1、81 概 述82 83 卡氏定理84 用能量法解超靜定系統(tǒng)85 一、外力功彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形的過(guò)程中，荷載將在相應(yīng)的位移上做功，稱(chēng)其為外力功 W.81 概 述二、變形能彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形的過(guò)程中，彈性體的內(nèi)部所儲(chǔ)存的能量，稱(chēng)為變形能 U. 也稱(chēng)為應(yīng)變能。三、功能原理若施加的為靜荷載，則儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)的變形能，在數(shù)值上應(yīng)等于外力所做的功，即U = W 利用功能原理求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力等問(wèn)題 的方法統(tǒng)稱(chēng)為能量法。四、能量法 例如，圖中AB和AC桿的直徑分別是d1=12 mm,d2=15 mm，彈性模量均為E = 210 GPa。試求A點(diǎn)在鉛垂方向的位移。x45o30oyA

2、( b )F1A45o30o2Dl1ADl2 DAy( c ) 若用解析法求解時(shí)，必須利用圖c列出變形的幾何關(guān)系，計(jì)算比較麻煩，用能量法求就很簡(jiǎn)單。 能量法的應(yīng)用很廣，也是有限元法求解固體力學(xué)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。有專(zhuān)門(mén)著作，例如胡海昌著彈性力學(xué)的變分原理及應(yīng)用。本章僅研究能量法中常用的一些原理和應(yīng)用。(a) 軸向拉（壓）桿 應(yīng)變能 (變形能）一、 線彈性體 1. 基本變形形式82 應(yīng)變能 余能 利用應(yīng)變能 在數(shù)值上等于外力功W，可得應(yīng)變能密度 uO (b) 扭轉(zhuǎn)(c) 彎曲純彎曲 橫力彎曲彎矩 M 隨橫截面位置變化而變化dx 微段的微變形能dU (忽略剪力的變形能）整個(gè)桿長(zhǎng) 上的變形能AlP 綜合

3、以上， 可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫(xiě)成式中，F(xiàn) 為廣義力，可以代表一個(gè)力,一個(gè)力偶,一對(duì)力或一對(duì)力偶等。D為廣義位移，可以代表一個(gè)線位移,一個(gè)角位移,一對(duì)線位移或一對(duì)角位移等。2. 構(gòu)件上有一組廣義力共同作用令F=F1 ,yC=D1 ,Me=F2 , qA= D2 ,則（ ）（ ） 例CyCFEIABMel / 2l / 2qA, Fi 為廣義力，Di 為Fi 的作用點(diǎn)沿Fi 方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。 3. 組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）M(x) 只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角 小變形時(shí)不計(jì)FS 產(chǎn)生的應(yīng)變能，N (x) 只產(chǎn)生軸向線位移Mn(x) 只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角 有 n 個(gè)廣義力同時(shí)作用時(shí)對(duì)于d

4、x 微段， N(x) , Mn(x) , M(x) 均為外力。略去高階微量后，dx段的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為(a) 由于應(yīng)變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次關(guān)系，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。 4. 應(yīng)變能的特點(diǎn):abEAF2F1例EAF1abEAF2ab而(b) 小變形時(shí)，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。F1F2MeMeF2F1(c) 應(yīng)變能的大小與加載歷史無(wú)關(guān),只與最終狀態(tài)有關(guān).a. 0Fb. 0F/20F(d) 應(yīng)變能的大小與加載順序無(wú)關(guān)（能量守恒） F 和Me 同時(shí)作用在梁上，并按

5、同一比例由零逐漸增加到最終值簡(jiǎn)單加載。 在線性彈性范圍時(shí)，力和位移成正比，位移也由零逐漸增加到最終值。上圖中CyCFEIABMel / 2l / 2qA,(a) 先加F, 再加Me (圖 b，c)式中， 為力F在由Me產(chǎn)生的C點(diǎn)處的撓度上作功，所以無(wú) 系數(shù) 。(b)CyC,FFEIABl / 2l / 2qA,F,cFEIABMel / 2l / 2yC,F (c),還可以先加Me ，再加F，得到的應(yīng)變能 和以上的值相同。 因?yàn)槭菑椥泽w，所以應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于外力功，即 ，但必須注意 以及 的非線性關(guān)系，不能再用線彈性體的公式計(jì)算外力功。1. 軸向拉伸與壓縮(2) 非線性彈性體應(yīng)變能為（81

