1、第第4章章 無限脈沖響應（無限脈沖響應（IIR） 數(shù)字濾波器的設計數(shù)字濾波器的設計4.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 4.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 4.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 4.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 4.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計4.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或

2、者濾除某算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的些頻率成分的線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)、數(shù)字器件或程序。、數(shù)字器件或程序。 數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是信號的形式和實數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是信號的形式和實現(xiàn)濾波方法不同?，F(xiàn)濾波方法不同。 因為數(shù)字濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器因為數(shù)字濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。 如果要處理的是模擬

3、信號，可通過如果要處理的是模擬信號，可通過A/DC和和D/AC，同樣，同樣可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進行濾波。可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進行濾波。 數(shù)字濾波器是對信號數(shù)字濾波器是對信號實現(xiàn)濾波實現(xiàn)濾波的的線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)（數(shù)字（數(shù)字系統(tǒng)或時域離散系統(tǒng)）。系統(tǒng)或時域離散系統(tǒng)）。 x(n)y(n)h(n)1. 數(shù)字濾波器的濾波原理數(shù)字濾波器的濾波原理 輸入序列輸入序列x(n)，通過單位抽樣響應為，通過單位抽樣響應為h(n)的線性時不變的線性時不變系統(tǒng)（數(shù)字濾波器）后，其輸出響應系統(tǒng)（數(shù)字濾波器）后，其輸出響應y(n)為為 ：nmnxmhnhnxny)()()()()(將上式兩邊經(jīng)過

4、傅里葉變換，可得：將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得： )()()(jjjeHeXeY 式中，式中，Y(ej)、X(ej)分別為分別為輸出序列和輸入序列的頻譜輸出序列和輸入序列的頻譜， H(ej)是系統(tǒng)的頻率響應是系統(tǒng)的頻率響應。 如果如果|H(ej)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號經(jīng)過濾波后在這些頻率點上的幅值被抑制。經(jīng)過濾波后在這些頻率點上的幅值被抑制。 因此，可以按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，因此，可以按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇適當選擇H(ej)，使得濾波后的，使得濾波后的X(ej)H(ej)符合要求，這是符合要求

5、，這是濾濾波器的濾波原理波器的濾波原理。)()()(jjjeHeXeY 上式可以理解為：輸入序列原頻譜為上式可以理解為：輸入序列原頻譜為X(ej)，經(jīng)過數(shù)字濾，經(jīng)過數(shù)字濾波器（頻率響應為波器（頻率響應為 H(ej) ）濾波后，頻譜變?yōu)椋V波后，頻譜變?yōu)閄(ej) H(ej)。2. 數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達到濾波的目的。濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達到濾波

6、的目的。（1）數(shù)字濾波器總體上可分為兩大類：）數(shù)字濾波器總體上可分為兩大類： 經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器和和現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器。用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號輸入信號輸入信號x(t)中含有中含有干擾，其時域波形。干擾，其時域波形。x(t)頻譜圖，可見頻譜圖，可見信號信號和干擾的頻帶互不重疊和干擾的頻帶互不重疊低通濾波器低通濾波器濾除干擾濾除干擾, 得到純信號得到純信號 但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，為了最大限度地恢復信號，這時就需不能有效地濾除干擾，為了最大限度地恢復信號，這時就需要要現(xiàn)

7、代濾波器現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器。波器等最佳濾波器。 現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地恢復信號，佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地恢復信號，從而達到最佳濾波的目的。從而達到最佳濾波的目的。 本課程僅介紹經(jīng)典濾波器的設計分析與實現(xiàn)方法，而現(xiàn)本課程僅介紹經(jīng)典濾波器的設計分析與實現(xiàn)方法，而現(xiàn)代濾波器屬于隨機信號處理范疇。代濾波器屬于隨機信號處理范疇。 （2）經(jīng)典數(shù)字濾波器經(jīng)典數(shù)字濾波器從幅度特性上分類，

8、可以分成從幅度特性上分類，可以分成低通、低通、高通、帶通和帶阻等濾波器（選頻濾波器）高通、帶通和帶阻等濾波器（選頻濾波器） 。理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性 )(ejHo 22)(ejHo 22)(ejHo 22)(ejHo 22(a)(b)(c)(d )低 通高 通帶 通帶 阻|c|c保留介于低頻和高頻保留介于低頻和高頻之間的頻率分量之間的頻率分量濾除介于低頻和高頻濾除介于低頻和高頻之間的頻率分量之間的頻率分量 數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)H(ej)都是以都是以2為周期的，為周期的，低通濾波器的通頻帶中心位于低通濾波器的通

9、頻帶中心位于2的整數(shù)倍處的整數(shù)倍處，而，而高通濾波高通濾波器的通頻帶中心位于器的通頻帶中心位于的奇數(shù)倍處的奇數(shù)倍處，與模擬濾波器不同。，與模擬濾波器不同。一般在數(shù)字頻率的一般在數(shù)字頻率的主值區(qū)主值區(qū)-, 描述數(shù)字濾波器的頻率響描述數(shù)字濾波器的頻率響應特性。應特性。 這種幅度特性為理想矩形的濾波器是這種幅度特性為理想矩形的濾波器是不可能實現(xiàn)不可能實現(xiàn)的，的，因為它們的因為它們的單位脈沖響應均是非因果且無限長的單位脈沖響應均是非因果且無限長的。只能在。只能在誤差容限內逼近理想濾波器，即按照某些逼近指標來設計誤差容限內逼近理想濾波器，即按照某些逼近指標來設計濾波器。濾波器。（3）數(shù)字濾波器從單位脈沖

