1、第四章 彎 曲 內(nèi) 力第四章 彎曲內(nèi)力第一節(jié) 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖第二節(jié) 梁的剪力與彎矩第三節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 第四節(jié) 彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用第五節(jié) 按疊加原理作彎矩圖一、彎曲的概念 1、彎曲：在垂直于桿軸線的平衡力系的作用下，桿的軸線在變形后成為曲線的變形形式。 2、梁：主要承受垂直于軸線荷載的桿件 軸線是直線的稱為直梁，軸線是曲線的稱為曲梁。 有對(duì)稱平面的梁稱為對(duì)稱梁，沒有對(duì)稱平面的梁稱為非對(duì)稱梁 3、平面彎曲（對(duì)稱彎曲）：若梁上所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內(nèi)的彎曲。 4、非對(duì)稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁

2、有縱向?qū)ΨQ面上但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。4.1 彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖FFsFAFB縱向?qū)ΨQ面二、 梁的荷載及計(jì)算簡(jiǎn)圖 研究對(duì)象：等截面的直梁，且外力作用在梁對(duì)稱面內(nèi)的平面力系。 1.梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上。 2.梁的支座簡(jiǎn)化(平面力系)：a)活動(dòng)鉸支座b)固定鉸支座c)固定端 3.靜定梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁(a)懸臂梁(b)簡(jiǎn)支梁(c)外伸梁 4.作用在梁上的荷載可分為:(a)集中荷載F1集中力M集中力偶(b)分布荷載q(x)任意分布荷載q均布荷載4.梁的剪力與彎矩一、截面法求內(nèi)力：切取、替代、平衡FAB剪力CFC彎矩 剪力平行于橫截面的內(nèi)

3、力，符號(hào)：，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁有左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)(左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正)； MMMMFSFSFSFS 彎矩繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力，符號(hào)：M，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)(梁上壓下拉的彎矩為正)。剪力為正剪力為負(fù)彎矩為正彎矩為負(fù)二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力：剪力符號(hào)規(guī)定：彎矩符號(hào)規(guī)定：左上右下為正下側(cè)受拉(上凹下凸、左順右逆)為正或使該段梁順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正MMMMFsFsFsFs對(duì)未知的剪力、彎矩按正方向設(shè)定求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩.例1BAP=q11223344qBAP=qFs3M3AP=qFs2M2M1

4、Fs1ARAFs4M4qRBFs1 RFsaA54 = =Fs2RqaFsaA4=-=Fs3=Fs4qaRqaB34=-=-BAP=qq1 21 23344RBRARARA例2 求下圖所示簡(jiǎn)支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解： 1、求支反力2、計(jì)算1-1截面的內(nèi)力3、計(jì)算2-2截面的內(nèi)力F=8kNFAFBq=12kN/m 通過上述計(jì)算可以看出，截面上的內(nèi)力與該截面一側(cè)桿上的外力相平衡，因而可以直接通過一側(cè)桿段上的外力直接求得截面上的內(nèi)力外力簡(jiǎn)化法。符號(hào)如何確定？l:力的作用線至所求截面的距離MFsMFsmmFs=

5、-Fs=-左段右段11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/m再作例2： 求圖示簡(jiǎn)支梁1-1、2-2截面的剪力和彎矩.ABRA RB RA =15kNRB =29kN請(qǐng)思考： RB還可如何簡(jiǎn)便算出？11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根據(jù)1-1截面左側(cè)的外力計(jì)算FS1 、 M1 FS1=+RA-P =15-8 =+7kN M1 =+RA2-P(2-1.5) =152-80.5 =+26 kNm根據(jù)1-1截面右側(cè)的外力計(jì)算FS1 、 M1FS1=+(Fs3)-RB =123-29 =+7kNM

