1、第10講 一階與二階系統(tǒng)的 時(shí)域呼應(yīng).知識(shí)點(diǎn)1：一階系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng) 數(shù)學(xué)模型 可以用一階微分方程描畫的系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，其傳送函數(shù)為其中T一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù) 。慣性環(huán)節(jié). 一階系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng) 當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，一階系統(tǒng)的輸出c(t)稱為單位階躍呼應(yīng)，記作h(t)。.， 系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)，有那么系統(tǒng)輸出的拉氏變換為對(duì)輸出呼應(yīng)進(jìn)展拉氏反變換，得.討論：1是穩(wěn)態(tài)分量，由輸入信號(hào)決議。 是瞬態(tài)分量暫態(tài)分量，它的變化規(guī)律由傳送函數(shù)的極點(diǎn)-1/T或時(shí)間常數(shù)T決議。當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，瞬態(tài)分量按指數(shù)衰減到零。.一階系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)的典型數(shù)值所以，一階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)是一條指數(shù)上升、漸近趨于穩(wěn)

2、態(tài)值的曲線。.性能目的 1.調(diào)整時(shí)間ts 經(jīng)過時(shí)間3T4T，呼應(yīng)曲線已達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%98%，可以以為其調(diào)整過程已完成，故普通取ts=(34)T。2. 穩(wěn)態(tài)誤差ess 系統(tǒng)的實(shí)踐輸出h(t)在時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，接近于輸入值，即3. 超調(diào)量Mp 一階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)為非周期呼應(yīng)，故系統(tǒng)無振蕩、無超調(diào)，Mp=0。 .一階系統(tǒng)的單位脈沖呼應(yīng) 當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=(t)時(shí)，系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖呼應(yīng)，記為g(t)。當(dāng)r(t)=(t)， 即R(s)=1時(shí)，有 .t=0時(shí)的斜率？.例1.設(shè)某一單位負(fù)反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為 ，那么閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)的調(diào)整時(shí)間 以及閉環(huán)單位階躍呼應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 .

3、知識(shí)點(diǎn)2 二階系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng) 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 典型二階系統(tǒng)的構(gòu)造圖如圖3-14所示，其閉環(huán)傳送函數(shù)為或 典型二階系統(tǒng)構(gòu)造圖.其中 系統(tǒng)的阻尼比 n系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率 系統(tǒng)振蕩周期系統(tǒng)的特征方程為特征根為.二階系統(tǒng)的特征根極點(diǎn)分布 求解二階系統(tǒng)特征方程，可得 . (1). 欠阻尼 是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根。 (2). 臨界阻尼 是兩個(gè)一樣的負(fù)實(shí)根。(3). 過阻尼 是兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根。 (4). 無阻尼 是一對(duì)共軛純虛數(shù)根。.二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)對(duì)于單位階躍輸入于是由拉氏反變換可以得到二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)為 下面按阻尼比分別討論。.過阻尼(1) 這種情況下，系統(tǒng)存在兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，那么

4、. 拉氏反變換可得過阻尼系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)：穩(wěn)態(tài)分量：1暫態(tài)分量：兩個(gè)指數(shù)函數(shù)之和，指數(shù)部分由系統(tǒng)傳送函數(shù)極點(diǎn)確定。.討論： 過阻尼系統(tǒng)是兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。 有關(guān)分析闡明，當(dāng) 時(shí)，兩極點(diǎn)s1和s2與虛軸的 間隔相差很大，此時(shí)接近虛軸的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間呼應(yīng)與原二階系統(tǒng)非常接近，可以用該慣性環(huán)節(jié)來近似原來的二階系統(tǒng)。即有. 過阻尼系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值和最終誤差過渡過程時(shí)間按近似后一階系統(tǒng)求出 .2. 當(dāng)01時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼形狀。在欠阻尼形狀下，系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，即其中， 稱為阻尼振蕩角頻率。 .此時(shí)，系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，那么.欠阻尼系統(tǒng)單位階躍

5、呼應(yīng)為或?qū)憺?討論:(1)欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)是衰減的正弦振蕩曲線。衰減速度取決于特征根實(shí)部的絕對(duì)值 n的大小，振蕩角頻率是特征根虛部的絕對(duì)值，即有阻尼自振角頻率d， (2)振蕩周期為 (3)越大，振幅衰減越快，振蕩周期越長(zhǎng)頻率越低。.(4)上升時(shí)間tr的計(jì)算： 或即所以.(5)峰值時(shí)間的計(jì)算： 出現(xiàn)峰值時(shí)，階躍呼應(yīng)隨時(shí)間的變化率為0，即 那么故到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)應(yīng)有.(6)最大超調(diào)量的計(jì)算： 越小， 越大只與有關(guān).(7)調(diào)整時(shí)間ts的計(jì)算： 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)曲線位于一對(duì)曲線 以內(nèi)，這對(duì)曲線稱為呼應(yīng)曲線的包絡(luò)線。可以采用包絡(luò)線替代實(shí)踐呼應(yīng)曲線估算調(diào)整時(shí)間，所得結(jié)果普通

