1、試卷第 =page 4 4頁，共 =sectionpages 4 4頁試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊空間向量與立體幾何一、單選題1在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）ABCD2已知空間向量，下列命題中正確的個數是（）若與共線，與共線，則與共線；若，非零且共面，則它們所在的直線共面；若，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序實數組，使得；若，不共線，向量，則可以構成空間的一個基底.A0B1C2D33如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，則的值為（）ABCD4在空間直角坐標系中，若，則x的值為（）A3

2、B6C5D45在長方體，=2，則異面直線與所成角的余弦值是（）ABCD6如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，則下列向量中與相等的向量是（）ABCD二、多選題7如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3，P是該正四棱柱表面或內部一點，直線PB，PC與底面ABCD所成的角分別記為，且sin2sin，記動點P的軌跡與棱BC的交點為Q，則下列說法正確的是（）AQ為BC中點B線段PA1長度的最小值為5C存在一點P，使得PQ平面AB1D1D若P在正四棱柱ABCDA1B1C1D1表面，則點P的軌跡長度為8下列說法不正確的是（）A若，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是B若，不共線，且，則，、四點共面C

3、對同一平面內給定的三個向量，一定存在唯一的一對實數，使得.D中，若，則一定是鈍角三角形.第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題9在空間直角坐標系中，已知，則_.10如圖：二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內，則的長等于_.11已知空間向量，若，共面，則實數_.122020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，給人民生命財產安全和生產生活造成了嚴重影響.在黨和政府強有力的領導下，全國人民眾志成城，取得了抗擊疫情戰(zhàn)爭的重大勝利，社會生產、生活全面恢復正常.某中學結合抗疫組織學生到一工廠開展勞動實習，加工制作臨時隔離帳篷.將一塊邊長為6m的正方形材料先按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的

4、等腰三角形（其），然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個四棱錐型的帳篷（如圖2），該四棱錐底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心.則直線與平面所成角的正弦值為_.四、解答題13已知正方體的棱長為1，求，cos14如果平面與平面平行，是平面的一個法向量，那么是平面的一個法向量嗎？15已知分別為兩條不重合的直線，的方向向量，判斷下列各組中兩條直線的位置關系是平行還是垂直：(1)，；(2)，16如圖所示，直三棱柱中，點M在線段上，求直線與平面所成角的正弦值.答案第 = page 11 11頁，共 = sectionpages 11 11頁答案第 = page 1 1頁，共 = sect

5、ionpages 2 2頁參考答案：1A【解析】【分析】利用空間向量加法運算，減法運算，數乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A2B【解析】【分析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若 與 ， 與共線， ，則不能判定 ，故錯誤；若非零向量共面，則向量 可以在一個與 組成的平面平行的平面上，故錯誤； 不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故正確；， 與 共面，故 不能組成一個基底，故錯誤；故選：C.3D【解析】【分析】將用基底表示，然后利用空間向量數量積的運算性質可求得結果.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，則為的中點，則.故選：D.4D【解析】【分析】依題意可得，即可

6、得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D5A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得正確答案.【詳解】由題意可知DA，DC，兩兩垂直，則以D為原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系.設，則，從而，故異面直線與所成角的余弦值是.故選：A6A【解析】【分析】根據平行六面體的特征和空間向量的線性運算依次對選項的式子變形，即可判斷.【詳解】A：，故A正確；B：，故B錯誤；C：，故C錯誤；D：，故D錯誤；故選：A7BD【解析】【分析】A選項：建立空間直角坐標系，設，求出點的軌跡是以為球心，以2為半徑的球再正四棱柱內部（含表面）的部分，進而可判斷A選項

7、；B選項：設球心，則，所以線段長度的最小值為，從而可判斷B正確；C選項：證得球與矩形的交線為弧，球與矩形的交線為弧，所以與球沒有交點，進而可判斷C選項；D選項：證得球與矩形的交線為弧，球與矩形的交線為弧，球與正方形的交線為弧，進而求出弧長，即可判斷D選項.【詳解】A選項：如圖所示，建立空間直角坐標系，設，過點作平面，垂足為，連接，則，由題意可知，所以，因為，所以，即，所以點的軌跡是以為球心，以2為半徑的球再正四棱柱內部（含表面）的部分，由題意得當為中點時不滿足題意，故A錯誤；B選項：設球心，則，所以線段長度的最小值為，故B正確；C選項：由題知，過點作交于點，過點作交于點，所以,平面,平面，所以

8、平面，同理平面，又， 平面，所以平面平面，所以，設球與棱的交點為，與的交點為，,，所以球與矩形的交線為弧，球與矩形的交線為弧，所以與球沒有交點，所以不存在點，使得面，故C錯誤；D選項：因為球與矩形的交線為弧，球與矩形的交線為弧，球與正方形的交線為弧，由于，所以，所以弧=弧=，弧=，所以點在正四棱柱表面，則點的軌跡的長度為，故D正確.故選：BD.【點睛】空間幾何體的線面位置關系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關鍵.8ACD【解析】【分析】對于A，由與的數量

9、積大于0且不共線計算判斷；對于B，變形，由空間共面向量定理判斷；對于C，由平面向量基本定理判斷；對于D，利用平面向量數量積運算判斷作答.【詳解】對于A，依題意，且與不同向共線，求得，解得：且，A錯誤；對于B，由，則，即，于是得共面，且公共起點C，而，不共線，四點共面，B正確；對于C，同一平面內不共線的非零向量，才存在唯一的一對實數，使得，否則不成立，C錯誤；對于D，在中，則，于是得是銳角，不能確定是鈍角三角形，D錯誤.故選：ACD9或#或【解析】【分析】根據向量平行時坐標的關系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設，解得，或.故答案為：或.10【解析】【分析】由題意，二面角等于，根據，結合向

10、量的運算，即可求解.【詳解】由題意，二面角等于，可得向量，因為，可得,所以.故答案為：111【解析】【分析】根據向量共面，可設，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因為，共面且，不共線，所以可設，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.12【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出與平面的法向量為.利用直線與平面所成角的正弦值為計算即可求出答案.【詳解】設與的交點為點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，.故.，設平面的法向量為.， 直線與平面的法向量的余弦值為： 則直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.13；【解析】【分析】以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量的數量積運算可求得答案.【詳解】解：以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.則 ，所以，所以，.14是平面的一個法向量.理由見解析.【解析】【分析】由法向量的定義即可得到答案.【詳解】由題意，是平面的一個法向量，所以，而，所以，于是是平面的一個法向量.15(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用空間向量垂直的坐標表示判斷；（2）利用空間向量平行的坐標表示判斷.(1)解：因為，所以.(2)解：由題得，所