1、2022-6-261通信原理第第10章章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收數(shù)字信號(hào)的最佳接收2022-6-262數(shù)字信號(hào)的最佳接收在數(shù)字通信系統(tǒng)中，信道的傳輸特性和傳輸過程中噪聲的在數(shù)字通信系統(tǒng)中，信道的傳輸特性和傳輸過程中噪聲的存在是影響通信性能的兩個(gè)主要因素。本章要討論的最佳存在是影響通信性能的兩個(gè)主要因素。本章要討論的最佳接收，就是研究在噪聲干擾中如何有效地檢測(cè)出信號(hào)。接收，就是研究在噪聲干擾中如何有效地檢測(cè)出信號(hào)。所謂最佳是在某種標(biāo)準(zhǔn)下系統(tǒng)性能達(dá)到最佳，最佳標(biāo)準(zhǔn)也所謂最佳是在某種標(biāo)準(zhǔn)下系統(tǒng)性能達(dá)到最佳，最佳標(biāo)準(zhǔn)也稱最佳準(zhǔn)則。因此，最佳接收是一個(gè)相對(duì)的概念，在某種稱最佳準(zhǔn)則。因此，最佳接收是一個(gè)相對(duì)的

2、概念，在某種準(zhǔn)則下的最佳系統(tǒng)，在另外一個(gè)準(zhǔn)則下就不一定是最佳的。準(zhǔn)則下的最佳系統(tǒng)，在另外一個(gè)準(zhǔn)則下就不一定是最佳的。在數(shù)字通信中，最常采用的最佳準(zhǔn)則是在差錯(cuò)概率最小準(zhǔn)在數(shù)字通信中，最常采用的最佳準(zhǔn)則是在差錯(cuò)概率最小準(zhǔn)則和輸出信噪比最大準(zhǔn)則。下面我們分別討論在這兩種準(zhǔn)則和輸出信噪比最大準(zhǔn)則。下面我們分別討論在這兩種準(zhǔn)則下的最佳接收問題。則下的最佳接收問題。2022-6-26310.1數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制碼元為；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“0”和和“

3、1”，其發(fā)送概率分別為，其發(fā)送概率分別為P(0)和和P(1)，則有，則有P(0) + P(1) = 1若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通信號(hào)，則根據(jù)低通信號(hào)抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。設(shè)在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間設(shè)在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)以內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到的速率抽樣，共得到k個(gè)抽樣值：，則有個(gè)抽樣值：，則有k 2fHTs。2022-6-264數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性由于每個(gè)噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故由于每個(gè)噪聲電壓

4、抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫為其一維概率密度可以寫為式中，式中， n 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差；噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差； n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率；噪聲的方差，即噪聲平均功率； i 1，2，k。設(shè)接收噪聲電壓設(shè)接收噪聲電壓n(t)的的k個(gè)抽樣值的個(gè)抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函維聯(lián)合概率密度函數(shù)為數(shù)為 222exp21)(nininnf),(21kknnnf2022-6-265數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性高斯噪聲通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯噪聲通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之

5、間是互不相關(guān)、互相獨(dú)立的。這樣，此相關(guān)、互相獨(dú)立的。這樣，此k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為表示為當(dāng)當(dāng)k 很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為：率可以表示為：或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(12022-6-266數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性利用上式關(guān)系，并注意到利用上式關(guān)系，并注意到 式中

6、式中 n0 噪聲單邊功率譜密度噪聲單邊功率譜密度則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為：則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為：式中式中: n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個(gè)碼元維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)噪聲的內(nèi)噪聲的k個(gè)抽樣值。個(gè)抽樣值。需要注意，需要注意，f(n)不是時(shí)間函數(shù)，雖然式中有時(shí)間函數(shù)不是時(shí)間函數(shù)，雖然式中有時(shí)間函數(shù)n(t)，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時(shí)間變量但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時(shí)間變量t無關(guān)。無關(guān)。n是是一個(gè)一個(gè)k維矢量，它可以看作是維矢量，它可以看作是k 維空間中的一個(gè)點(diǎn)。維空間中的一個(gè)點(diǎn)。 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21

7、)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn nkiisHTsnTfdttnTs120221)(12022-6-267數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性在碼元持續(xù)時(shí)間在碼元持續(xù)時(shí)間Ts、噪聲單邊功率譜密度、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)和抽樣數(shù)k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量：內(nèi)噪聲的能量：由于噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)噪聲的波形和能由于噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，而另一些則無錯(cuò)。

8、而另一些則無錯(cuò)。sTdttn02)(sTkndttnnf020)(1exp21)(n2022-6-268數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性設(shè)接收電壓設(shè)接收電壓r(t)為信號(hào)電壓為信號(hào)電壓s(t)和噪聲電壓和噪聲電壓n(t)之和之和:r(t) = s(t) + n(t)則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機(jī)性將完全由的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為 n2，但是均，但是均值變?yōu)橹底優(yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0”的信號(hào)波形為的信號(hào)波形為s0(t)時(shí)，時(shí)，接收電壓接收電壓r(t)的的k維聯(lián)合概率密

9、度函數(shù)為維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中式中: r = s + n k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的k個(gè)抽樣值；個(gè)抽樣值； s k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的k個(gè)抽樣值。個(gè)抽樣值。dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r似然函數(shù)似然函數(shù)2022-6-269數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性同理，當(dāng)發(fā)送碼元同理，當(dāng)發(fā)送碼元“1“的信號(hào)波形為的信號(hào)波形為s1(t)時(shí)，接收電壓時(shí)，接收電壓r(t)的的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為維聯(lián)合概率密度函數(shù)為以上三式中的以上三式中的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時(shí)間維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時(shí)間t的函