6、略偏大。.解得當(dāng)5時(shí)，當(dāng)2時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，常取 為最正確阻尼比。假設(shè)允許誤差帶是如2，可以以為調(diào)整時(shí)間就是包絡(luò)線衰減到 區(qū)域所需的時(shí)間，那么有 . 設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，可先由超調(diào)量確定阻尼比，再由其他目的如調(diào)整時(shí)間和已確定的阻尼比給出自然振蕩角頻率。欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)性能目的計(jì)算公式.例：設(shè)一個(gè)帶速度反響的伺服系統(tǒng)，其構(gòu)造圖如下圖。要求系統(tǒng)的性能目的為Mp=20%, tp=1s.試確定系統(tǒng)的K和KA值，并計(jì)算性能目的tr、ts和N. .3. 當(dāng)阻尼比=1時(shí)，系統(tǒng)的特征根為兩相等的負(fù)實(shí)根，稱為臨界阻尼形狀。 此時(shí)系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)的超調(diào)量Mp=0，調(diào)理時(shí)間 (對(duì)應(yīng)誤

7、差帶為5%)圖3-18 臨界阻尼系統(tǒng)階躍呼應(yīng).4. 當(dāng)阻尼比=0時(shí)，系統(tǒng)特征根為一對(duì)純虛根，稱為無阻尼形狀。 系統(tǒng)特征根 單位階躍呼應(yīng)為 .不同下，二階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)曲線圖0123456789101112nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0.幾點(diǎn)結(jié)論1二階系統(tǒng)的阻尼比決議了其振蕩特性： 0 時(shí)，階躍呼應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定負(fù)阻尼= 0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩01時(shí)當(dāng)01(t0)欠阻尼：01無阻尼：=0臨界阻尼：=1二階系統(tǒng)單位脈沖呼應(yīng)曲線.例3-15 原控制系統(tǒng)如圖3-23(a)所示，引入速度反響后的

8、控制系統(tǒng)如圖3-23(b)所示，知在圖3-23(b)中，系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)的超調(diào)量Mp%=16.4%，峰值時(shí)間tp=1.14s，試確定參數(shù)K和Kt，并計(jì)算系統(tǒng)在(a) 和(b)的單位階躍呼應(yīng)h(t)。圖3-23 例3-15圖.解 對(duì)于系統(tǒng)(b)，其閉環(huán)傳送函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)相比較，有 3-55而知Mp=16.4% tp=1.14s根據(jù) 求得 .求得 將 代入(3-55)得 其單位階躍呼應(yīng)為 .對(duì)于系統(tǒng)(a)，其閉環(huán)傳送函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較有 系統(tǒng)的最大超調(diào)量 峰值時(shí)間其單位階躍呼應(yīng)為 前往.知識(shí)點(diǎn)三 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng) 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng) n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為 .當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)r

9、(t)=1(t)，即時(shí)，那么假設(shè)一切閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)互不相等且均為實(shí)數(shù) .當(dāng)極點(diǎn)中還包含共軛復(fù)極點(diǎn)時(shí) 進(jìn)展拉普拉斯反變換可得系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng) .高階系統(tǒng)的降階 主導(dǎo)極點(diǎn) 在整個(gè)呼應(yīng)過程中起著主要的決議性作用的閉環(huán)極點(diǎn)，我們稱它為主導(dǎo)極點(diǎn)。 工程上往往只用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。即將系統(tǒng)近似地看成是一階或二階系統(tǒng)。.2. 偶極子 將一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)稱為偶極子。工程上，當(dāng)某極點(diǎn)和某零點(diǎn)之間的間隔比它們的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，就可以為這對(duì)零極點(diǎn)為偶極子。 閉環(huán)傳送函數(shù)中，假設(shè)零、極點(diǎn)數(shù)值上相近，那么可將該零點(diǎn)和極點(diǎn)一同消掉，稱之為偶極子相消。.零極點(diǎn)對(duì)階躍呼應(yīng)的影響 零點(diǎn)對(duì)階躍呼應(yīng)的影響 假設(shè)系統(tǒng)中添加一個(gè)閉環(huán)實(shí)零點(diǎn)，即系統(tǒng)中添加了一個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié) 且閉環(huán)零點(diǎn)z位于復(fù)平面的左半平面， .上式拉普拉斯反變換 可見，添加一個(gè)閉環(huán)左實(shí)零點(diǎn)以后，系統(tǒng)階躍呼應(yīng)添加了一項(xiàng)，該項(xiàng)的值與c(t)的變化率成正比，與該零點(diǎn)離虛軸的間隔成反比。顯然，該零點(diǎn)的添加將使系統(tǒng)呼應(yīng)過程加快，超調(diào)量增大，系統(tǒng)對(duì)輸入作用的反響靈敏了。.反之，假設(shè)添加的閉環(huán)零點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，即 ，那么這將使系統(tǒng)呼應(yīng)過程變慢，超調(diào)量減小，系統(tǒng)對(duì)輸入作用的反響