10、響應長度或者從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結）數(shù)字濾波器從單位脈沖響應長度或者從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構分類，可以分成構分類，可以分成無限長單位脈沖響應無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器濾波器和和有限有限長單位脈沖響應長單位脈沖響應(FIR)濾波器濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： 兩式分別是兩式分別是N階階IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)和和N-1階階FIR數(shù)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 這兩種數(shù)字濾波器的設計方法有很大區(qū)別，分成兩章分這兩種數(shù)字濾波器的設計方法有很大區(qū)別，分成兩章分別進行學習。別進行學習。01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh

11、n z（4）根據(jù)濾波器對信號的處理作用又將其分為）根據(jù)濾波器對信號的處理作用又將其分為選頻濾波器選頻濾波器和和其他濾波器其他濾波器。 上述低通、高通、帶通和帶阻濾波器均屬于選頻濾波上述低通、高通、帶通和帶阻濾波器均屬于選頻濾波器，其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等器，其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等濾波器。濾波器。 濾波器可用于信號過濾、信號分離、信道均衡、信號濾波器可用于信號過濾、信號分離、信道均衡、信號檢測、參數(shù)估計、波形形成和調制解調等。所以學習濾波檢測、參數(shù)估計、波形形成和調制解調等。所以學習濾波器的設計與實現(xiàn)是必需的。器的設計與實現(xiàn)是必需的。3. 數(shù)字濾波器

12、的技術指標數(shù)字濾波器的技術指標 常用的數(shù)字濾波器一般屬于常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器選頻濾波器。 設數(shù)字濾波器的設數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)頻率響應函數(shù)H(ej) 表示為：表示為： H(ej) =|H(ej)|e j()式中，式中， |H(ej)|稱為幅頻特性函數(shù)稱為幅頻特性函數(shù); ()稱為相頻特性函數(shù)稱為相頻特性函數(shù)。 幅頻特性幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而情況，而相頻特性相頻特性反映信號通過該濾波器后各頻率成分的延反映信號通過該濾波器后各頻率成分的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性時情況。因此，即使兩

13、個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。一般選頻濾波器可以根據(jù)幅頻特性指標來設計，后面一般選頻濾波器可以根據(jù)幅頻特性指標來設計，后面介紹的幾種典型濾波器（如巴特沃斯濾波器），都是根據(jù)介紹的幾種典型濾波器（如巴特沃斯濾波器），都是根據(jù)幅頻特性指標來設計的。幅頻特性指標來設計的。 但如果對輸出波形的相位有要求，則需要考慮相頻特但如果對輸出波形的相位有要求，則需要考慮相頻特性技術指標，例如波形傳輸、圖像信號處理等。性技術指標，例如波形傳輸、圖像信號處理等。 下面下面介紹的介紹的IIR數(shù)字濾波器的設計中

14、主要研究根據(jù)幅頻數(shù)字濾波器的設計中主要研究根據(jù)幅頻特性指標來設計選頻濾波器特性指標來設計選頻濾波器。如果對輸出波形有嚴格要求。如果對輸出波形有嚴格要求（有相位要求），則需要設計線性相位數(shù)字濾波器（有相位要求），則需要設計線性相位數(shù)字濾波器（FIR數(shù)字濾波器）。數(shù)字濾波器）。 對于各種理想選頻濾波器，因為它們的對于各種理想選頻濾波器，因為它們的單位脈沖響應單位脈沖響應均是非因果且無限長的均是非因果且無限長的，所以是，所以是不可能實現(xiàn)不可能實現(xiàn)的，我們必須的，我們必須設計一個因果穩(wěn)定的濾波器去近似實現(xiàn)，同時也要考慮復設計一個因果穩(wěn)定的濾波器去近似實現(xiàn)，同時也要考慮復雜性與成本問題。雜性與成本問題。

15、低通濾波器的幅頻特性指標示意圖低通濾波器的幅頻特性指標示意圖 1-1)(ejH通通帶帶過過渡渡帶帶阻阻帶帶o1pstc0.7072 因此實際的選頻濾波器的通帶和阻帶中都允許一定的因此實際的選頻濾波器的通帶和阻帶中都允許一定的誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶不是絕對衰減到誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶不是絕對衰減到零，而且在通帶與阻帶之間還存在一定寬度的過渡帶。零，而且在通帶與阻帶之間還存在一定寬度的過渡帶。p和和s分別稱為分別稱為通帶截止頻率通帶截止頻率和和阻帶截止頻率阻帶截止頻率；通帶頻率范圍為通帶頻率范圍為0|p，在通帶中要求，在通帶中要求 (1-1)|H(ej)|1；阻帶頻率范