10、數(shù)，并的函數(shù)，并且是一個(gè)標(biāo)量，而且是一個(gè)標(biāo)量，而r 仍是仍是k維空間中的一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)矢量。維空間中的一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)矢量。dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r r似然函數(shù)似然函數(shù)2022-6-261010.2 數(shù)字信號(hào)的最佳接收在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀最合理的準(zhǔn)則是在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀最合理的準(zhǔn)則是“最小差錯(cuò)概率最小差錯(cuò)概率”產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯(cuò)誤概率最小。數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯(cuò)誤概率最小。判決規(guī)則判決規(guī)則 設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元設(shè)

11、在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為的概率為P(1)，發(fā)送碼元發(fā)送碼元“0”的概率為的概率為P(0)，則總誤碼率，則總誤碼率Pe等于等于式中式中 Pe1 = P(0/1) 發(fā)送發(fā)送“1”時(shí)，收到時(shí)，收到“0”的條件概率；的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發(fā)送發(fā)送“0”時(shí)，收到時(shí)，收到“1”的條件概率；的條件概率；上面這兩個(gè)條件概率稱為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率。上面這兩個(gè)條件概率稱為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率。01)0() 1 (eeePPPPP2022-6-2611數(shù)字信號(hào)的最佳接收數(shù)字信號(hào)的最佳接收按照上述分析，接收端收到的每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)的電壓可按照上述分析，接收端收到的每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)的電壓可以

12、用一個(gè)以用一個(gè)k 維矢量表示。接收設(shè)備需要對(duì)每個(gè)接收矢量作判維矢量表示。接收設(shè)備需要對(duì)每個(gè)接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元決，判定它是發(fā)送碼元“0”，還是，還是“1”。由接收矢量決定的兩個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù)由接收矢量決定的兩個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和和f1(r)的曲的曲線畫在下圖中（在圖中把線畫在下圖中（在圖中把r 當(dāng)作當(dāng)作1維矢量畫出。）：維矢量畫出。）：可以將此空間劃分為兩個(gè)區(qū)域可以將此空間劃分為兩個(gè)區(qū)域A0和和A1，其邊界是，其邊界是r0 ，并將并將判決規(guī)則規(guī)定為：判決規(guī)則規(guī)定為： 若接收矢量落在區(qū)域若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”；若接收矢量落在區(qū)

13、域若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)2022-6-2612數(shù)字信號(hào)最佳接收顯然，區(qū)域顯然，區(qū)域A0和區(qū)域和區(qū)域A1是兩個(gè)是兩個(gè)互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個(gè)區(qū)互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個(gè)區(qū)域的邊界域的邊界r0 確定后，錯(cuò)誤概率確定后，錯(cuò)誤概率也隨之確定了。也隨之確定了。這樣，總誤碼率可以寫為這樣，總誤碼率可以寫為式中，式中，P(A0/1)表示發(fā)送表示發(fā)送“1”時(shí)，矢量落在區(qū)域時(shí)，矢量落在區(qū)域A0的條件概的條件概率；率；P(A1/0)表示發(fā)送表示發(fā)送“0”時(shí)，時(shí)， 矢量落在區(qū)域矢量落在區(qū)域A1的條件概率；的

14、條件概率；這兩個(gè)條件概率可以寫為：這兩個(gè)條件概率可以寫為：這兩個(gè)概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。這兩個(gè)概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r2022-6-2613數(shù)字信號(hào)最佳接收將上兩式代入將上兩式代入得到得到參考上圖可知，上式可以寫為參考上圖可知，上式可以寫為可以看出，系統(tǒng)總的誤碼率與先驗(yàn)概率、似然函數(shù)及劃分可以看出，系統(tǒng)總的誤碼率與先驗(yàn)概率、似然函數(shù)及劃分點(diǎn)點(diǎn)r0 有關(guān)，在先驗(yàn)概率和似然函數(shù)一定

15、的情況下，系統(tǒng)總有關(guān)，在先驗(yàn)概率和似然函數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)總的誤碼率的誤碼率Pe是劃分點(diǎn)的函數(shù)。不同的是劃分點(diǎn)的函數(shù)。不同的r0 將有不同的將有不同的Pe，我，我們希望選擇一點(diǎn)劃分點(diǎn)使誤碼率達(dá)到最小，這個(gè)劃分點(diǎn)稱們希望選擇一點(diǎn)劃分點(diǎn)使誤碼率達(dá)到最小，這個(gè)劃分點(diǎn)稱為最佳劃分點(diǎn)。為最佳劃分點(diǎn)。)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr r2022-6-2614數(shù)字信號(hào)最佳接收為了求出使為了求出使Pe最小的判決分界點(diǎn)最小的判決分界點(diǎn)r0 ，

16、將上式對(duì)，將上式對(duì)r0 求導(dǎo)求導(dǎo) 并令導(dǎo)函數(shù)等于并令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出最佳分界點(diǎn)求出最佳分界點(diǎn)r0的條件：的條件：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr r2022-6-2615數(shù)字信號(hào)最佳接收即即:當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，即當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，即P(1) = P(0)時(shí)，時(shí)，f0(r0) = f1(r0)，所，所以最佳分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線交點(diǎn)處的以最佳分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線交點(diǎn)處的r 值

