1、5.5.2簡單的三角恒等變換學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式.2.了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法.3.能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及證明三角恒等式，并能進行一些簡單的應(yīng)用知識點一半角公式sin eq f(,2)eq r(f(1cos ,2)，cos eq f(,2)eq r(f(1cos ,2)，tan eq f(,2)eq r(f(1cos ,1cos )eq f(sin ,1cos )eq f(1cos ,sin ).知識點二輔助角公式輔助角公式：asin xbcos xeq r(a2b2)sin(x).eq blc(rc)(avs4a

2、lco1(其中tan f(b,a)1cos eq f(,2)eq r(f(1cos ,2).()2對任意R，sin eq f(,2)eq f(1,2)cos 都不成立()3若cos eq f(1,3)，且(0，)，則cos eq f(,2)eq f(r(6),3).()4對任意都有sin eq r(3)cos 2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3).()一、三角恒等式的證明例1求證：eq f(1sin cos ,1sin cos )eq f(1sin cos ,1sin cos )eq f(2,sin ).證明方法一左邊eq f(2sin2f(,2)2sin f(,2)c

3、os f(,2),2cos2f(,2)2sin f(,2)cos f(,2)eq f(2cos2f(,2)2sin f(,2)cos f(,2),2sin2f(,2)2sin f(,2)cos f(,2)eq f(sin f(,2),cos f(,2)eq f(cos f(,2),sin f(,2)eq f(1,cos f(,2)sin f(,2)eq f(2,sin )右邊所以原式成立方法二左邊eq f(1sin cos 21sin cos 2,1sin cos 1sin cos )eq f(21sin 22cos2,1sin 2cos2)eq f(44sin ,2sin 2sin2)eq

4、f(2,sin )右邊所以原式成立反思感悟三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡；(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同；(4)比較法：設(shè)法證明“左邊右邊0”或“左邊/右邊1”；(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立跟蹤訓(xùn)練1求證：eq f(2sin xcos x,sin xcos x1sin xcos x1)eq f(1cos x,sin x).證明左邊eq f(2sin xcos x,

5、blc(rc)(avs4alco1(2sinf(x,2)cosf(x,2)2sin2f(x,2)blc(rc)(avs4alco1(2sinf(x,2)cosf(x,2)2sin2f(x,2)eq f(2sin xcos x,4sin2f(x,2)blc(rc)(avs4alco1(cos2f(x,2)sin2f(x,2)eq f(sin x,2sin2f(x,2)eq f(cos f(x,2),sin f(x,2)eq f(2cos2f(x,2),2sin f(x,2)cos f(x,2)eq f(1cos x,sin x)右邊所以原等式成立二、三角恒等變換的綜合問題例2已知函數(shù)f(x)4c

6、os xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)(0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)討論f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上的單調(diào)性解(1)f(x)4cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)2eq r(2)sin xcos x2eq r(2)cos2xeq r(2)(sin 2xcos 2x)eq r(2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)eq r(2).因為f(x)的最小正周期為，且0，從而有eq f(2,2)，故1.(2)由(1)知，f(x)2sineq blc(rc)(a

7、vs4alco1(2xf(,4)eq r(2).若0 xeq f(,2)，則eq f(,4)2xeq f(,4)eq f(5,4).當(dāng)eq f(,4)2xeq f(,4)eq f(,2)，即0 xeq f(,8)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)eq f(,2)2xeq f(,4)eq f(5,4)，即eq f(,8)xeq f(,2)時，f(x)單調(diào)遞減綜上可知，f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(0，f(,8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq blc(rc(avs4alco1(f(,8)，f(,2)上單調(diào)遞減反思感悟研究三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性和最值問題，通常是把復(fù)雜的三角函數(shù)通過恰當(dāng)?shù)娜亲儞Q

8、，轉(zhuǎn)化為一種簡單的三角函數(shù)，再研究轉(zhuǎn)化后函數(shù)的性質(zhì)在這個過程中通常利用輔助角公式，將yasin xbcos x轉(zhuǎn)化為yAsin(x)或yAcos(x)的形式，以便研究函數(shù)的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)sin2xsin2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,4)上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)eq f(1cos 2x,2)eq f(1cosblc(rc)(avs4alco1(2xf(,3),2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1

9、(f(1,2)cos 2xf(r(3),2)sin 2x)eq f(1,2)cos 2xeq f(r(3),4)sin 2xeq f(1,4)cos 2xeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).所以f(x)的最小正周期Teq f(2,2).(2)因為f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,6)上是減函數(shù)，在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,4)上是增函數(shù)，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,4)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(1,