16、圍為阻帶頻率范圍為s|，在阻帶中要求，在阻帶中要求 |H(ej)|2；從從p到到s稱為稱為過渡帶過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調下降的。，過渡帶上的頻響一般是單調下降的。1-1)(ejH通通帶帶過過渡渡帶帶阻阻帶帶o1pstc0.7072低通濾波器的幅頻特性低通濾波器的幅頻特性 通常，通帶內和阻帶內允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通常，通帶內和阻帶內允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內允許的最大衰減通帶內允許的最大衰減用用 p表示，表示，阻帶內允許的最小衰減阻帶內允許的最小衰減用用 s表示。表示。1-1)(ejH通通帶帶過過渡渡帶帶阻阻帶帶o1pstc0.7072低通濾波器的幅頻特性低通濾波器的幅頻

17、特性對低通濾波器，對低通濾波器， 通帶最大衰減通帶最大衰減 p和和阻帶最小衰減阻帶最小衰減 s分別定義為：分別定義為：1-1)(ejH通通帶帶過過渡渡帶帶阻阻帶帶o1pstc0.7072低通濾波器的幅頻特性低通濾波器的幅頻特性jppjmax |(e )|20lgdB , 0min |(e )|HH通帶中通帶中jsjmax |(e )|20lgdBmax |(e )|HH通帶中阻帶中1-1)(ejH通通帶帶過過渡渡帶帶阻阻帶帶o1pstc0.7072低通濾波器的幅頻特性低通濾波器的幅頻特性 顯然，顯然， p 越小越小, 通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越小；通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越??； s 越

18、大越大, 阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??；阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??； p與與s間距越小間距越小, 過渡帶就越窄。過渡帶就越窄。 所以低通濾波器的設計指標完全由所以低通濾波器的設計指標完全由通帶截止頻率通帶截止頻率p 、通通帶最大衰減帶最大衰減 p 、阻帶截止頻率阻帶截止頻率s和和阻帶最小衰減阻帶最小衰減 s確定。確定。低通濾波器的低通濾波器的幅頻特性指標幅頻特性指標示意圖示意圖若幅頻特性單調下降幅頻特性，若幅頻特性單調下降幅頻特性， p和和 s可以分別表示為：可以分別表示為：dB| )e (| )e (|lg20pj0 jpHHdB| )e (| )e (|lg20sj0 jsHH

19、對其他類型的濾波器，對其他類型的濾波器，H(ej0)應改成應改成 ，0為濾波器通為濾波器通帶中心頻率。帶中心頻率。)(0jeH低通濾波器的低通濾波器的幅頻特性指標幅頻特性指標示意圖示意圖如果將如果將|H(ej0)|歸一化為歸一化為1， p和和 s可以分別表示為：可以分別表示為：dB| )e (|lg20pjpHdB| )e (|lg20sjsH低通濾波器的低通濾波器的幅頻特性指標幅頻特性指標示意圖示意圖 當幅度下降到當幅度下降到 時，標記時，標記=c，此時此時 ，稱，稱c為為3 dB通帶截止頻率。通帶截止頻率。 2/2cj20lg|(e)| 3dBH p、c和和s統(tǒng)稱為截止頻率，它們是濾波器設

20、計中的重統(tǒng)稱為截止頻率，它們是濾波器設計中的重要的參數(shù)。要的參數(shù)。片段常數(shù)特性片段常數(shù)特性： 對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內的幅頻響應曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅帶內的幅頻響應曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)特性片段常數(shù)特性”。 所謂所謂片段片段，是指，是指“通帶通帶”和和“阻帶阻帶”，常數(shù)常數(shù)是指是指“通通帶波紋幅度帶波紋幅度1”和和“阻帶波紋幅度阻帶波紋幅度2”。 而而通帶最大衰減通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減和阻帶最小衰減 s是與是與1和和2完全完全等價的兩個常

21、數(shù)等價的兩個常數(shù)。 片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設計中很重要，尤片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設計中很重要，尤其有助于理解其有助于理解IIR數(shù)字濾波器的雙線性變換設計思想。數(shù)字濾波器的雙線性變換設計思想。（1）按照實際任務要求，）按照實際任務要求，確定濾波器的性能指標確定濾波器的性能指標。（2 2）用一個用一個因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)去逼近這一因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)去逼近這一性能要求性能要求。根據(jù)不同要求可以用。根據(jù)不同要求可以用IIRIIR系統(tǒng)函數(shù)，也可系統(tǒng)函數(shù)，也可以用以用FIRFIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。系統(tǒng)函數(shù)去逼近。 （3）利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系

22、統(tǒng)函數(shù)。包括：選擇運。包括：選擇運算結構，選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間算結構，選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。截尾）等。 （4）實際的技術實現(xiàn)，包括：用通用計算機軟、專用數(shù)字濾）實際的技術實現(xiàn)，包括：用通用計算機軟、專用數(shù)字濾波器硬件、或用專業(yè)的或通用的數(shù)字信號處理器來實現(xiàn)。波器硬件、或用專業(yè)的或通用的數(shù)字信號處理器來實現(xiàn)。 本章只研究第二步驟。本章只研究第二步驟。4. 數(shù)字濾波器設計方法概述數(shù)字濾波器設計方法概述 IIR濾波器和濾波器和FIR濾波器的設

23、計方法完全不同。濾波器的設計方法完全不同。vIIR濾波器設計方法有濾波器設計方法有間接法間接法和和直接法直接法。 間接法間接法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。設計是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。設計步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后，然后將將Ha(s)按某種方法轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按某種方法轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。采。采用間接法設計用間接法設計IIR濾波器是因為模擬濾波器的設計方法已經(jīng)濾波器是因為模擬濾波器的設計方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表和曲線很成熟，不僅有完整的設計公式，還有完