17、上。值上。在判決邊界確定之后，按照接收矢量在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區(qū)域落在區(qū)域A0應(yīng)判為收應(yīng)判為收到的是到的是“0”的判決準(zhǔn)則，這時(shí)有：的判決準(zhǔn)則，這時(shí)有：若若 則判為則判為“0” ；反之，若反之，若則判為則判為“1” 。0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)2022-6-2616數(shù)字信號(hào)最佳接收在發(fā)送在發(fā)送“0”和發(fā)送和發(fā)送“1”的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上兩

18、式的條件簡的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上兩式的條件簡化為：化為：這個(gè)判決準(zhǔn)則常稱為這個(gè)判決準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則最大似然準(zhǔn)則。其物理概念是，接收到。其物理概念是，接收到的波形的波形y中，哪個(gè)似然函數(shù)大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn)。中，哪個(gè)似然函數(shù)大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn)。按照這個(gè)準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到按照這個(gè)準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。理論上的誤碼率最小值。 若若f0(r) f1(r)，則判為，則判為“0” 若若f0(r) f1(r)，則判為，則判為“1” 111)() 1 ()()0() 1 ()()0(1)1 ()0/()0()1/(1)1 (10011

19、1AAAedfPfPPdfPdfPAPPAPPPr rr rr rr rr rr rr r2022-6-2617在數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收機(jī)輸入信號(hào)根據(jù)其特性的不同可在數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收機(jī)輸入信號(hào)根據(jù)其特性的不同可以分為兩大類，一類是確知信號(hào)，另一類是隨參信號(hào)。以分為兩大類，一類是確知信號(hào)，另一類是隨參信號(hào)。n確知信號(hào)，一個(gè)信號(hào)出現(xiàn)后，它的所有參數(shù)確知信號(hào)，一個(gè)信號(hào)出現(xiàn)后，它的所有參數(shù)(如幅度、如幅度、頻率、相位、到達(dá)時(shí)刻等頻率、相位、到達(dá)時(shí)刻等)都是確知的。如數(shù)字信號(hào)通都是確知的。如數(shù)字信號(hào)通過恒參信道達(dá)到接收機(jī)輸入端的信號(hào)。過恒參信道達(dá)到接收機(jī)輸入端的信號(hào)。n隨參信號(hào)，根據(jù)信號(hào)中隨機(jī)參量的不

20、同又可細(xì)分為隨機(jī)隨參信號(hào)，根據(jù)信號(hào)中隨機(jī)參量的不同又可細(xì)分為隨機(jī)相位信號(hào)、隨機(jī)振幅信號(hào)和隨機(jī)振幅隨機(jī)相位信號(hào)相位信號(hào)、隨機(jī)振幅信號(hào)和隨機(jī)振幅隨機(jī)相位信號(hào)(起起伏信號(hào)伏信號(hào))。10.3 確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)2022-6-261810.3 確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)設(shè)達(dá)到接收機(jī)輸入端的兩個(gè)確知信號(hào)分別為設(shè)達(dá)到接收機(jī)輸入端的兩個(gè)確知信號(hào)分別為so(t)和和s1(t)，它，它們的持續(xù)時(shí)間為（們的持續(xù)時(shí)間為（0，Ts），且有相等的能量，即），且有相等的能量，即判決準(zhǔn)則判決準(zhǔn)則當(dāng)發(fā)送碼元為當(dāng)發(fā)送碼元為“0”，波形為，波形為so(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為時(shí)，接收電壓的概率密度為當(dāng)發(fā)送碼元為當(dāng)發(fā)送碼元為

21、“1”，波形為，波形為s1(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為時(shí)，接收電壓的概率密度為dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r r ssTTdttsEdttsEE02110200)()()0() 1 (10r rr rffPP判為判為“0”判為判為“1”)()()0() 1 (10r rr rffPP2022-6-2619確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)若若則判為發(fā)送碼元是則判為發(fā)送碼元是s0(t)；若；若 則判為發(fā)送碼元是則判為發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對(duì)數(shù)，得到若將上兩式的兩端分別取對(duì)數(shù)，得到若則判為發(fā)

22、送碼元是則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是；反之則判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于。由于已經(jīng)假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即已經(jīng)假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即所以上式還可以進(jìn)一步簡化。所以上式還可以進(jìn)一步簡化。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttsdtts021020)()(2022-6-2620確知數(shù)字信號(hào)

23、的最佳接收機(jī)若若則判為發(fā)送碼元是則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)。式中式中W0和和W1可以看作是由先驗(yàn)概率決定的加權(quán)因子?？梢钥醋魇怯上闰?yàn)概率決定的加權(quán)因子。ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 2022-6-2621最佳接收機(jī)ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決比較判決積分器積分器積分器積分器按照上式畫出的最佳接收機(jī)原理方框圖如下：按照上式畫出的最佳接收機(jī)原理方框圖如下：這種最佳接

24、收機(jī)的結(jié)構(gòu)是按比較觀察波形這種最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)是按比較觀察波形y(t)與與s0(t)和和s1(t)的相關(guān)性而構(gòu)成的，稱為相關(guān)接收機(jī)。其中相乘器與積分器的相關(guān)性而構(gòu)成的，稱為相關(guān)接收機(jī)。其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器。構(gòu)成相關(guān)器。2022-6-2622r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器積分器積分器比較判決比較判決t = Ts最佳接收機(jī)若此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，則上式若此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，則上式簡化為簡化為最佳接收機(jī)的原理方框圖也可以簡化成最佳接收機(jī)的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)(