6、1 =-(Fs3)2.5+RB4 =-(123)2.5+294 =+26 kNm11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根據(jù)2-2截面右側(cè)的外力計(jì)算FS2 、 M2FS2 =+(Fs1.5)-RB =121.5-29 =-11kNM2 =-(Fs1.5)1.5/2+RB1.5 =-(121.5)1.5/2+291.5 = +30 kNm根據(jù)2-2截面左側(cè)外力計(jì)算FS2、M2 , 請(qǐng)自己完成!FABCFC若將前面例題中確定尺寸b改為變量xFlABFslABFabClABabClABM試列出下列各梁AB的剪力方程和彎矩方程

7、, 作剪力圖和彎矩圖。xx1.剪力、彎矩方程： 2.剪力、彎矩圖：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。例1 作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。4.剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 xFsFFlMFlABFsM例2 圖示簡(jiǎn)支梁受均布荷載Fs的作用，作該梁的剪力圖和彎矩圖。qlAB解： 1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和彎矩方程 例3 在圖示簡(jiǎn)支梁AB的C點(diǎn)處作用一集中力F，作該梁的剪力圖和彎矩圖。 由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。FabClAB解： 1、求

8、支反力2、建立剪力方程和彎矩方程FAFBFsM 由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。 例4 在圖示簡(jiǎn)支梁AB的C點(diǎn)處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。abClABM解： 1、求支反力2、建立剪力方程和彎矩方程FAFBFsMxFsFFlMFlABabClABMFAFBFsMFabClABFAFBFsMFsMFslABFAFB機(jī)械MFSM土木由以上例題可總結(jié)以下幾條：1、在集中力作用點(diǎn)，剪力圖發(fā)生突變，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。2、在集中力偶作用點(diǎn)，剪力圖無變化，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集

9、中力偶的大小。3、無載荷的梁段，剪力圖為一平行于軸線的直線，彎矩圖為斜直線。4、作用著均布載荷的梁段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。是普遍規(guī)律嗎？例PBALx簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載P作用，試求梁的最大彎矩為極大時(shí)荷載P的位置.解：荷載P移至x截面處，Mmax (x)=Px(L-x)/L位置：x截面令 dMc dx=0 x=L/2時(shí)， Mmax =P L/4跨中為最不利位置例作圖示平面剛架的內(nèi)力圖.BCA20kN10kN3m2m解：xBC段FN =0FS =10kNM= -10 x kNm (0 x2)BA段xFN =-10kNFS =20kNM= -20-20 x kNm (0 x3)一般將豎

10、直桿的下端看作左端10kN軸力圖剪力圖10kN20kN20kNm彎矩圖20kNm80kNm注意：軸力 正值畫在外側(cè)，負(fù)值畫在內(nèi)側(cè)。剪力 正值畫在外側(cè)，負(fù)值畫在內(nèi)側(cè)。彎矩 本教材畫在受壓側(cè)，不標(biāo)注正負(fù)。 一般機(jī)械類教材彎矩圖畫在受壓側(cè)，土木類教材彎矩圖畫在受拉側(cè)。一、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系 1.假設(shè)：規(guī)定Fs(x)向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)為其上Fs(x)為常數(shù)，無集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。 2.微分關(guān)系推導(dǎo)：4.彎矩、剪力與分布載荷集度間的關(guān)系yxMFq(x)ABxdxq(x)dxOM(x)Fs(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)載荷集度、剪力和彎矩的微分

11、關(guān)系:d)d()Fs(xxqx=d()d)MxxFs(x=d()dd)d()22MxxFs(xxqx=1.微分關(guān)系的幾何意義： 剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大??；彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。 2.各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)：二、討論微分關(guān)系的幾何意義外力情況q0C0C0有極小值0有極大值注意坐標(biāo)方向不同，曲線開口方向不同F(xiàn)sFs0Fs0Fs0Fs0M由：EDxCxxMDCxxFs(xxM+=+=221)()d)(d求出令0)d)(d=xFs(xxM各種形式荷載作用下的剪力、彎矩圖CC尖角突變PC無變化突變mFs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0突變

