1、總結(jié)高等代數(shù)多項(xiàng)式線性代數(shù)矩陣向量方程組計(jì)算多項(xiàng)式一元多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式2 基本概念：次數(shù)：最基本的概念和工具整除：多項(xiàng)式之間最基本的關(guān)系帶余除法：最基本的算法，判斷整除.最大公因式：描述多項(xiàng)式之間關(guān)系的復(fù)雜程度互素：多項(xiàng)式之間關(guān)系最簡單的情形既約多項(xiàng)式：最基本的多項(xiàng)式根：最重要的概念和工具一元多項(xiàng)式3 重要結(jié)論： 帶余除法定理對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)和非零多項(xiàng)式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意兩個(gè)不全為0的多項(xiàng)式都有最大公因式，且對(duì)于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v

2、(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4 因式分解唯一定理 次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都可分解成有限個(gè)既約多項(xiàng)式之積，且不計(jì)因子次序和常數(shù)因子倍時(shí)，分解唯一.標(biāo)準(zhǔn)分解定理 每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是非零常數(shù), p1,pt, 是互不相同的首一既約多項(xiàng)式, n1,nt是正整數(shù). 進(jìn)一步,a, p1,pt,n1,nt由f唯一確定.重因式 f無重因式當(dāng)且僅當(dāng)f與其導(dǎo)式互素.5代數(shù)學(xué)基本定理：下列陳述等價(jià)，復(fù)數(shù)域上次數(shù)1的多項(xiàng)式總有根復(fù)數(shù)域上的n次多項(xiàng)式恰有n個(gè)根復(fù)數(shù)域上的既約多項(xiàng)

3、式恰為一次式復(fù)數(shù)域上次數(shù)1的多項(xiàng)式可分解成一次式之積.實(shí)數(shù)域上的次數(shù)1的既約多項(xiàng)式只有無實(shí)根的二次式實(shí)數(shù)域上次數(shù)1的多項(xiàng)式可分解成一次式和二次式之積6 實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解定理 在實(shí)數(shù)域上，每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是f的常數(shù)項(xiàng), x1,xt 是f全不互不相同的根, p1,pt是互異、首一、無實(shí)根的二次式. 復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解定理 在復(fù)數(shù)域上，每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是f的常數(shù)項(xiàng), x1,xt 是f全部互不相同的根, n1,nt分別是這些根的重?cái)?shù).7 多項(xiàng)式作為函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式相等(即對(duì)應(yīng)系數(shù)相同)它們作為函數(shù)相等(即在每點(diǎn)的函數(shù)值相等)它們?cè)趉+1

4、個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等，這里k是它們次數(shù)的最大者.設(shè)f(x)anxn+.+a1x+a0，若f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值為0，則f(x)恒等于0.8 Eisenstein判別法： 設(shè) 是整系數(shù)多項(xiàng)式，若有素?cái)?shù)p使得 則f(x)是有理數(shù)域上的既約多項(xiàng)式. 有理根：有理根的分母整除首項(xiàng)系數(shù)，分子整除常數(shù)項(xiàng)9 重要結(jié)論 命題1.8.1 若多項(xiàng)式的值全為0，則該多項(xiàng)式必為0. 命題1.8.2 每個(gè)n次多項(xiàng)式f均可唯一地表示成齊次多項(xiàng)式之和 ，fn0，且其中fi是0或i次齊次多項(xiàng)式，0in，fi稱為f的i次齊次分量. 基本概念：次數(shù)、齊次分量、字典序、首項(xiàng)、對(duì)稱多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理 每個(gè)對(duì)稱多項(xiàng)式

5、，都可唯一地表示成初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式.10矩陣運(yùn)算行列式初等變換和標(biāo)準(zhǔn)形特殊矩陣11運(yùn)算及其關(guān)系轉(zhuǎn)置取逆伴隨行列式秩數(shù)加法(A+B)T=AT+BTr(A+B)r(A)+r(B)數(shù)乘(kA)T= k AT(kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A) (k0)乘 法(AB)T= BT AT(AB) 1= B1 A1(AB)*= B*A*|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A), r(B)轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT) 1=(A1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆(A1) 1=A(A1)*(A*)1|A1

6、|=|A|1伴隨(A*)*=|A|n2A*|A*|=|A|n1 n, 若r(A)=n r(A*)= 1, 若r(A)=n-1 0, 若r(A)n-1其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E當(dāng)A可逆時(shí)，A*|A|A1定義性質(zhì)若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)12轉(zhuǎn)置取逆伴隨加法(A+B)T=AT+BT數(shù)乘(kA)T= k AT(kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*乘法(AB)T= BT AT(AB) 1= B1 A1(AB)*= B*A*轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT) 1=(A1)T(AT)*=(A*)T取逆(A1) 1=A(A1)*(A*)1伴隨(