25、)()()(2022-6-2623最佳接收機(jī)由上述討論不難推出由上述討論不難推出M進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) 上面的最佳接收機(jī)的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運(yùn)算，上面的最佳接收機(jī)的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運(yùn)算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。由最佳接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。由最佳接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。 積分器積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比比較較判判決決積分器積分器積分器積分器2022-6-262410.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率若上述條件成立，則判為發(fā)送碼元是若上述條件

26、成立，則判為發(fā)送碼元是s0(t)；在發(fā)送碼元是；在發(fā)送碼元是s1(t)時(shí)，將發(fā)生錯(cuò)誤判決，將時(shí)，將發(fā)生錯(cuò)誤判決，將r (t) = s1(t) +n (t)代入代入ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1ln ssTTdttstsPPndttststn00201001)()(21) 1 (0ln2)()(a a只要求出隨機(jī)變量只要求出隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，即可計(jì)算出上述的的概率密度函數(shù)，即可計(jì)算出上述的值。高斯型隨機(jī)過程的積分是一個(gè)高斯型隨機(jī)變量。所以值。高斯型隨機(jī)過程的積分是一個(gè)高斯型隨機(jī)變量。所以是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。是一個(gè)高斯隨機(jī)變量

27、。P（）2022-6-2625系統(tǒng)總的誤碼率系統(tǒng)總的誤碼率10.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率axdxeaPP222211/0bxdxebPP222210/1 sTdttstsPPna020102110ln2 sTdttstsnD0201022 bxaxedxePdxePP222222210211 sTdttstsPPnb021002101ln22022-6-2626在在0和和1等概的條件下等概的條件下10.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率dxePcxe22221式中式中Tdttstsc0210)()(21上式表明，當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，對(duì)于給定的噪聲功率，誤上式表明，當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，對(duì)于

28、給定的噪聲功率，誤碼率僅和兩種信號(hào)碼元波形的差別碼率僅和兩種信號(hào)碼元波形的差別s0(t)-s1(t)的能量有的能量有關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差別越大，關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差別越大，c值越小，誤碼率值越小，誤碼率Pe也也越小。先驗(yàn)概率不等時(shí)的誤碼率將略小于先驗(yàn)概率相等時(shí)越小。先驗(yàn)概率不等時(shí)的誤碼率將略小于先驗(yàn)概率相等時(shí)的誤碼率。就誤碼而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。的誤碼率。就誤碼而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。2022-6-2627在噪聲強(qiáng)度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號(hào)碼元的在噪聲強(qiáng)度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號(hào)碼元的區(qū)別，我們用碼元的相關(guān)系數(shù)區(qū)別，我們用碼元的相關(guān)系數(shù) 來定量描述

29、碼元區(qū)別：來定量描述碼元區(qū)別：10.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsTTTT式中式中TdttsE0200)(TdttsE0211)(當(dāng)當(dāng)s0(t) = s1(t)時(shí)，時(shí)， 1，為最大值；，為最大值；當(dāng)當(dāng)s0(t) = -s1(t)時(shí)，時(shí)， -1，為最小值。，為最小值。2022-6-2628當(dāng)當(dāng)E E0 0 = E = E1 1 = E = Eb b時(shí)，有時(shí)，有10.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率bTEdttsts010)()()1 ()()(210210bTEdttstsc及及代入代入dxeP

30、cxe22221dxedxePbExcxe)1(2222222121得出得出化簡后，得化簡后，得002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe2022-6-2629上式是一個(gè)非常重要的上式是一個(gè)非常重要的理論公式理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最佳（最小可能）值。能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最佳（最小可能）值。由上式可以看出：由上式可以看出：n誤碼率和噪聲功率無直接關(guān)系，和噪聲功率譜密度誤碼率和噪聲功率無直接關(guān)系，和噪聲功率譜密度n n0 0有關(guān)有關(guān)n誤碼率和信號(hào)波形無直接關(guān)系，和誤碼率和信號(hào)波形無直接關(guān)系，和E Eb b及相關(guān)系數(shù)及相關(guān)系

31、數(shù) 有關(guān)；有關(guān)；n由互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)，為了得到最小的誤碼率由互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)，為了得到最小的誤碼率P Pe e，就要，就要使使E Eb b(1- (1- )/2n)/2n0 0最大化，當(dāng)信號(hào)能量最大化，當(dāng)信號(hào)能量E Eb b和噪聲功率譜密度和噪聲功率譜密度n n0 0一定時(shí)，誤碼率一定時(shí)，誤碼率P Pe e就是互相關(guān)系數(shù)就是互相關(guān)系數(shù) 的函數(shù)。的函數(shù)。n互相關(guān)系數(shù)互相關(guān)系數(shù) 愈小，誤碼率也愈小。愈小，誤碼率也愈小。 的取值范圍為的取值范圍為 -1 -1 1 110.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe2022-6-2630當(dāng)當(dāng)

32、= 1= 1時(shí)時(shí)，誤碼率最大。這時(shí)的誤碼率，誤碼率最大。這時(shí)的誤碼率P Pe e = 1 / 2 = 1 / 2。當(dāng)當(dāng) = -1= -1時(shí)，誤碼率最小。這時(shí)時(shí)，誤碼率最小。這時(shí)10.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率0021121nEerfcnEerfPbbe2PSK當(dāng)當(dāng) = 0= 0時(shí)時(shí)，為正交信號(hào)，這時(shí)，為正交信號(hào)，這時(shí)002212121nEerfcnEerfPbbe2FSK當(dāng)當(dāng)E E0 0 = 0 = 0，E E1 1 = E = Eb b時(shí)時(shí)Tdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe2ASK2022-6-263110.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率2