24、善的圖表和曲線供查閱；還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供使用。供查閱；還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供使用。 直接法直接法是直接在頻域或者時域中設計數(shù)字濾波器，由是直接在頻域或者時域中設計數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設計時需要計算機輔助設計。于要解聯(lián)立方程，設計時需要計算機輔助設計。vFIR濾波器不能采用間接法，常用的設計方法有濾波器不能采用間接法，常用的設計方法有窗函數(shù)法窗函數(shù)法、頻率采樣法頻率采樣法和和切比雪夫等波紋逼近法切比雪夫等波紋逼近法。 對于對于線性相位濾波器線性相位濾波器，經(jīng)常采用，經(jīng)常采用FIR濾波器濾波器。可以證?？梢宰C明，明，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應滿足一定條件時，其相位

25、濾波器的單位脈沖響應滿足一定條件時，其相位特性在整個頻帶是嚴格線性的，這是模擬濾波器無法達到特性在整個頻帶是嚴格線性的，這是模擬濾波器無法達到的。當然，也可以采用的。當然，也可以采用IIR濾波器，但必須使用全通網(wǎng)絡對濾波器，但必須使用全通網(wǎng)絡對其非線性相位特性進行校正，這樣增加了設計與實現(xiàn)的復其非線性相位特性進行校正，這樣增加了設計與實現(xiàn)的復雜性。雜性。 本章只介紹本章只介紹IIR濾波器的間接設計方法濾波器的間接設計方法。所以先介紹。所以先介紹模模擬低通濾波器的設計擬低通濾波器的設計，再介紹，再介紹模擬濾波器映射成數(shù)字濾波模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器的方法器的方法。4.2 模擬濾波器的設計模擬濾

26、波器的設計 模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)濾波器濾波器、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)濾波器濾波器、橢橢圓圓(Ellipse)濾波器濾波器、貝塞爾貝塞爾(Bessel)濾波器濾波器等。這些濾波器等。這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用，都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用，而且所設計的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實現(xiàn)條件。而且所設計的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實現(xiàn)條件。這些典型的濾波器各有特點

27、：這些典型的濾波器各有特點：巴特沃斯濾波器具有單巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性調下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通貝塞爾濾波器通帶內有較好的線性相位特性帶內有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的，但通帶和阻帶內均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，三種是最好的，但通帶和阻帶內均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴重相位特性的非線性也稍嚴重。設計時，根據(jù)具體要求選擇。設計時，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型。濾波器的類型。選頻型模擬

28、濾波器按幅頻特性可分成低通、高通、帶選頻型模擬濾波器按幅頻特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器。但設計濾波器時，總是先設計低通濾波通和帶阻濾波器。但設計濾波器時，總是先設計低通濾波器。器。例如模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設計過程是：例如模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設計過程是： 先先將希望設計的各種濾波器的技術指標轉換為低通濾波器技將希望設計的各種濾波器的技術指標轉換為低通濾波器技術指標，然后設計相應的低通濾波器，最后采用頻率轉換術指標，然后設計相應的低通濾波器，最后采用頻率轉換法將低通濾波器轉換成所希望的各種濾波器。法將低通濾波器轉換成所希望的各種濾波器。 下面先介紹下面先介紹低通濾波器的技

29、術指標和逼近方法低通濾波器的技術指標和逼近方法，然后主，然后主要介紹要介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設計方法巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設計方法，及，及其其MATLAB設計函數(shù)。設計函數(shù)。各種理想模擬濾波器的幅頻特性各種理想模擬濾波器的幅頻特性 o低通o帶通o帶阻o高通)j (aH)j(aH)j (aH)j (aH4.2.1 模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法 分別用分別用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模擬濾波器的單位沖表示模擬濾波器的單位沖激響應、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應函數(shù)，三者的關系如下：激響應、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應函數(shù)，三者的關系如下： 可以用

30、可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)中任一個描述模擬濾波器，中任一個描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。 但是設計模擬的選頻濾波器時，設計指標一般由幅頻但是設計模擬的選頻濾波器時，設計指標一般由幅頻響應函數(shù)響應函數(shù)|Ha(j)|給出，而給出，而模擬濾波器設計就是根據(jù)設計指模擬濾波器設計就是根據(jù)設計指標，求系統(tǒng)函數(shù)標，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt工程實際中通常用所謂的工程實際中通常用所謂的衰減函數(shù)衰減函數(shù)（也稱為損耗函數(shù)）（也稱為

31、損耗函數(shù)）A()來描述濾波器的幅頻響應特性，來描述濾波器的幅頻響應特性， 對對歸一化幅頻響應函歸一化幅頻響應函數(shù)數(shù)（后續(xù)課程都是針對該情況，特別說明的除外），（后續(xù)課程都是針對該情況，特別說明的除外），2aa()20lg(j)10lg(j) dB AHH衰減函數(shù)衰減函數(shù)A()定義如下（其單位是定義如下（其單位是分貝分貝，用，用dB表示）：表示）： 衰減函數(shù)衰減函數(shù)A()和幅頻特性函數(shù)和幅頻特性函數(shù)|Ha(j)|只是濾波器幅頻只是濾波器幅頻響應特性的兩種描述方法。響應特性的兩種描述方法。 衰減函數(shù)的優(yōu)點衰減函數(shù)的優(yōu)點是對幅頻響應是對幅頻響應|Ha(j)|的取值非線性壓的取值非線性壓縮，放大了小的