12、1.先利用計(jì)算法則計(jì)算分段點(diǎn)（控制點(diǎn)）FS、M值；2.利用微分關(guān)系判斷并畫出分段點(diǎn)之間的FS、M圖。 實(shí)例：利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖例六 外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁的FS-M圖。解： 1、求支反力2、判斷各段FS、M圖形狀：CA和DB段：Fs=0，F(xiàn)s圖為水平線， M圖為斜直線。AD段：Fs0， Fs 圖為向下斜直線， M圖為上凸拋物線。DABC3、先確定各分段點(diǎn)的FS 、M值，用相應(yīng)形狀的線條連接。Fs+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.412.2_+FAFB3例Fs例一般作剪力圖時(shí)，從左往右，隨力的方向走。Fs例A端約束力=PABB端約束力=0Fs例PP

13、Fs例Fs例Fs例Fs例Fs例綜合應(yīng)用題4m4m4m3mABCDEMq外伸梁解：一、求支反力二、作剪力圖Fs7331kNqRFskNRFsACACAA347:=-=-+斜直線段kNPqRFskNPqRFsCDADAC3814:11-=-=-=+斜直線段4m4m4m3mABCDEMqFs7313BD：水平直線BE：水平直線2三、作彎矩圖M2020.516x mkNFsB3-=-kNPFsB22=+)mqPRxPqxRxFs(CDAA50:11=-=-=令拋物線4m4m4m3mABCDEMqFs73132M2020.51666xABC Dx 例 繪制剛架內(nèi)力圖解：一）求支反力：Fs=1kN/mAB

14、8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB二）分析內(nèi)力：1）BC段：（0 x13）8kNRAYFs=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kN1kNRBx1FN12）DC段：（0 x23）分段列出EC段:（0 x22）X2RB =5kN3531)(5)12222N2-=x-=-=-=-=xxRxMkNRxFs(kNFBB)2xFs()1xFs(kNRFB5N1-=-=軸力N2F剪力彎矩Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBED段:（2x23）X2X33）AD段：（0 x34）RB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kN13331)2(

15、8)(58);122222N2+-=x-=+-=-=xxxRxMkNRxFs(FBB23323323333N321321)(31)3()3xxFsxxRxMxxFsxRxFs(kNRFAxAxAy-=-=-=-=-=-=-=)3xFs(N3FFs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC1）軸力圖三、作內(nèi)力圖5kN1kN3kNkNFADkNFDCkNFBC3:1:5:N3N2N1-=-=-=桿桿桿Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2）剪力圖:用簡(jiǎn)易法：取控制點(diǎn)1kNBC段：取一點(diǎn)（水平線）DC段：取兩點(diǎn)（l）5kN

16、3kNDA段：取兩點(diǎn)（斜直線）1kN3kNRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kNFs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3）彎矩圖用簡(jiǎn)易法：取控制點(diǎn)BC段：取兩點(diǎn)（斜直線）DC段：取兩點(diǎn)（水平線）DA段：取三點(diǎn)（拋物線）ABDEC0kNm3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3mABDEC1kN5kN3kN1kN3kN4kNmRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kNABDEC1kN5kN3kN1kN3kNABDECABDEC0kNm3kNm3kNm4.5kNm7kNm4kNm3m5kN1kN3kN當(dāng)變形為微小時(shí)，可采用變形前尺寸

17、進(jìn)行計(jì)算。疊加原理：當(dāng)梁在各項(xiàng)荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨(dú)作用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。疊加法作彎矩圖： 設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷載q與端部力矩MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩圖疊加得到。即：按疊加原理作彎矩圖BMBAqMAlB+ 注意：這里所說的彎矩疊加，是縱坐標(biāo)的疊加而不是指圖形的拚合。圖中的縱坐標(biāo)都是垂直于桿軸線AB的。 （1）選定外力的不連續(xù)點(diǎn)(如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)等)為控制截面，求出控制截面的彎矩值。 （2）分段畫彎矩圖。當(dāng)控制截面之間無荷載時(shí)，該段彎矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面之間有荷載時(shí)，用疊加法作該段的彎矩圖。 例 作圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。利用內(nèi)力圖的特性和彎矩圖疊加法，將梁彎矩圖的一般過程歸納如下：2FCl/2ABFl/2l/2M+Fl