33、ASK2ASK信號(hào)的性能比信號(hào)的性能比2FSK2FSK信號(hào)差信號(hào)差3dB3dB，而，而2FSK2FSK信號(hào)又比信號(hào)又比2PSK2PSK信信號(hào)差號(hào)差3dB3dB。nssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (實(shí)際相當(dāng)于實(shí)際相當(dāng)于接收信號(hào)噪接收信號(hào)噪聲功率比聲功率比在第五章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)誤碼率性能分析中我們知道，在第五章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)誤碼率性能分析中我們知道，雙極性信號(hào)的誤碼率低于單極性信號(hào)，其原因之一就是雙雙極性信號(hào)的誤碼率低于單極性信號(hào)，其原因之一就是雙極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù) =-1=-1，而單極性信號(hào)之間的互，而單極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) =0

34、=0。2022-6-263210.5 隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收假設(shè)：假設(shè)：n 2FSK信號(hào)的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)；信號(hào)的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)；n通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；n接收信號(hào)碼元相位的概率密度服從均勻分布。接收信號(hào)碼元相位的概率密度服從均勻分布。因此，可以將此信號(hào)表示為：因此，可以將此信號(hào)表示為：及將此信號(hào)隨機(jī)相位的概率密度表示為：及將此信號(hào)隨機(jī)相位的概率密度表示為：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他處, 020,2/1)(00f其他處, 020,2/1)(11f2022-6-2633隨相數(shù)字信

35、號(hào)的最佳接收判決條件：由于已假設(shè)碼元能量相等，故有判決條件：由于已假設(shè)碼元能量相等，故有在討論確知信號(hào)的最佳接收時(shí)，對(duì)于先驗(yàn)概率相等的信號(hào)，在討論確知信號(hào)的最佳接收時(shí)，對(duì)于先驗(yàn)概率相等的信號(hào)，按照下式條件作判決：按照下式條件作判決：若接收矢量若接收矢量r使使f1(r) f0(r)，則判發(fā)送碼元是，則判發(fā)送碼元是“0”，若接收矢量若接收矢量r使使f0(r) f1(r)，則判發(fā)送碼元是，則判發(fā)送碼元是“1”?，F(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的f0(r)和和f1(r)分別可以表示為：分別可以表示為：上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算后，代入判決條件，就可以得出最終

36、上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件的判決條件.ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r2022-6-2634隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收最終的判決條件：最終的判決條件： 若接收矢量若接收矢量r 使使M12 M02，則判為發(fā)送碼元是，則判為發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量若接收矢量r 使使M02 M12，則判為發(fā)送碼元是，則判為發(fā)送碼元是“1”。其中：其中：按照上面判決準(zhǔn)則構(gòu)成的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)示于下按照上面判決準(zhǔn)則構(gòu)成的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)示于下圖中。

37、圖中。 ,20200YXM,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(2022-6-2635隨相信號(hào)最佳接收機(jī)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)相關(guān)器相關(guān)器平平 方方cos 0t相相 加加相關(guān)器相關(guān)器平平 方方sin 0t相關(guān)器相關(guān)器平平 方方cos 1t相相 加加相關(guān)器相關(guān)器平平 方方sin 1t比比 較較r(t)Y0X1Y1X02022-6-2636起伏信號(hào)：包絡(luò)隨機(jī)起伏、相位隨機(jī)變化的信號(hào)起伏信號(hào)：包絡(luò)隨機(jī)起伏、相位隨機(jī)變化的信號(hào)設(shè)：信號(hào)設(shè)：信號(hào) 2FSK2FSK調(diào)制、等能量、等先驗(yàn)概率、

38、調(diào)制、等能量、等先驗(yàn)概率、 相位的概率密度服從均勻分布；相位的概率密度服從均勻分布；噪聲噪聲 帶限高斯白噪聲帶限高斯白噪聲信號(hào)表達(dá)式信號(hào)表達(dá)式10.6 起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收)cos(),()cos(),(111111000000tAVtstAVtsA0和和A1服從同一瑞利分布服從同一瑞利分布2 , 1, 0,2exp)(222iAAAAfisisii 0和和 1的概率密度服從均勻分布：的概率密度服從均勻分布：2 , 1,20,2/ 1)(ifii222siAE均方值均方值2022-6-2637判決規(guī)則：同前判決規(guī)則：同前 若接收矢量若接收矢量r r使使f f1 1(r) f(r) f(r)

39、f0 0(r)(r)，則判發(fā)送碼元是，則判發(fā)送碼元是“1”1”。10.6 起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收現(xiàn)在現(xiàn)在 20000000000),/()()()(ddVVffVffrr r 20111111011),/()()()(ddVVffVffrr r誤碼率計(jì)算結(jié)果誤碼率計(jì)算結(jié)果)/(210nEPe式中，式中，E為接收碼元的統(tǒng)計(jì)平均能量為接收碼元的統(tǒng)計(jì)平均能量2022-6-2638衰落對(duì)衰落對(duì)2FSK2FSK信號(hào)誤碼率的影響：信號(hào)誤碼率的影響：由圖可見，由圖可見， 當(dāng)誤碼率等于當(dāng)誤碼率等于1010-2-2時(shí)，衰落使性能下降約時(shí)，衰落使性能下降約10dB10dB；當(dāng)誤碼率等于當(dāng)誤碼率等于1010-3-3