32、幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響縮，放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。特性的變化情況。幅度平方幅度平方函數(shù)函數(shù)1. 模擬低通濾波器的設計指標模擬低通濾波器的設計指標 幅頻響應函數(shù)完全看不清阻帶內取值較小（幅頻響應函數(shù)完全看不清阻帶內取值較?。?.001以下）以下）的波紋，而衰減函數(shù)則能很清楚地顯示出阻帶的波紋，而衰減函數(shù)則能很清楚地顯示出阻帶-60 dB以下的以下的波紋變化曲線。波紋變化曲線。 另外習慣直接畫出的另外習慣直接畫出的衰減函數(shù)曲線衰減函數(shù)曲線（-A()）。）。幅頻響應與衰減函數(shù)曲線的比較幅頻響應與衰減函數(shù)曲線的比較2aa()20lg(j)10lg(j

33、) dBAHH-模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)有模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)有 p、p、 s和和s。其中其中p和和s分別稱為分別稱為通帶截止頻率通帶截止頻率和和阻帶截止頻率阻帶截止頻率， p稱稱為為通帶最大衰減通帶最大衰減， s稱為稱為阻帶最小衰減阻帶最小衰減， p和和 s的單位為的單位為dB。模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)示意圖模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)示意圖 02papap20lg|(j)|10lg|(j)|HH 2sasas20lg|(j)|10lg|(j)|HH 對于單調下降的幅度特性，對于單調下降的幅度特性， p和和 s可表示成：可表示成：模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)示意圖模擬低通濾波

34、器的設計指標參數(shù)示意圖 0因為因為 ，所以所以c稱為稱為3 dB截止頻率。截止頻率。2/1| )j (|caHac20lg|()| 3dBHj)1lg(201p2slg20模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)示意圖模擬低通濾波器的設計指標參數(shù)示意圖 01和和2分別稱為分別稱為通帶和阻帶波紋幅度通帶和阻帶波紋幅度，容易得到關系式：，容易得到關系式： 所以，如果能由所以，如果能由 p、p、 s和和s求出求出|Ha(j)|2，那么就，那么就可以求出可以求出Ha(s)Ha(-s)，由此可求出所需要的，由此可求出所需要的Ha(s)。2*|()|()()aaaHjHjHj濾波器的技術指標給定后，需要設計系統(tǒng)函數(shù)濾

35、波器的技術指標給定后，需要設計系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 。一般濾波器的單位沖激響應為實函數(shù)，頻譜滿足共軛對稱。一般濾波器的單位沖激響應為實函數(shù)，頻譜滿足共軛對稱。首先，可以得到首先，可以得到系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關系系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關系：( )()|aasjHs Hs *()()aaHjHj 得：得：2|()|()()aaaHjHjHj 2. 模擬低通濾波器的逼近方法模擬低通濾波器的逼近方法（2）確定極點確定極點 設設Ha(s)有一個有一個極點極點（或（或零點零點）位于）位于s=s0處，則在處，則在s=s0*處也一定有一處也一定有一極點極點（或（或零點零點）。）。(由于由于ha(t)為實數(shù)

36、，為實數(shù)，Ha(s)為實系數(shù)，則極點（或零點）必以共為實系數(shù)，則極點（或零點）必以共軛對形式出現(xiàn)軛對形式出現(xiàn)) Ha(-s)在在s=-s0和和-s0*處必有極點（或零點）；處必有極點（或零點）； Ha(s)Ha(-s)的的極點、零點分布是成象限對稱極點、零點分布是成象限對稱的。的。 如果如果Ha(s)Ha(-s)在在虛軸上的零點虛軸上的零點（或極點）（對臨界穩(wěn)定情況，才會出（或極點）（對臨界穩(wěn)定情況，才會出現(xiàn)虛軸的極點）一定是現(xiàn)虛軸的極點）一定是二階二階的，的， 222|()| |( )()aaasHjHs Hs 2|()|( )()|aaasjHjHs Hs 這樣可以由這樣可以由|Ha(j)

37、|2求得求得Ha(s)：（1）系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關系：系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關系：Ha(s)Ha(-s)的極點、零點分布是成象限對稱的極點、零點分布是成象限對稱 我們需要得到因果穩(wěn)定的濾波器，所以，其系統(tǒng)函數(shù)我們需要得到因果穩(wěn)定的濾波器，所以，其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點一定落在的極點一定落在s的左半平面，所以的左半平面，所以左半平面的極點一定左半平面的極點一定屬于屬于Ha(s)，則右半平面的極點必屬于，則右半平面的極點必屬于Ha(-s)。 （3）確定零點）確定零點 零點的分布則無此限制，只和濾波器的相位特征有關。零點的分布則無此限制，只和濾波器的相位特征有關。如果要求最小相位延時濾波器

