1、1.2 極限極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限二、數(shù)列極限的性質(zhì)二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、函數(shù)的極限三、函數(shù)的極限四、無窮大與無窮小四、無窮大與無窮小一、一、數(shù)列的極限數(shù)列的極限例如例如,nna21 1)1( nna,21naaa1 1. .定義定義1 1 形如形如 的一列數(shù)稱為的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第第 n 項(xiàng)項(xiàng) an叫做叫做數(shù)列數(shù)列的一般項(xiàng)或的一般項(xiàng)或通項(xiàng)通項(xiàng). .nann1)1( ;,21,81,41,21n;,)1( , 1 , 1, 11 n.,)1(,41,31,21, 11nn ;,1,43,32,21 nn1 nnan說明說明

2、：(2)幾何上，幾何上，數(shù)列數(shù)列看做看做數(shù)軸上一個(gè)數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，依次取數(shù)軸，依次取數(shù)軸上上的點(diǎn)的點(diǎn).,21naaa1a2a3a4ana(1) 數(shù)列是以自然數(shù)為定義域的函數(shù)數(shù)列是以自然數(shù)為定義域的函數(shù).),( Nnnfan問題的提出問題的提出割圓術(shù)割圓術(shù) 我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注利用圓我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法割圓術(shù)割圓術(shù)，就是，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用極限思想在幾何上的應(yīng)用. . 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失可割，則與圓合體而無所失.2.2.數(shù)

3、列數(shù)列極限的定義極限的定義R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A126 n正正 邊邊形的面積形的面積nA,321nAAAAS說明：說明：當(dāng)當(dāng) n 的取值無限增大時(shí)，面積的取值無限增大時(shí)，面積 An 無限接近無限接近一個(gè)確定的常數(shù)一個(gè)確定的常數(shù) S. 數(shù)列的極限數(shù)列的極限用圓內(nèi)接多邊形的面積去逼近圓的面積用圓內(nèi)接多邊形的面積去逼近圓的面積:圓的面積圓的面積xyO.觀觀察察數(shù)數(shù)列列有有什什么么變變化化？數(shù)數(shù)列列值值增增大大隨隨著著nan,21 nna. 021,無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nnxn 結(jié)論：結(jié)論：一個(gè)確定的常數(shù)一個(gè)確定的常數(shù).21,0時(shí)

4、的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)是數(shù)列是數(shù)列則則 nn.)1(01時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)就就是是數(shù)數(shù)列列則則 nnn再如數(shù)列再如數(shù)列： nn 1)1(,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n, 0)1(1無無限限接接近近于于nn 定義定義2 設(shè)設(shè)an是一數(shù)列，是一數(shù)列，a是一常數(shù)是一常數(shù).無限無限時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nan, , a接近于接近于 ,時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)為數(shù)列為數(shù)列則稱則稱 naan記作記作aann lim).( naan或或反之，如果數(shù)列反之，如果數(shù)列an的極限不存在，則稱數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列an發(fā)散發(fā)散. . na或稱數(shù)列或稱數(shù)列, a收斂于收斂于在上例中，在上例中，, 021lim nn, 0)1(lim1 nnn. 1

5、1lim nnn ,11,)1(1之之間間擺擺動(dòng)動(dòng)和和在在的的不不斷斷增增大大隨隨著著而而 nn .)1(1不不存存在在極極限限極極限限的的定定義義， n根根據(jù)據(jù),lim,時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)在在極極限限的的定定義義中中 naann?的接近程度的接近程度與與annaaa如何度量如何度量無限接近于無限接近于 ,問題：問題：例如，例如，. 0)1(,)1(11無限接近于無限接近于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)數(shù)列數(shù)列nannnnn 由于由于,1)1(01nnann 當(dāng)當(dāng)n越來越大時(shí)，越來越大時(shí)， 越來越小，從而越來越小，從而an越來越接近于越來越接近于0.n1例如，給定例如，給定,1001,10011 n要使要使只要只要