40、時(shí)，下降約時(shí)，下降約20dB20dB。即，在有衰落時(shí)，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。即，在有衰落時(shí)，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。10.6 起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收2022-6-2639相干相干2ASK信號(hào)信號(hào)非相干非相干2ASK信號(hào)信號(hào)相干相干2FSK信號(hào)信號(hào)非相干非相干2FSK信號(hào)信號(hào)相干相干2PSK信號(hào)信號(hào)差分相干差分相干2DPSK信號(hào)信號(hào)同步檢測(cè)同步檢測(cè)2DPSK信號(hào)信號(hào)10.7 實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21

41、nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb實(shí)際接收機(jī)的實(shí)際接收機(jī)的Pe最佳接收機(jī)的最佳接收機(jī)的Pe2022-6-2640兩種結(jié)構(gòu)形式的接收機(jī)誤碼率表示式具有相同的數(shù)學(xué)形式，兩種結(jié)構(gòu)形式的接收機(jī)誤碼率表示式具有相同的數(shù)學(xué)形式，實(shí)際接收機(jī)的信噪比實(shí)際接收機(jī)的信噪比 r=S/N與最佳接收機(jī)中的能量噪聲與最佳接收機(jī)中的能量噪聲功率譜密度之比功率譜密度之比Eb/n0相對(duì)應(yīng)。我們來分析相對(duì)應(yīng)。我們來分析r與與Eb/n0之間之間的關(guān)系。的關(guān)系。我們知道，實(shí)際接收機(jī)輸入端總是有一個(gè)帶通濾波器，其我們知道，實(shí)際接收機(jī)輸入端總是有一個(gè)帶通濾波器，

42、其作用主要有兩個(gè)：一是使輸入信號(hào)順利通過；二是使噪聲作用主要有兩個(gè)：一是使輸入信號(hào)順利通過；二是使噪聲盡可能少的通過，以減少噪聲對(duì)信號(hào)檢測(cè)的影響。信噪比盡可能少的通過，以減少噪聲對(duì)信號(hào)檢測(cè)的影響。信噪比r=S/N是指帶通濾波器輸出端的信噪比。是指帶通濾波器輸出端的信噪比。設(shè)噪聲為高斯白噪聲，單邊功率譜密度為設(shè)噪聲為高斯白噪聲，單邊功率譜密度為n0，帶通濾波器，帶通濾波器的等效矩形帶寬為的等效矩形帶寬為B，則帶通濾波器輸出端的信噪比為，則帶通濾波器輸出端的信噪比為10.7 實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較BnSNSr0r與帶通濾波器與帶通濾波器帶寬帶寬B有關(guān)有關(guān)2022-6-2641對(duì)于最佳接收

43、系統(tǒng)，接收機(jī)前端沒有帶通濾波器，其輸入對(duì)于最佳接收系統(tǒng)，接收機(jī)前端沒有帶通濾波器，其輸入端信號(hào)能量與噪聲功率譜密度之比為端信號(hào)能量與噪聲功率譜密度之比為 S為信號(hào)平均功率，為信號(hào)平均功率，T為碼元時(shí)間寬度。為碼元時(shí)間寬度。對(duì)系統(tǒng)性能的比較最終可歸結(jié)為對(duì)實(shí)際接收機(jī)帶通濾波器對(duì)系統(tǒng)性能的比較最終可歸結(jié)為對(duì)實(shí)際接收機(jī)帶通濾波器帶寬帶寬B與碼元時(shí)間寬度與碼元時(shí)間寬度T的比較。的比較。1/T是基帶數(shù)字信號(hào)的重復(fù)頻率，對(duì)于是基帶數(shù)字信號(hào)的重復(fù)頻率，對(duì)于2PSK等數(shù)字調(diào)制信等數(shù)字調(diào)制信號(hào)，號(hào)， 1/T的寬度等于的寬度等于2PSK信號(hào)頻譜主瓣寬度的一半。若信號(hào)頻譜主瓣寬度的一半。若選擇帶通濾波器的帶寬選擇帶通

44、濾波器的帶寬B1/T，則必然會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重，則必然會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重的失真。這表明，為使信號(hào)順利通過，帶通濾波器的帶寬的失真。這表明，為使信號(hào)順利通過，帶通濾波器的帶寬必須滿足必須滿足B 1/T。在此情況下，實(shí)際接收機(jī)性能比最佳。在此情況下，實(shí)際接收機(jī)性能比最佳接收機(jī)差。接收機(jī)差。10.7 實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較TnSnSTnEb/10002022-6-264210.8 數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法在數(shù)字通信系統(tǒng)中，濾波器是重要部件之一，作用有兩個(gè)在數(shù)字通信系統(tǒng)中，濾波器是重要部件之一，作用有兩個(gè)方面，第一使濾波器輸出有用信號(hào)成分盡可能強(qiáng)；第二抑方面，第一使濾波器輸出有用信號(hào)成分盡可能強(qiáng)