38、，則如果要求最小相位延時濾波器，則Ha(s)應取左半平面零點；應取左半平面零點；如無特殊要求，則如無特殊要求，則可將對稱零點的任一半（應為共軛對）取可將對稱零點的任一半（應為共軛對）取為為Ha(s)的零點的零點。 （4）確定增益常數(shù)）確定增益常數(shù) 最后最后, 按照按照Ha(j)與與a(s)的低頻特性或高頻特性的對比確的低頻特性或高頻特性的對比確定出增益常數(shù)定出增益常數(shù)。 由求出的由求出的Ha(s)的零點、極點及增益常數(shù)，則可完全確定的零點、極點及增益常數(shù)，則可完全確定系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。 2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函數(shù)：，求系統(tǒng)函數(shù)例：例

39、：解：解：222( )()()aaasHs HsHj 7, 6ss 極點：極點：零點：零點： （二階）（二階）5sj 零點：零點：5sj 7, 6ss 的極點：的極點：( )aHs設增益常數(shù)為設增益常數(shù)為K020(25)( )(7)(6)aKsHsss00( )()asaHsHj由2224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss222216(25)(49)(36)sss4 257 6=04K 因此因此幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設計中起著很重要在模擬濾波器的設計中起著很重要的作用。的作用。 對于五種典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有確知表達對于五種典型濾波器，其幅度平

40、方函數(shù)都有確知表達式，可以直接引用。式，可以直接引用。 Ha(s)必須是因果穩(wěn)定的，因此極點必須落在必須是因果穩(wěn)定的，因此極點必須落在s平面的平面的左半平面，相應的左半平面，相應的Ha(-s)的極點必然落在右半平面。這樣的極點必然落在右半平面。這樣可由可由Ha(s)Ha(-s)求所需要的求所需要的Ha(s) ，即模擬低通濾波器的逼，即模擬低通濾波器的逼近方法。近方法。 因此幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設計中起著很重要因此幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設計中起著很重要的作用。對于五種典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有確知的作用。對于五種典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有確知表達式，可以直接引用。表達式，可以直

41、接引用。 2|()|( )()|aaasjHjHs Hs 系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關系：系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關系：4.2.2 巴特沃斯低通濾波器的設計巴特沃斯低通濾波器的設計 巴特沃思逼近又稱最平幅度逼近。巴特沃思逼近又稱最平幅度逼近。巴特沃思低通濾波器巴特沃思低通濾波器幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)定義為：定義為： 式中：式中：N為濾波器的階數(shù)為濾波器的階數(shù)（正整數(shù)）（正整數(shù)）221|()|1aNcHj1. 巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)：巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)：巴特沃思低通濾波器巴特沃思低通濾波器的幅度特性的幅度特性（2）當）當=c，|Ha(jc)|=1/ =0.707，2（1）

42、當）當=0，|Ha(j0)|=1，無衰減；，無衰減；所以所以c是是3dB衰減頻率、衰減頻率、 3dB截止頻率截止頻率；當當=c時，不管時，不管N為多少，都衰減為為多少，都衰減為 3 dB，這是，這是3dB不變性。不變性。 衰減衰減 c =20lg| 1 /Ha(jc)|=3 dB。221|()|1aNcHj（3）在）在通帶內通帶內c ： |Ha(j)|2也隨也隨增加單調減小，但是增加單調減小，但是/c1，故比通帶內衰減的速度，故比通帶內衰減的速度要快得多；要快得多； N越大，衰減速度越大。越大，衰減速度越大。 當當=st（阻帶截止頻率），此時衰減為（阻帶截止頻率），此時衰減為 st=-20lg

43、|Ha(jst)|。（5）階數(shù)）階數(shù)N值越大值越大，通帶和阻帶的近似性越好通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越窄過渡帶越窄，st距距c越近。越近。221|()|1aNcHj在幅度平方函數(shù)式中，代入在幅度平方函數(shù)式中，代入=s/j，可得：，可得： NcaajssHsH211)()( 巴特沃思濾波器在有限巴特沃思濾波器在有限s平面內只有極點，屬于所謂平面內只有極點，屬于所謂“全全極點型極點型”濾波器。濾波器。 Ha(s)Ha(-s)的極點為的極點為 ：12( 1)()Nkcsj 1(21)2()jkNcej2. 求巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：求巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：221|()|1aNcHj

44、12( 1)()Nkcsj k=0 , 1, 2, , 2N-1 1(21)2()jkNcej1(21)22()jjkNcee121()22kjNce (21)22kjjNceeooc / 3jjc / 4(a) N3(b) N4N3和和N4時時Ha(s)Ha(-s)極點分布極點分布 N為為奇數(shù)奇數(shù)時，實軸上有極點；時，實軸上有極點；N為為偶數(shù)偶數(shù)時，實軸上沒有極點。時，實軸上沒有極點。但但極點決不會落在虛軸極點決不會落在虛軸上，這樣濾波器才有可能是穩(wěn)定。上，這樣濾波器才有可能是穩(wěn)定。Ha(s)Ha(-s)的的2N個極點等間隔分布在半徑為個極點等間隔分布在半徑為c的圓的圓（稱巴特沃思圓）上，（