6、n100100即可即可.即即從從101項(xiàng)開始都能使項(xiàng)開始都能使.10010成立成立 na給定給定,100001,1000011 n要使要使只要只要 n1000010000即可即可.即即從從10001項(xiàng)開始都能使項(xiàng)開始都能使.10010成立成立 na一般地，不論給定的正數(shù)一般地，不論給定的正數(shù) 多么的小，多么的小， 總存在一個(gè)正整總存在一個(gè)正整數(shù)數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng)n N時(shí)，不等式時(shí)，不等式 aan都成立都成立.這就是數(shù)列這就是數(shù)列nann1)1( .時(shí)時(shí)極極限限的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)當(dāng)當(dāng) n根據(jù)這一特點(diǎn)得到數(shù)列極限的精確定義根據(jù)這一特點(diǎn)得到數(shù)列極限的精確定義.定義定義3 3總存在總存在正整正整數(shù)數(shù)N，使

7、得使得當(dāng)當(dāng)nN時(shí)時(shí)，不等式不等式都成立都成立, ,那那么么稱常數(shù)稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列an的極限的極限. .對(duì)對(duì)任任意意給給定定的的數(shù)數(shù)為為一一數(shù)數(shù)列列，如如果果存存在在常常設(shè)設(shè),aan, 正正數(shù)數(shù) aan記作記作.limaann 說明：說明： ) 1 (具有任意性，確定性具有任意性，確定性，N 存在性存在性與與 有關(guān)有關(guān);)2(的的無無限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式aaaann (3)數(shù)列的極限與前面的有限項(xiàng)無關(guān)數(shù)列的極限與前面的有限項(xiàng)無關(guān)., 0, 0 aaNnNn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)(4)定義簡寫定義簡寫aann limx1a2a2 Na1 Na3a幾何解釋幾何解釋： 2 a aa只只有

8、有內(nèi)內(nèi)都都落落在在所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),(, aaaNnn., 0, 0lim aaNnNaxnnn恒有恒有時(shí)時(shí)使使.)(落落在在其其外外個(gè)個(gè)至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè)N從從 N+1 項(xiàng)開始，有項(xiàng)開始，有. aaan例例1 1. 0)1(lim1 nnn證證明明證明證明aan 0)1(1 nn,1n , 0 對(duì)對(duì),0 na要使要使,1 n即即,1 n,1 N取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn ,0)1(1 nn. 0)1(lim1 nnn由極限的定義知由極限的定義知例例2 2.231213lim nnn證證明明證明證明aan 231213 nn,41n , 0 對(duì)對(duì),41 n只要只要,41 n,

9、41 N取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn .231213lim nnn241 n241 n,231213 nn要使要使.231213 nn由極限的定義知由極限的定義知例例3 3證明證明aan 021 n),1(0 設(shè)設(shè)對(duì)對(duì),21 n即即,2lnln n取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得,2lnln N取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn ,21n ,021 n要使要使.021 n由極限的定義知由極限的定義知. 021lim nn證證明明. 021lim nn說明：說明： . 0)1()1(的的極極限限為為等等比比數(shù)數(shù)列列 qqn.)2(有有關(guān)關(guān)，但但不不唯唯一一與與，用用定定義義證證明明數(shù)數(shù)列列極極限限時(shí)時(shí) N因因,limaann ,

10、2abaan 從而從而;2baan 同理同理, ,因因,limbann 故存在故存在N1 , 使當(dāng)使當(dāng)n N1 時(shí)時(shí), .ba 不不妨妨設(shè)設(shè)證證明明( (反證法反證法) ),limaann ,limbann 假設(shè)假設(shè)故存在故存在N2, , 使當(dāng)使當(dāng)n N2 時(shí)時(shí), ,有有,2abbxn 從而從而.2baan 定理定理1(1(極限的極限的唯一性唯一性) ) 收斂的數(shù)列極限收斂的數(shù)列極限唯一唯一. .二、二、數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì),2,ab 取取依依據(jù)據(jù)極極限限的的定定義義矛盾矛盾, ,因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)則當(dāng)nN 時(shí)時(shí), , ,max21NNN 取取na同

