組

7、解的結(jié)構(gòu) 第9頁/共26頁11.2.1 向量的線性相關(guān)性 定義11.1 設(shè)a1，a2, m和都是n 維行(列)向量，若存在一組數(shù)1,2,am，使得=11+22+ m m， 則稱向量是向量組1,2, m的線性組合或稱可由向量組1,2, m 線性表出。 由此可得：方程組(11.1.13)有解的充要條件是可由向量組1，2， n 線性表出。 例 11.2.1 求證任一n維向量=(a1，a2, n)是向量組1=(1，0，0)，2=(0，1，0)， n=(0，0，1)的線性組合。證 事實上，令1=a1，2=a2， n=an，則有=(a1，a2，an)=a11+a22+a n n.即向量是向量組1，2， n

8、的線性組合，或者說任意 n 維向量可由向量組1，2， n 線性表出。向量組1，2， n稱為n維單位向量組。第10頁/共26頁定義11.2 設(shè)n 維向量1,2, m，若存在一組不全為零的實數(shù)1,2, m，使11+22+mm =0 成立，則稱向量組1,2, m線性相關(guān)。否則，稱向量組1,2,am 線性無關(guān)。定義11.3 在向量組1,2, m中，若有r 個向量(rm)線性無關(guān)，而任意添加一個向量(r 個向量之外還有的話)都是線性相關(guān)，則稱這 r 個向量構(gòu)成的部分向量組稱為原向量組的極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組。 第11頁/共26頁11.2.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 設(shè)線性方程組(11.1.13)

9、，寫成矩陣形式如(11.1.14)的形式，當(dāng)b1=b2=b m=0，即b為零向量時，為齊次方程組(11.1.20)。也稱為方程組(11.1.14)的導(dǎo)出方程組。方程組的解是一個列向量X=(x1，x2，x n)T，稱為方程組的解向量。 設(shè)齊次方程組(11.1.20)有非零解，則它的解有下述性質(zhì)： 第12頁/共26頁定義11.4 設(shè)1，2， s是方程組(11.1.20)的一組解向量，并且： (1) 1，2， s 線性無關(guān)； (2) 方程組(11.1.20)的任一解向量都可由向量組1，2， s 線性表出。 則稱1，2， s 是線性方程組(11.1.20)的一個基礎(chǔ)解系。定理11.3 若齊次線性方程組

10、(11.1.20)的系數(shù)矩陣A的秩r n (r 0)，那么方程組(11.1.20)有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于n-r。第13頁/共26頁 對于齊次線性方程組，其向量方程形式為：Ax=O，它的解向量可用通式表示為：=k11+k22+.+k n-rn-r，(其右端的1,2,n-r都是解向量：若取k1=1，其余的k為0，即可看出1為解向量，.。) 故我們可以說，Ax=0的解向量為某n-r 個線性無關(guān)的解向量的線性組合。注：這任意 n-r 個線性無關(guān)的解向量是齊次線性方程組解空間中的一個最大線性無關(guān)組。是解空間的一個基。第14頁/共26頁11.2.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 齊次線性方

11、程組(11.1.13)的解與它的導(dǎo)出方程組(11.1.20)的解之間有密切的關(guān)系，具有以下兩個性質(zhì)： 第15頁/共26頁定理11.4 若*是方程組(11.1.13)的一個解，1，2， n-r 是它的導(dǎo)出組(11.1.20)的一個基礎(chǔ)解系，則方程組(11.1.13)的全部解為=*+k11+k22+k n-r n-r，(11.2.5)。 其中k1，k2，k n-r 是任意實數(shù)。 證 先證是方程組(11.1.13)的一個解。事實上，由于 A=A(*+k11+k22+k n-rn-r)=A*+k1A1+k2A2+k n-r An-r=b+O+O=b. 再證方程組(11.1.13)的任意解都可以用式(1

12、1.2.5)表示。設(shè)是方程組(11.1.13)的任意一個解，則由性質(zhì)11.3知，-*可由導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系表出，即有 -*=k11+k22+k n-rn-r，于是，=*+k11+k22+k n-rn-r.第16頁/共26頁11.3 線性代數(shù)的應(yīng)用實例 11.3.1 線性規(guī)劃問題 例 11.3.1 第17頁/共26頁線性規(guī)劃問題的一般形式如下：設(shè)有n個變量x1,x2,x n滿足 S 稱為目標(biāo)函數(shù)，式(11.3.3)稱為約束條件。 引入新的非負(fù)變量(稱為松弛變量)x3,x4,x5就可以使不等式組(11.3.2)變?yōu)橐唤M等式。因為2x1+x2比 80 小，加上某個正數(shù)量x3，使得它們的和為 80。

13、類似地，也可以使式(11.3.2)的另外兩式變?yōu)榈仁剑谑?，有?8頁/共26頁 顯然，滿足式(11.3.4)和式(11.3.5)的解x i(i=1,2,3,4,5)中的x1,x2必定滿足式(11.3.1)和式(11.3.2)，因此，求滿足式(11.3.5)的解x i(i=1,2,3,4,5),使50 x1+30 x2+0 x3+0 x4+0 x5(即式(11.3.4)取最大值，其中的x1、x2就是原線性規(guī)劃問題的解。因此，我們將公式(11.3.3)改寫成等式形式，稱為線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式，即 其中bi0(i=1,2,m).滿足公式(11.3.6)的x1,x2,x n稱為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解

14、，相應(yīng)地 maxS=S0 稱為該問題的最優(yōu)值。 第19頁/共26頁11.3.2 線性規(guī)劃問題的初等解法 如果把S 亦視為一個變量，公式(11.3.6)寫為 第20頁/共26頁11.4 演示與實驗十 11.4.1 實驗?zāi)康?1. 學(xué)習(xí)用Mathematica判定非齊次線性方程組解的存在性； 2. 學(xué)習(xí)用Mathematica求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解； 3. 學(xué)習(xí)用Mathematica求非齊次線性方程組的通解和特解。第21頁/共26頁11.4.2 內(nèi)容與步驟 1. 用Mathematica判定非齊次線性方程組解的存在性。 根據(jù)線性方程組解的存在性定理，只要求出系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，即可判定方程組的解是否存在。 求矩陣的秩，除可以用10.6.2中的方法外，還可以用下面的命令：n-LengthNullSpaceA其中，n是矩陣A的列數(shù)，LengthNullSpaceA是齊次線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)。 第22頁/共26頁2. 用Mathematica求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解