45、；第二抑制信號(hào)帶外噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小制信號(hào)帶外噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小噪聲對(duì)信號(hào)判決的影響。噪聲對(duì)信號(hào)判決的影響。通常對(duì)最佳線性濾波器的設(shè)計(jì)有兩種準(zhǔn)則：通常對(duì)最佳線性濾波器的設(shè)計(jì)有兩種準(zhǔn)則：n一種是使濾波器輸出的信號(hào)波形與發(fā)送信號(hào)波形之間的一種是使濾波器輸出的信號(hào)波形與發(fā)送信號(hào)波形之間的均方誤差最小，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為維納均方誤差最小，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為維納濾波器；濾波器；n另一種使濾波器輸出信噪比在某一特定時(shí)刻達(dá)到最大，另一種使濾波器輸出信噪比在某一特定時(shí)刻達(dá)到最大，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為匹配濾波器。由此而導(dǎo)出的最佳線性濾

46、波器稱為匹配濾波器。在數(shù)字通信中，匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字通信中，匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用。2022-6-264310.8 數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)正確與否，只取決于抽樣時(shí)刻信號(hào)抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)正確與否，只取決于抽樣時(shí)刻信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比，即信噪比。信噪比越的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，錯(cuò)誤判決的概率就越小。當(dāng)選擇濾波器傳輸特性使大，錯(cuò)誤判決的概率就越小。當(dāng)選擇濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時(shí)，就為輸出信噪比最大的最佳輸出信噪比達(dá)到最大值時(shí)，就為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。線性濾波器。假設(shè)條件：假設(shè)條件：n接收濾波器

47、的傳輸函數(shù)為接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應(yīng)為，沖激響應(yīng)為h(t)，濾，濾波器輸入碼元波器輸入碼元s(t)的持續(xù)時(shí)間為的持續(xù)時(shí)間為Ts，信號(hào)和噪聲之和，信號(hào)和噪聲之和r(t)為為式中，式中，s(t) 信號(hào)碼元，信號(hào)碼元， n(t) 高斯白噪聲；高斯白噪聲；n并設(shè)信號(hào)碼元并設(shè)信號(hào)碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為的雙邊功率譜密度為Pn(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功為噪聲單邊功率譜密度。率譜密度。sTttntstr0),()()(2022-6-2644輸出電壓假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波假定濾波器是線性的，

48、根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓器輸入電壓r(t)中包括信號(hào)和噪聲兩部分時(shí)，濾波器的輸中包括信號(hào)和噪聲兩部分時(shí)，濾波器的輸出電壓出電壓y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號(hào)中也包含相應(yīng)的輸出信號(hào)so(t)和輸出噪聲和輸出噪聲no(t)兩部分，即兩部分，即式中式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(2022-6-2645輸出功率輸出噪聲功率輸出噪聲功率由由這時(shí)的輸出噪聲功率這時(shí)的輸出噪聲功率No等于等于輸出信噪比輸出信噪比在抽樣時(shí)刻在抽樣時(shí)刻t0上，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為上，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為)()()()()(*)(2fPfHfPf

49、HfHfPRRYdffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0在輸入信號(hào)給定的情況下，輸出信噪比只與傳輸函數(shù)有關(guān)在輸入信號(hào)給定的情況下，輸出信噪比只與傳輸函數(shù)有關(guān)2022-6-2646匹配濾波器的傳輸特性利用施瓦茲不等式求利用施瓦茲不等式求 r0的最大值的最大值若若其中其中k為任意常數(shù)，則上式的等號(hào)成立。為任意常數(shù)，則上式的等號(hào)成立。將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令則有則有式中式中 dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()()(*21xkfxf0

50、221)()(),()(ftjefSxffHxf0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHrdffSE2)(帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理2022-6-2647匹配濾波器而且當(dāng)而且當(dāng)時(shí)，上式的等號(hào)成立，即得到最大輸出信噪比時(shí)，上式的等號(hào)成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。上式表明，上式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信號(hào)碼元頻譜的復(fù)共軛（除了常數(shù)因子外），故稱它等于信號(hào)碼元頻譜的復(fù)共軛（除了常數(shù)因子外），故稱此濾波器為匹配濾波器。此濾波器為匹配濾波器。 02)(*)(ftjefkSfH2022-6-

51、2648匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)：匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)： 由上式可見，匹配濾波器的由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)就是信號(hào)就是信號(hào)s(t)的鏡的鏡像像s(-t)，但在時(shí)間軸上（向右）平移了，但在時(shí)間軸上（向右）平移了t0，t0為輸出最大信為輸出最大信噪比的時(shí)刻。噪比的時(shí)刻。)()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj2022-6-2649000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)

52、(c)匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)圖解圖解 2022-6-2650實(shí)際的匹配濾波器一個(gè)實(shí)際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)一個(gè)實(shí)際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有：響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有：即要求滿足條件即要求滿足條件或滿足條件或滿足條件上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號(hào)碼元上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號(hào)碼元s(t)在抽在抽樣時(shí)刻樣時(shí)刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，

53、即選才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為0, 0)(tth當(dāng)0, 0)(0ttts當(dāng)0, 0)(ttts當(dāng))()(tTksths2022-6-2651匹配濾波器輸出這時(shí)，若匹配濾波器的輸入電壓為這時(shí)，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號(hào)碼元的，則輸出信號(hào)碼元的波形為：波形為：上式表明，匹配濾波器輸出信號(hào)碼元波形是輸入信號(hào)碼元波上式表明，匹配濾波器輸出信號(hào)碼元波形是輸入信號(hào)碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。倍。k是一個(gè)任意常數(shù)，它與是一個(gè)任意常數(shù)，它與r0的最大值的最大值無關(guān)；通常取無關(guān)；通常取k