11、時(shí)同時(shí)滿足的不等式滿足的不等式和和2baan ，2baan 定理定理2(2(收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界) )證證明明 設(shè)設(shè),limaann 取取,1從而有從而有,N則則當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), ,1 aan有有收斂數(shù)列必有界收斂數(shù)列必有界. ., 0,MaNnMann 有有對(duì)一切對(duì)一切即收斂數(shù)列即收斂數(shù)列11 aaan取取 1121 aaxxxMN,max則有則有.),(21 nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界由此證明收斂數(shù)列必有界. .說明說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立此性質(zhì)反過來不一定成立. . 例如例如 1)1( n定理定理3 3( (收斂數(shù)列收斂數(shù)列的的保號(hào)性保號(hào)性) )證明證明 就就 a

12、0 的情形的情形, ,由數(shù)列極限的定義，由數(shù)列極限的定義，,2a 取取,時(shí)當(dāng)Nn ,2aaan .20naa 從而從而ax2a2a推論推論: 若數(shù)列從某項(xiàng)起若數(shù)列從某項(xiàng)起, 0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明用反證法證明)O若若,limaann , 0 a且且,時(shí)當(dāng)Nn . 0 na有有N ,N 則則,NN則則1 Nx 0a 0na 定理定理4(4(夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則) ) acbnnnn limlim)2(),2,1()1( ncabnnn.limaann 且且證證明明 由條件由條件 (2),0 ,21 NNN當(dāng)當(dāng)1Nn 時(shí)時(shí), abn當(dāng)當(dāng)2Nn 時(shí)時(shí), acn, ab

13、an, acan滿足下列條件：滿足下列條件：及及、數(shù)列數(shù)列nnncba,的的極極限限存存在在則則數(shù)數(shù)列列na令令 ,max21NNN 結(jié)合結(jié)合條件條件 (1)，得，得nnncab a a即即, aan故故 .limaann na a a則當(dāng)則當(dāng)時(shí)時(shí), , Nn 從而從而例例4 證明證明222111lim0.(1)()nnnnn證明證明, 041lim)(lim2 nnnnnn由于由于, 01limlim2 nnnnn由由夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則得得,2nn 2)(nnn222111(1)()nnnn222111lim0.(1)()nnnnn定理定理5(5(單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則) ) 單調(diào)增加單調(diào)增

14、加數(shù)列數(shù)列：,121 nnaaaa,121 nnaaaa單調(diào)單調(diào)減少數(shù)列：減少數(shù)列：單調(diào)有界單調(diào)有界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限.單調(diào)單調(diào)增加增加有上界有上界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限；單調(diào)單調(diào)減少減少有下界有下界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限. .單調(diào)遞增數(shù)列和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)遞增數(shù)列和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列.說明：說明：例例5.111111的極限的極限，求數(shù)列求數(shù)列 證明數(shù)列的有界性證明數(shù)列的有界性.解解 ，令令111 na，則則nnaa 11, 11 a由于由于, 222 a, 2 ka設(shè)設(shè)kkaa 11則則. 23 由歸納法知，對(duì)所有的由歸納法知，對(duì)所有的, Nn，有有20 na

15、 .有界有界故數(shù)列故數(shù)列na下面證明數(shù)列具有單調(diào)性下面證明數(shù)列具有單調(diào)性., 11 a已知已知,22 a.12aa 則則，設(shè)設(shè)1 kkaa則則1-111kkkkaaaa 01111- kkkkaaaa由歸納法知，對(duì)所有的由歸納法知，對(duì)所有的, Nn，有有nnaa 1 .單調(diào)增加單調(diào)增加故數(shù)列故數(shù)列na由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知， ,極限存在極限存在故數(shù)列故數(shù)列na設(shè)為設(shè)為a.得得兩兩邊邊取取極極限限在在,11nnaa ，aa 1解得解得.251 a由于收斂數(shù)列保號(hào)性知由于收斂數(shù)列保號(hào)性知.251舍去舍去 a故所求數(shù)列的極限是故所求數(shù)列的極限是.251lim nna或或251 a子數(shù)列：