45、稱巴特沃思圓）上，呈象限對稱，呈象限對稱，k=0,1,2,N-1的極點在左半平面，的極點在左半平面，極點間的角度間隔為極點間的角度間隔為/N rad。12122kjNkcse 為形成穩(wěn)定的濾波器，為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的的2N個極點中只取個極點中只取S左半左半平面的平面的N個極點為個極點為Ha(s)的極點，而右半平面的的極點，而右半平面的N個極點構成個極點構成Ha(-s)的極點。的極點。Ha(s)的表示式為：的表示式為：10( )()NcaNkkHsss 分子系數(shù)為分子系數(shù)為cN，可由，可由Ha(s)的低頻特性決定，的低頻特性決定，12122kjNkcse k=0,1, 2

46、, , N-1 v Ha(s)的求解方法一的求解方法一（代入（代入 可求得分子系數(shù)為可求得分子系數(shù)為cN）;00( )|()|1asaHsHj 由于不同的技術指標對應的截止頻率和濾波器的幅頻特由于不同的技術指標對應的截止頻率和濾波器的幅頻特性不同，為使設計公式和圖表統(tǒng)一，將巴特沃斯濾波器的性不同，為使設計公式和圖表統(tǒng)一，將巴特沃斯濾波器的3dB截止頻率截止頻率c歸一化為歸一化為1rad/s。v Ha(s)的求解方法二的求解方法二10( )()NcaNkkHsss101( )()aNkkccHsss 令令 p=+j =s/c，=/c， p稱為稱為歸一化復變量歸一化復變量， 稱為稱為歸一化頻率歸一

47、化頻率， 這樣可得到巴特沃斯濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)。這樣可得到巴特沃斯濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)變形為：系統(tǒng)函數(shù)變形為：101( )()aNkkGppp12122kjNkpek=0,1, 2, , N-1 因此只要知道階數(shù)因此只要知道階數(shù)N，根據(jù)上式就可求得歸一化系統(tǒng)函，根據(jù)上式就可求得歸一化系統(tǒng)函數(shù)，此外歸一化后巴特沃思濾波器的數(shù)，此外歸一化后巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的極點分的極點分布、分母多項式的系數(shù)以及分母的因式分解都有現(xiàn)成的表格布、分母多項式的系數(shù)以及分母的因式分解都有現(xiàn)成的表格可查（書可查（書P100）。）。歸一化的系統(tǒng)函數(shù)歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為：為：101( )

48、()aNkkccHssscsp kkcsp 令：令：其中其中歸一化極點歸一化極點為：為： 再把再把歸一化后的巴特沃斯系統(tǒng)函數(shù)歸一化后的巴特沃斯系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)中的中的p用用s/c代代替替后（此時的后（此時的c為需要設計的為需要設計的巴特沃斯濾波器的實際的巴特沃斯濾波器的實際的3dB截止頻率截止頻率），就可），就可得到得到截止頻率為截止頻率為c的的巴特沃思系統(tǒng)函數(shù)巴特沃思系統(tǒng)函數(shù)；( )caacspsHsG表表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 例：設計一個例：設計一個c=2 rad/s的三階巴特沃思模擬低通濾波器。的三階巴特沃思模擬低通濾波器。 221|()

49、|1 (/)NcH j 令令2=-s2即即=s/j，則有：，則有： )2/(11)()(66ssHsHaa各極點為：各極點為：12122kjNkcse k=0, 1,2, , 5 解：解：方法一代公式方法一代公式幅度平方函數(shù)是：幅度平方函數(shù)是：10( )()NcaNkkHsss系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為：611 (/2) 121262kje3202()kkss所給出的六個所給出的六個sk為：為：2301432533041352132221321322213jjjjjjsejsesejsejsesej 由由s1, s2, s3三個極點構三個極點構成的系統(tǒng)函數(shù)為：成的系統(tǒng)函數(shù)為：312332( )()

50、()()8488caHssssssssss前面三個前面三個sk（k=0, 1, 2）就是）就是Ha(s)的極點。的極點。v 方法二查表方法方法二查表方法查表查表P100得得N=3的歸一化的巴特沃思濾波器分母多項式系數(shù)：的歸一化的巴特沃思濾波器分母多項式系數(shù)： b0=1, b1=2, b2=2頻率歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為：頻率歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為：323221011( )221aGppb pb pbppp323218( )488221acccHsssssss頻率反歸一化，即用頻率反歸一化，即用s/c代替代替p后，就得到所需濾波器的后，就得到所需濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)無論是用公式法還是表格

51、法無論是用公式法還是表格法, 只要求出巴特沃斯濾波器只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)的階數(shù)N和和3 dB截止頻率截止頻率c，就可以求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就可以求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。所以，。所以，巴特沃斯濾波器的設計實質上就是根據(jù)設計指巴特沃斯濾波器的設計實質上就是根據(jù)設計指標求階數(shù)標求階數(shù)N和和3 dB截止頻率截止頻率c的過程的過程。3. 根據(jù)技術指標確定巴特沃思低通濾波器的階數(shù)根據(jù)技術指標確定巴特沃思低通濾波器的階數(shù)和和3dB截止頻率截止頻率 先介紹階數(shù)先介紹階數(shù)N的確定方法。由于階數(shù)的確定方法。由于階數(shù)N的大小主要影響的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶的幅度下降速度，