54、1。)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts2022-6-2652匹配濾波器例【例例10.1】設(shè)接收信號(hào)碼元設(shè)接收信號(hào)碼元s(t)的表示式為的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)碼元的波形。試求其匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)碼元的波形?！窘饨狻可鲜剿镜男盘?hào)波形是一個(gè)矩形脈沖，如下圖所示。上式所示的信號(hào)波形是一個(gè)矩形脈沖，如下圖所示。其頻譜為其頻譜為由由令令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為由由令令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為tTttss其他, 00, 1)(

55、sfTjftjefjdtetsfS22121)()(tTss(t)102)(*)(ftjefkSfHssfTjfTjeefjfH22121)()()(0ttksthssTttTsth0),()(2022-6-2653匹配濾波器例此沖激響應(yīng)示于下圖。此沖激響應(yīng)示于下圖。表面上看來，表面上看來，h(t)的形狀和信號(hào)的形狀和信號(hào)s(t)的形狀一樣。實(shí)際上，的形狀一樣。實(shí)際上，h(t)的形狀是的形狀是s(t)的波形以的波形以t = Ts / 2為軸線反轉(zhuǎn)而來。由于為軸線反轉(zhuǎn)而來。由于s(t)的波形對(duì)稱于的波形對(duì)稱于t = Ts / 2，所以反轉(zhuǎn)后，波形不變。，所以反轉(zhuǎn)后，波形不變。由式由式可以求出此匹

56、配濾波器的可以求出此匹配濾波器的輸出信號(hào)波形如下：輸出信號(hào)波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(t)2022-6-2654匹配濾波器例由其傳輸函數(shù)由其傳輸函數(shù)可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：因?yàn)樯鲜街械囊驗(yàn)樯鲜街械?1/j2 f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而是理想積分器的傳輸函數(shù)，而 exp(-j2 fTs)是延遲時(shí)間為是延遲時(shí)間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。的延遲電路的傳輸函數(shù)。 ssfTjfTjeefjfH22121)(延遲延遲Ts理想理想積分器積分器2022-6-2655【例例10.2】設(shè)接收信號(hào)碼元

57、設(shè)接收信號(hào)碼元s(t)的表達(dá)式為的表達(dá)式為匹配濾波器例tTttftss其他, 00,2cos)(0試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出波形。試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出波形?！窘饨狻縮(t)的頻譜密度為的頻譜密度為)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTftjftj故匹配濾波器的傳輸函數(shù)為故匹配濾波器的傳輸函數(shù)為)(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftj2022-6-2656此匹配濾波器的沖激響應(yīng)

58、：此匹配濾波器的沖激響應(yīng)： 為了便于畫出簡圖，令為了便于畫出簡圖，令 式中，式中，n為正整數(shù)，上式可化簡為為正整數(shù)，上式可化簡為 匹配濾波器的輸出波形可以由如下卷積得到匹配濾波器的輸出波形可以由如下卷積得到匹配濾波器例sssTttTftTsth0),(2cos)()(00/ fnTssTttfth0,2cos)(0dthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 0由于由于s(t)和和h(t)在區(qū)間在區(qū)間(0, T)外都等于零，故上式中的外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計(jì)算積分可以分為如下幾段進(jìn)行計(jì)算2022-6-2657計(jì)算結(jié)果如下：計(jì)算結(jié)果如下：匹配濾波器例tT

59、tTtftTTttfttsssso其他,02,2cos220,2cos2)(00(a) (a) 信號(hào)波形信號(hào)波形(b) (b) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)2022-6-2658用匹配濾波器構(gòu)成的接收電路方框圖用匹配濾波器構(gòu)成的接收電路方框圖10.8 數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法匹配濾波器匹配濾波器1 1匹配濾波器匹配濾波器2 2抽樣抽樣判決判決抽樣抽樣t = Tt = T輸入輸入輸出輸出上面的討論中對(duì)于信號(hào)波形從未涉及，也就是說最大輸出上面的討論中對(duì)于信號(hào)波形從未涉及，也就是說最大輸出信噪比與信號(hào)波形無關(guān)，只決定于信號(hào)能量信噪比與信號(hào)波形無關(guān)，只決定于信號(hào)能量E E與噪聲功率譜與噪聲功率譜密度密度n n0

60、0之比，所以這種匹配濾波法對(duì)于任何一種數(shù)字信號(hào)之比，所以這種匹配濾波法對(duì)于任何一種數(shù)字信號(hào)波形都適用，不論是數(shù)字基帶信號(hào)還是已調(diào)信號(hào)。波形都適用，不論是數(shù)字基帶信號(hào)還是已調(diào)信號(hào)。2022-6-2659現(xiàn)在證明匹配濾波器得到的最大輸出信噪比就等于最佳接現(xiàn)在證明匹配濾波器得到的最大輸出信噪比就等于最佳接收時(shí)理論上能達(dá)到的最高輸出信噪比：收時(shí)理論上能達(dá)到的最高輸出信噪比：匹配濾波器輸出電壓波形匹配濾波器輸出電壓波形y(t)可以寫成可以寫成 在抽樣時(shí)刻在抽樣時(shí)刻Ts，輸出電壓等于，輸出電壓等于 可以看出，式中的積分是相關(guān)運(yùn)算，即將輸入可以看出，式中的積分是相關(guān)運(yùn)算，即將輸入r(t)與與s(t)作相關(guān)運(yùn)