10、2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(3),4)，所以f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,4)上的最大值為eq f(r(3),4)，最小值為eq f(1,2).三、三角函數(shù)的實際應(yīng)用例3如圖，有一塊以點O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點B，C落在半圓的圓周上已知半圓的半徑長為20 m，如何選擇關(guān)于點O對稱的點A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大，最大值是多少？解連接OB(圖略)，設(shè)AOB，則ABOBsin 20sin ，OAOBcos 20cos

11、 ，且eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2).因為A，D關(guān)于原點對稱，所以AD2OA40cos .設(shè)矩形ABCD的面積為S，則SADAB40cos 20sin 400sin 2.因為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以當(dāng)sin 21，即eq f(,4)時，Smax400(m2)此時AODO10eq r(2)(m)故當(dāng)A，D距離圓心O為10eq r(2) m時，矩形ABCD的面積最大，其最大面積是400 m2.反思感悟(1)三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系，幾何中的角度、長度、面積等問題，常借助三角變換來解決；實際問題的意義常反映在三角形的邊、角關(guān)系上，

12、故常用三角恒等變換的方法解決實際的優(yōu)化問題(2)解決此類問題的關(guān)鍵是引進角為參數(shù)，列出三角函數(shù)式跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應(yīng)怎樣截取，才能使OAB的周長最大？解設(shè)AOB，則0eq f(,2)，OAB的周長為l，則ABRsin ，OBRcos ，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )Req r(2)Rsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)R.0eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,4)eq f(3,4).l的最大值為eq r(2)RR(eq r(2)1)R，此時，eq f(,4)eq f(,2)，即eq f(,4)，即

13、當(dāng)eq f(,4)時，OAB的周長最大1已知cos eq f(1,5)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，則sin eq f(,2)等于()A.eq f(r(10),5) Beq f(r(10),5) C.eq f(2r(6),5) D.eq f(2r(5),5)答案A解析eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，)，sin eq f(,2)eq r(f(1cos ,2)eq f(r(10),5).2若函數(shù)f(x)sin2xeq f(1,2)(xR)，則f(x)是()A最小正

14、周期為eq f(,2)的奇函數(shù)B最小正周期為的奇函數(shù)C最小正周期為2的偶函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)答案D解析f(x)eq f(1cos 2x,2)eq f(1,2)eq f(1,2)cos 2x.故選D.3下列各式與tan 相等的是()A.eq r(f(1cos 2,1cos 2) B.eq f(sin ,1cos )C.eq f(sin ,1cos 2) D.eq f(1cos 2,sin 2)答案D解析eq f(1cos 2,sin 2)eq f(2sin2,2sin cos )eq f(sin ,cos )tan .4函數(shù)yeq r(3)sin xcos x在eq blcrc(avs4a

15、lco1(f(,6)，f(,6)上的值域是_答案0，eq r(3)解析yeq r(3)sin xcos x2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)x).又eq f(,6)xeq f(,6)，0eq f(,6)xeq f(,3).0yeq r(3).5已知sin eq f(,2)cos eq f(,2)eq f(1,r(5)，eq f(,2)，則tan eq f(,2)_.答案2解析eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(,2)cos f(,2)2eq f(1,5)，1sin eq f(1,5)，sin eq f(4,5).又eq f(,2)，cos eq f(

16、3,5).tan eq f(,2)eq f(1cos ,sin )eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,5),f(4,5)2.1知識清單：(1)半角公式；(2)輔助角公式；(3)三角恒等變換的綜合問題；(4)三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用2方法歸納：換元思想，化歸思想3常見誤區(qū)：半角公式符號的判斷，實際問題中的定義域1設(shè)56，cos eq f(,2)a，則sin eq f(,4)等于()A.eq f(r(1a),2) B.eq f(r(1a),2) Ceq r(f(1a,2) Deq r(f(1a,2)答案D解析56，eq f(5,4)eq f(,4)eq f(3,2)，sin

17、eq f(,4)eq r(f(1cos f(,2),2)eq r(f(1a,2).2設(shè)aeq f(1,2)cos 6eq f(r(3),2)sin 6，b2sin 13cos 13，ceq r(f(1cos 50,2)，則有()Acba Babc Cacb Dbca答案C解析由題意可知，asin 24，bsin 26，csin 25，而當(dāng)0 x90，ysin x為增函數(shù)，acb，故選C.3已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2，則()Af(x)的最小正周期為，最大值為3Bf(x)的最小正周期為，最大值為4Cf(x)的最小正周期為2，最大值為3Df(x)的最小正周期為2，最大值為4答案B解析易

18、知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1eq f(3,2)(2cos2x1)eq f(3,2)1eq f(3,2)cos 2xeq f(5,2)，則f(x)的最小正周期為，當(dāng)xk(kZ)時，f(x)取得最大值，最大值為4.4化簡eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(,2)cos f(,2)22sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2)得()A2sin B2eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)C2 D2eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)答案C解析原式12sin eq f(