52、通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術指標它由技術指標p、 p、s和和 s確定。確定。221|()|1/aNcHj 因為：因為：2pap10lg|( )|Hj 2ss10lg|( )|aHj 221|()|1/aNcHj 2pap10lg|( )|Hj 2ss10lg|( )|aHj p210ap|( )|10Hjs210as|( )|10Hj2p11 /Nc2s11 /Nc得到：得到： s2/10sc110Nsp2/10s/10p101101Np2/10pc110N得到：得到：sp/10/10sp101lg1012lgN得到：得到： 用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)

53、部分，應取大于或等于可能有小數(shù)部分，應取大于或等于N的的最小整數(shù)。最小整數(shù)。 再介紹于再介紹于3 dB截止頻率截止頻率c的求法，如果技術指標中沒有的求法，如果技術指標中沒有給出，可以按照下述方法求出。給出，可以按照下述方法求出。 p10.12cp(101)N 得到：得到：s10.12cs(101)N s2/10sc110Np2/10pc110N因為：因為：或：或：注意：注意： 如果采用上式確定如果采用上式確定c，則通帶指標剛好滿足要求，阻，則通帶指標剛好滿足要求，阻帶指標有富余；帶指標有富余； 如果采用下式確定如果采用下式確定c，則阻帶指標剛好滿足要求，通，則阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富

54、余。帶指標有富余。p10.12cp(101)N s10.12cs(101)N (1) 根據(jù)技術指標根據(jù)技術指標p、 p、s和和 s，總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下：總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下： 12122kjNkpe(2) 求出歸一化極點求出歸一化極點 ，k=0,1, 2, , N-1，也可以根據(jù)階數(shù)也可以根據(jù)階數(shù)N直接查表得到直接查表得到pk和和Ga(p)。 sp/10s/10p101lg2lg101N利用：利用：求出濾波器的階數(shù)求出濾波器的階數(shù)N。11( )()aNkkGppp將將pk代入：代入：得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。(

55、3) 將將Ga(p)反歸一化。反歸一化。將將p=s/c代入代入Ga(p)，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：ca( )( )|aspHsGpp10.12cp(101)N s10.12cs(101)N 這里這里c為為3 dB截止頻率，如果技術指標沒有給出截止頻率，如果技術指標沒有給出c，可以按照下兩式求出：可以按照下兩式求出：例：已知通帶截止頻率例：已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減 p =2 dB，阻帶截止頻率阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s=30 dB，按照以，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。上技術指

56、標設計巴特沃斯低通濾波器。解：解： (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N。取取N=5sp22.42spffsp/10/101011708.0101sp/10s/10p101lg2lg101Nlg1708.04.252lg2.4上式分母可以展開成五階多項式，或者將共軛極點放在一上式分母可以展開成五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解式。起，形成因式分解式。3455012675534 jjjjjpepepepepe，401( )()akkGppp12122kjNkpe(2) 按照式按照式 ， k=0,1, 2, , N-1，其極點為：，其極點為：101( )()aNkkGppp按照式按照式 ，得歸

57、一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：，得歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：5432432101( )aGppb pb pb pb pb221(0.61801)(1.61801)(1)ppppp通常通常直接查表直接查表6.2.1得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)，查表得查表得N=5時的極點為：時的極點為：0.3090j0.9511，0.8090j0.5878, 1.0000分母多項式的系數(shù)為：分母多項式的系數(shù)為：式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361所以歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：所以歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：分母多項式的因式

58、分解形式為：分母多項式的因式分解形式為：22(0.61801)(1.61801)(1)ppppp543213.23615.23615.23613.23611ppppp(3) 為將為將Ga(p)反歸一化，先求反歸一化，先求3 dB截止頻率截止頻率c。p10.12cp(101)2 5.2755 krad/sN s10.12sc (101)2 10.525 krad/sN根據(jù)通帶指標求得根據(jù)通帶指標求得c為：為：再利用再利用c求阻帶截止頻率為：求阻帶截止頻率為：此時算出的此時算出的比題目中給的比題目中給的s小，因此，過渡帶小小，因此，過渡帶小于指標要求?；蛘哒f，在于指標要求?；蛘哒f，在s=212 k

59、rad/s時衰減大于時衰減大于30 dB，所以說阻帶指標有富余量。，所以說阻帶指標有富余量。s5c542332454c3c2c1c0c( )aHssbsbsbsbsb將將p=s/c代入代入 中中, 得到：得到： 5432432101( )aGppb pb pb pb pb MATLAB信號處理工具箱函數(shù)信號處理工具箱函數(shù)buttap, buttord和和butter是巴特沃斯濾波器設計函數(shù)。其是巴特沃斯濾波器設計函數(shù)。其5種調用格式如下。種調用格式如下。（1） Z，P, K=buttap(N)該格式用于計算該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化（階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻率截止頻率c=1）模擬

60、低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子。返回長度為返回長度為N的零點列向量的零點列向量Z和極點列向量和極點列向量P，K表示濾波器表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式: a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)4. 用用MATLAB工具箱函數(shù)設計巴特沃斯濾波器工具箱函數(shù)設計巴特沃斯濾波器 如果要從計算得到的零、極點得到系統(tǒng)函數(shù)的分子和如果要從計算得到的零、極點得到系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量分母多項式系數(shù)向量B和和A，可以調用：，可以調用： 結構轉換函數(shù)結構轉