7、A*)*=|A|n2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I當(dāng)A可逆時(shí)，A*|A|A113行列式秩數(shù)加法r(A+B)r(A)+r(B)數(shù)乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A) (k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A), r(B)轉(zhuǎn)置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A1|=|A|1伴隨|A*|=|A|n1 n, 若r(A)=n r(A*)= 1, 若r(A)=n1 0, 若r(A)n1 其它定義性質(zhì)若P, Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)14性質(zhì)公式備注轉(zhuǎn)置不變性|AT| = |A|行列地位平等反交換性|.|

8、= |.|換法變換交錯(cuò)性|.| = 0齊性|.k.| = k|.|倍法變換統(tǒng)稱線性加性|.+.| = |.| + |.|倍加不變性|.+k.| = |.|消法變換按第k行第k列展開 |aij| = ak1Ak1+aknAkn = a1kA1k+ankAnkaj1Ak1+ajnAkn = a1jA1k+anjAnk =jk|aij| Laplace定理分塊三角矩陣的行列式Cauchy-Binet 公式Vandermonde行列式定義 性質(zhì)；15Laplace定理 (按第i1,.,ik行展開)；分塊三角形行列式16Cauchy-Binet公式 設(shè)U是mn矩陣, V是nm矩陣, mn, 則1718初

9、等變換行變換列變換換法變換倍法變換消法變換對(duì)單位矩陣做一次初等變換對(duì)A做一次行變換 = 用相應(yīng)的初等矩陣左乘以A對(duì)A做一次列變換 = 用相應(yīng)的初等矩陣右乘以A19 對(duì)于mn矩陣A，B下列條件等價(jià)AB，即A可由初等變換化成B有可逆矩陣P,Q使得PAQ=B秩A=秩BA，B的標(biāo)準(zhǔn)型相同 A,B行等價(jià)有可逆矩陣P使得A=PB 每個(gè)矩陣都行等價(jià)于唯一一個(gè)RREF矩陣 A,B等價(jià)有可逆矩陣P,Q使得A=PBQ 每個(gè)秩數(shù)為r的矩陣都等價(jià)于矩陣等價(jià)20可逆矩陣vs列滿秩矩陣對(duì)于n階矩陣A,下列條件等價(jià)A是可逆矩陣|A|0秩A=n有B使得AB=I或BA=IA是有限個(gè)初等矩陣之積A(行或列)等價(jià)于IA的列(行)向

10、量組線性無關(guān)方程組Ax=0沒有非零解對(duì)任意b,Ax=b總有解對(duì)某個(gè)b,Ax=b有唯一解A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C)對(duì)于mr矩陣G,下列條件等價(jià)G是列滿秩矩陣,G有一個(gè)r階的非零子式秩G=列數(shù)G有左逆,即有K使得KG=I有矩陣H使得(G, H)可逆G行等價(jià)于G的列向量組線性無關(guān)方程組Gx=0沒有非零解對(duì)任意b,若Gx=b有解則唯一對(duì)某個(gè)b,Gx=b有唯一解G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)21設(shè)A的秩數(shù)為r, 則A有如下分解 ,其中P,Q為可逆矩陣 A=PE,其中P可逆,E是秩數(shù)為r的RREFA=GH,其中G列滿秩,H行滿秩,且秩數(shù)都是r (滿秩分解)矩陣分解

11、22分塊矩陣的初等變換和Schur公式把初等變換和初等矩陣的思想用到分塊矩陣Schur公式 設(shè)A可逆 兩種常用方法適用例子: 習(xí)題3.7.5; 3.7.911:232.正則化方法證明當(dāng)A可逆時(shí)結(jié)論成立 考慮xI+A,有無窮多個(gè)x使得該矩陣可逆 將要證明的結(jié)論歸結(jié)為多項(xiàng)式的相等 若兩個(gè)多項(xiàng)式在無窮多個(gè)點(diǎn)處的值相同,則這兩個(gè)多項(xiàng)式在任意點(diǎn)的值相等,特別地,取x=0.適用例子: 習(xí)題3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:24特殊矩陣三角 正規(guī) 可逆對(duì)合 Hermite 反Hermite 酉矩陣 冪等 冪零 對(duì)稱 反對(duì)稱 正交 對(duì)角 純量 25向量線性關(guān)系線性相關(guān)線性無關(guān)線性表示等價(jià)極大無關(guān)組秩數(shù)