16、子數(shù)列： 在數(shù)列在數(shù)列 an 中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列列 an 的子數(shù)列的子數(shù)列例如，例如，數(shù)列數(shù)列 an ： 1，-1，1，-1， (-1)n+1， 的一子數(shù)列為的一子數(shù)列為a2n：-1，-1，-1，(-1)2n-1， 另一子列另一子列 a2n-1 ：1，1，1，(-1)2n， 如果數(shù)列如果數(shù)列 an 收斂于收斂于 a ，那么它的任一子數(shù)列也那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是收斂，且極限也是a 定理定理6(6(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的

17、關(guān)系) )(1)若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限, ,則原數(shù)列則原數(shù)列發(fā)散發(fā)散.說明說明: 定理定理6用來證明數(shù)列發(fā)散：用來證明數(shù)列發(fā)散：(2)若數(shù)列有若數(shù)列有一個(gè)子列極限不存在一個(gè)子列極限不存在，則，則則原數(shù)列發(fā)散則原數(shù)列發(fā)散.例如例如， ),2,1()1(1 nann;1lim12 nna1lim2 nna發(fā)散發(fā)散 !不相等不相等自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限0)4(xx 0)5(xx 0)6(xx x)1( x)2( x)3(, )(xfy 對(duì)自變量變化過程的六種形式自變量變化過程的六種形式: :自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限自

18、變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限三、函數(shù)的極限三、函數(shù)的極限 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察.sin)(時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxxxf1.1.自變量自變量 x 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)的極限的極限引例引例單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察 觀察完畢觀察完畢. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 演示實(shí)驗(yàn)的觀察演示實(shí)驗(yàn)的觀察: :當(dāng)當(dāng) x 無

19、限增大無限增大時(shí)時(shí), ,函數(shù)值函數(shù)值 f (x)無限接近于一個(gè)確定的無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)常數(shù) A ,稱稱 A為為 f (x) 當(dāng)當(dāng) x+時(shí)的極限時(shí)的極限.設(shè)設(shè) f (x) 當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，時(shí)有定義，記作：記作：)()(xAxf或或函數(shù)函數(shù) f (x) 在在x+ 時(shí)極限時(shí)極限的直觀定義：的直觀定義：定義定義4引例中，引例中，. 0sinlim xxx,)(limAxfx :)(, 0 Axf表明表明函數(shù)函數(shù)f (x)無限接近無限接近A. .xX：表明表明是在是在 x+ 的過程中實(shí)現(xiàn)的的過程中實(shí)現(xiàn)的. .定義定義5 5 f (x) 當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于

20、某一正數(shù)時(shí)有定義, , A 為常數(shù)為常數(shù). .恒有恒有 |f (x) -A|X 時(shí)，時(shí)，類比于數(shù)列極限的定義類比于數(shù)列極限的定義，推得當(dāng)推得當(dāng) 時(shí)函數(shù)極限時(shí)函數(shù)極限的的精確定義精確定義：x.)(limAxfx 記作：記作：對(duì)定義對(duì)定義5的簡單敘述：的簡單敘述：.)(,. 0, 0)(lim AxfXxXAxfx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)類比當(dāng)類比當(dāng) 時(shí)函數(shù)的極限定義，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義，當(dāng) 時(shí)函時(shí)函數(shù)數(shù)f (x)的極限定義：的極限定義：xx定義定義6 6 f (x) 當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于某一正數(shù)時(shí)有定義, , A 為常數(shù)為常數(shù). .恒有恒有 |f (x) -A| 成立，則稱成立，則稱 A 是是

21、函數(shù)函數(shù)f (x)在在 時(shí)時(shí)的的極限極限. .x對(duì)對(duì)任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù) ，總存在總存在正數(shù)正數(shù) X，當(dāng)，當(dāng) x-X 時(shí)，時(shí)，.)(limAxfx 記作：記作：簡單敘述：簡單敘述：.)(, 0, 0)(lim AxfXxXAxfx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)結(jié)合定義結(jié)合定義5和定義和定義6，推得，推得時(shí)的極限定義：時(shí)的極限定義：在在 xxf)(定義定義7 7 f (x) 當(dāng)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義大于某一正數(shù)時(shí)有定義, , A 為常數(shù)為常數(shù). .恒有恒有 |f (x) -A|X 時(shí)，時(shí)，.)(limAxfx 記作：記作：簡單敘述：簡單敘述：.)(, 0, 0)(lim AxfXxXAxfx有有時(shí)時(shí)