19、,2)cos eq f(,2)1coseq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2)2sin coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sin sin 2.5設(shè)函數(shù)f(x)2cos2xeq r(3)sin 2xa(a為實常數(shù))在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上的最小值為4，那么a的值等于()A4 B6 C4 D3答案C解析f(x)2cos2xeq r(3)sin 2xa1cos 2xeq r(3)sin 2xa2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)a1.當(dāng)xeq blcrc(

20、avs4alco1(0，f(,2)時，2xeq f(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(7,6)，f(x)min2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a14.a4.6若3sin xeq r(3)cos x2eq r(3)sin(x)，(，)，則_.答案eq f(,6)解析因為3sin xeq r(3)cos x2eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sin xf(1,2)cos x)2eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)，因為(，)，所以eq f(,6).7若是第二象限角，且25

21、sin2sin 240，則cos eq f(,2)_.答案eq f(3,5)解析由25sin2sin 240，又是第二象限角，得sin eq f(24,25)或sin 1(舍去)故cos eq r(1sin2)eq f(7,25)，由cos2 eq f(,2)eq f(1cos ,2)得cos2 eq f(,2)eq f(9,25).又eq f(,2)是第一、三象限角，所以cos eq f(,2)eq f(3,5).8化簡：eq f(sin 4x,1cos 4x)eq f(cos 2x,1cos 2x)eq f(cos x,1cos x)_.考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值題點綜合運用三角恒

22、等變換公式化簡求值答案tan eq f(x,2)解析原式eq f(2sin 2xcos 2x,2cos22x)eq f(cos 2x,1cos 2x)eq f(cos x,1cos x)eq f(sin 2x,1cos 2x)eq f(cos x,1cos x)eq f(2sin xcos x,2cos2x)eq f(cos x,1cos x)eq f(sin x,1cos x)tan eq f(x,2).9已知cos eq f(7,25)，(，2)，求sin eq f(,2)cos eq f(,2)的值解因為(，2)，所以eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，

23、)，所以sin eq f(,2)eq r(f(1cos ,2)eq f(4,5)，cos eq f(,2)eq r(f(1cos ,2)eq f(3,5)，所以sin eq f(,2)cos eq f(,2)eq f(1,5).10已知函數(shù)f(x)eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,12) (xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)2sin2eq blc(rc)(

24、avs4alco1(xf(,12)eq r(3)sineq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)1coseq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)2eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)sinblcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)f(1,2)cosblcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)12sineq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)f(,6

25、)12sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)1，f(x)的最小正周期為Teq f(2,2).(2)當(dāng)f(x)取得最大值時，sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)1，有2xeq f(,3)2keq f(,2)(kZ)，即xkeq f(5,12)(kZ)，所求x的集合為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(5,12)，kZ).11函數(shù)f(x)sin2xeq r(3)sin xcos x在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,2)上的最大值是()A1 B2 C.eq f(3,2) D3

26、答案C解析f(x)eq f(1cos 2x,2)eq f(r(3),2)sin 2xsineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)eq f(1,2)，xeq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,2)，2xeq f(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(5,6)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)，f(x)max1eq f(1,2)eq f(3,2)，故選C.12化簡：tan 70cos 10(eq r(3)tan 201)_.答案1解析原式eq f(sin 7

27、0,cos 70)cos 10eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)f(sin 20,cos 20)1)eq f(sin 70,cos 70)cos 10eq f(r(3)sin 20cos 20,cos 20)eq f(sin 70,cos 70)cos 10eq f(2sin10,cos 20)eq f(sin 70,cos 70)eq f(sin 20,cos 20)1.13設(shè)0，不等式8x28xsin cos 20對任意xR恒成立，則的取值范圍是_答案eq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(5,6)，)解析(8sin )

28、248cos 20，即2sin2cos 20，所以4sin21，所以eq f(1,2)sin eq f(1,2).因為0，所以0eq f(,6)或eq f(5,6).14函數(shù)ysin2xsin xcos x1的最小正周期是_，單調(diào)遞增區(qū)間是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,8)，kf(3,8)，kZ解析ysin2xsin xcos x1eq f(1cos 2x,2)eq f(sin 2x,2)1eq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)eq f(3,2).最小正周期Teq f(2,2).令eq f(,2)2k2xeq f(,4)eq f(,2)2k，kZ，解得eq f(,8)kxeq f(3,8)k，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,8)，kf(3,8)(kZ)15已知sin 2eq f(3,5)，02eq f(,2)，則eq f(2cos2f(,2)sin 1,r(2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.答案eq f(1,2)解析eq f(2cos2f(,2)sin 1,r(2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(blc(rc)(avs4alco1(