12、26線性表示： 列向量組1,.,r可由1,.,s線性表示當(dāng)且僅當(dāng)有矩陣C使得(1,.,r)=(1,.,s)C. 進(jìn)一步，C的第k列恰為k的表示系數(shù) 線性表示有傳遞性 被表示者的秩數(shù)表示者的秩數(shù)向量組等價(jià)：對(duì)于向量組S，T，下列條件等價(jià)S和T等價(jià)，即S,T可以互相表示S,T的極大無關(guān)組等價(jià)S,T的秩數(shù)相等，且其中之一可由另一表示27線性相關(guān)與線性表示：1,.,r線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可由其余的線性表示若,1,.,r線性相關(guān),而1,.,r線性無關(guān),則可由1,.,r線性表示,且表法唯一線性無關(guān)：對(duì)于向量組1,.,r下列條件等價(jià) 1,.,r線性無關(guān) 當(dāng)c1,.,cr不全為0時(shí)，必有c11+.+crr

13、0 當(dāng)c11+.+crr0時(shí)，必有c1.cr0 1,.,r的秩數(shù)等于r(1,.,r)是列滿秩矩陣28極大無關(guān)組與秩數(shù)：1,.,rS是S的一個(gè)極大無關(guān)組當(dāng)且僅當(dāng)1,.,r線性無關(guān)S的每個(gè)向量都可由1,.,r線性表示秩S極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)若秩Sr,則任何r個(gè)無關(guān)的向量都是極大無關(guān)組矩陣的秩數(shù)行向量組的秩數(shù)列向量組的秩數(shù) 向量組向量空間解空間極大無關(guān)組基底基礎(chǔ)解系秩數(shù)維數(shù)n r29向量空間向量空間：加法和數(shù)乘封閉的向量集合基底：向量空間的極大無關(guān)組維數(shù)：向量空間的秩數(shù)行空間：矩陣的行向量組張成的向量空間列空間：矩陣的列向量組張成的向量空間行空間與列向量的維數(shù)都等于矩陣的秩數(shù)對(duì)于矩陣mn矩陣A，B

14、，下列條件等價(jià)A,B行等價(jià)A,B的行空間相同A,B的行向量組等價(jià)A,B的列向量組線性關(guān)系一致Ax=0和Bx=0同解30線性方程組線性方程組的表示方程式：矩陣式：Ax=b, 其中A=(aij)mn, x=(xi)n1, b=(bi)m1向量式：x11+.+xnn=b, 其中i是xi的系數(shù)列31解的判定: 1. n元線性方程組Ax=b有解系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩數(shù)相等. 具體地，當(dāng)秩A秩(A b)時(shí)，方程組無解當(dāng)秩A秩(A b)n時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)秩A秩(A b)n時(shí)，方程組有無窮解2. 線性方程組有解常數(shù)列可由系數(shù)列線性表示. 此時(shí), 解恰為表示的系數(shù)32解法Cramer法則Gauss-Jord

15、an消元法：用行變換和列換法變換將增廣矩陣化成RREF寫出RREF方程組取每個(gè)方程的第一個(gè)變量為主變量，其余的為自由變量，并解出主變量寫出參數(shù)解或通解33解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組Ax=0：解空間：解的集合基礎(chǔ)解系：解空間的基底通解：設(shè)1,s是一個(gè)基礎(chǔ)解系,則通解為=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常數(shù)解空間的維數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)系數(shù)矩陣的秩數(shù)設(shè)秩A=r,則Ax=0的任何n-r個(gè)無關(guān)的解都是基礎(chǔ)解系34一般線性方程組Ax=b：Axb和Ax=0的解的關(guān)系：Axb的兩個(gè)解之差是Ax=0的解Axb的解與Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的線性組合是設(shè)Sb和S0分別表示Axb和Ax=0的解集

16、合，則SbS0+，Sb通解：設(shè)1,s是一個(gè)基礎(chǔ)解系,是Ax=b的一個(gè)解, 則通解為=c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常數(shù)Ax=0的解，當(dāng)系數(shù)和0時(shí)；Ax=b的解，當(dāng)系數(shù)和1時(shí).35多項(xiàng)式的計(jì)算帶余除法求最大公因式(輾轉(zhuǎn)相除法)求有理根：有理根的分母整除首項(xiàng)系數(shù)，分子整除常數(shù)項(xiàng)既約性判別：Eisenstein判別法重因式判別特殊多項(xiàng)式的因式分解用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示對(duì)稱多項(xiàng)式計(jì)算36矩陣計(jì)算行列式：化三角形；展開+遞推求逆矩陣：行變換；伴隨求秩數(shù)：初等變換；定義37方程組的計(jì)算求基礎(chǔ)解系：Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法)已知秩Ar，則任何r個(gè)無關(guān)解都是基礎(chǔ)解系求通解：Gauss-Jordan消元法