22、當(dāng)當(dāng)結(jié)論：結(jié)論：極限存在的充要條件：極限存在的充要條件：在在函數(shù)函數(shù) xxf)(.)(lim)(lim)(limAxfxfAxfxxx 例例6. 0sinlim xxx證明證明證明證明Axf )(0sin xx,1x xxsin 由于由于, 0 對(duì)對(duì),1 x只要只要,1 x,1 X取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Xx . 0sinlim xxx,)( Axf要使要使.)( Axf由極限的定義知由極限的定義知XXAAoxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋： AxfA)(XxXx 或或稱稱直線直線 y = A 為曲線為曲線)(xfy 的的水平漸近線水平漸近線,0 X,)(, AxfXx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 Ay幾何上

23、，曲線幾何上，曲線y=f (x) 的圖形位于的圖形位于 和和 兩直線之間兩直線之間. Ay引例引例 函數(shù)函數(shù)1)( xxf在在1 x處的極限為處的極限為函數(shù)函數(shù)11)(2 xxxf在在1 x處的極限為處的極限為yAx xx0 時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) f (x)的極限是否存在的極限是否存在,與與 f (x)在在 x0處是否有定義處是否有定義無關(guān)無關(guān).2.2.自變量自變量 xx0 時(shí)時(shí), , f(x) 的極限的極限結(jié)論結(jié)論：設(shè)設(shè) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一的某一去心鄰域內(nèi)去心鄰域內(nèi)有定義，有定義，Axfxx )(lim0記作：記作：，數(shù)數(shù)無無限限接接近近一一個(gè)個(gè)確確定定的的常常函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Axfx

24、x)(,0.)(0時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱xxxfA上例中上例中, 2)1(lim1 xx, 211lim21 xxx時(shí)極限的直觀定義：時(shí)極限的直觀定義：在在函數(shù)函數(shù)0)(xxxf定義定義7).()(0 xxAxf或或定義定義8 8簡單表述：簡單表述： Axfxx)(lim0.)(, 0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一去心鄰域內(nèi)有定義的某一去心鄰域內(nèi)有定義，存在存在正數(shù)正數(shù) , ,當(dāng)當(dāng) 0| x -x0 | ,成立，則稱成立，則稱A為函數(shù)為函數(shù) f (x) 當(dāng)當(dāng) x x0 時(shí)的極限時(shí)的極限. .對(duì)于對(duì)于任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù)

25、 , , | f (x) -A | 0 ,不等式不等式的的 x , 總有總有 使對(duì)一切滿足使對(duì)一切滿足總存在總存在, 0 00 xx則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)時(shí)為時(shí)為無窮大無窮大,0 xx 說明：說明： 1. 無窮大不是數(shù)無窮大不是數(shù), ,不可與很大的數(shù)混為一談不可與很大的數(shù)混為一談.2.2.函數(shù)為無窮大函數(shù)為無窮大, ,必定無界必定無界. .但反之不真但反之不真 !例如例如, 函數(shù)函數(shù)),(,cos)( xxxxf nnf2)2( )( n當(dāng)當(dāng)因?yàn)橐驗(yàn)?)(2 nf無界無界時(shí)時(shí)，不不是是無無窮窮大大，在在函函數(shù)數(shù) xxf)(.)(. 30的的極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，無無窮窮大大的的函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)xfxx 例如，例如， 由于由于,1lim0 xx.01時(shí)的無窮大時(shí)的無窮大為為 xx從圖形上看，從圖形上看，. 01,0 xxyx無無限限接接近近于于直直線線曲曲線線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)一般地，一般地，,)(lim0 xfxx)(0 xfyxx 為曲線為曲線則直線則直線的的鉛直漸近線鉛直漸近線. .在上例中，在上例中，.10的鉛直漸近線的鉛直