6、）（FD 曲線和D軸之間的面積）應(yīng)變能密度為（se 曲線和e 軸之間的面積）（82）（1）（8 - 1）和（8 - 2）式中，分別是以D和e 為自變量， ， 。所以 為位移狀態(tài)的函數(shù)。（2）因?yàn)?， 為非線性關(guān)系，（8 -1）和（8 - 2） 式積分后得不到1/2的系數(shù)，只能根據(jù) 或 的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行積分。 應(yīng)變能密度 式中， 為扭轉(zhuǎn)力偶矩， 為扭轉(zhuǎn)角， 為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力， 為 切應(yīng)變。注意：2. 扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能式中， 為外力偶矩， 為彎曲轉(zhuǎn)角， 為正應(yīng)力， 為線應(yīng)變。應(yīng)變能密度 應(yīng)變能和應(yīng)變能密度之間的關(guān)系為式中，V 為體積。3. 梁應(yīng)變能 例 83 原為水平位置的桿系如圖a所示，試計(jì)算在荷載 作用下

7、的應(yīng)變能。兩桿的彈性模量均為 ,橫截面面積均為 。 解：首先分析力F 和位移D之間的關(guān)系，求出F = f (D)的表達(dá)式。設(shè)兩桿的軸力均為N ，兩桿的伸長(zhǎng)量和A點(diǎn)的位移分別為 （1）(a)將（1）式代入上式得由結(jié)點(diǎn)A的平衡方程，得 (2) 為小角度，(4)(3)由于所以將（5）式代入（2）式，得或?qū)懗桑?）F 和D的關(guān)系如圖b所示。（5）（6）將（4）式代入（3）式，得 由于力F 引起的變形 ，對(duì) 產(chǎn)生影響，形成F 和D的非線性關(guān)系，而應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)詾榫€性關(guān)系幾何非線 性。當(dāng)材料為非線性彈性體時(shí)，即應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性時(shí) 物理非線性。桿的應(yīng)變能為注意 . 余能 圖 a為非線性體彈性體的受拉桿，其F

8、 D和se關(guān)系如圖b,c 所示。（1）余功的定義為（86） 其大小為曲面OF1a的面積如圖d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量綱，且Wc 為矩形OF1aD1 的面積與曲面OaD1 的面積（W）之差（圖d）,故稱(chēng)Wc 為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無(wú)物理概念，即沒(méi)有什么力作的功為Wc 。FF1WcaWD1Do(d) 余能密度為 （88）(87)和（88）式，分別以 F 和 s 為自變量，D= f (F ),e =f (s )。所以Uc= f (F ) 為受力狀態(tài)的函數(shù)。UcUF1 FD D1 a(e)o（3）線彈性體（圖e） U 和 Uc 數(shù)值相等，但概念和計(jì)算方法不同，即 U = f (

9、D) , Uc = f (F )。仿照 , 余能為（87）（2）余能（89）余能為 例 85 圖a中兩桿的長(zhǎng)度均為l,橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時(shí)的 s e 關(guān)系如圖b 所示。求結(jié)構(gòu)的余能。 解：該題為物理非線性問(wèn)題，需用 求 Uc。 由結(jié)點(diǎn)C的平衡方程，得二桿的軸力為應(yīng)力為余能密度為結(jié)構(gòu)的余能為得（n1）由 圖示梁的材料為非線性彈性體，F(xiàn)i 為廣義力，Di為廣義位移。各力同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡(jiǎn)單加載）。. 卡氏第一定理（810） 設(shè)各力和相應(yīng)位移的瞬時(shí)值分別為fi ,d i，各力在其相應(yīng)的位移上做功,并注意到材料為非線性彈性體，梁的應(yīng)變能為83 卡氏定理為

10、位移狀態(tài)函數(shù)。 假設(shè)與第 i個(gè)荷載Fi相應(yīng)的位移Di有一微小位移增量dDi， 而與其余荷載相應(yīng)的位移,以及各荷載均保持不變。外力功和 應(yīng)變能的增量分別為（ dDi不是由Fi產(chǎn)生的， Fi dDi為常力做的功 ） （a）(b)式中， 為應(yīng)變能對(duì)位移 的變化率。 （811）式為卡氏第一定理。它說(shuō)明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上與某一荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。以上推導(dǎo)中并沒(méi)有涉及到梁的具體性質(zhì)，故（811）適用于一切受力狀態(tài)的彈性體。對(duì)于線彈性體也必須把U寫(xiě)成給定位移的函數(shù)形式。（811）得令 例 88 圖a所示結(jié)構(gòu)中，AB,BC 桿中的橫截面面積均為A，彈性模量均為E。兩桿處于線彈性

11、范圍內(nèi)。試用卡氏第一定理，求 B點(diǎn)的水平位移D1和鉛垂位移D2 。 解：卡氏第一定理要求把應(yīng)變能寫(xiě)成位移D1和D2的函數(shù)，D1和D2是由AB,BC桿的變形量dAB,dBC所引起的。首先分析dAB,dBC和D1和D2的幾何關(guān)系。dAB=D1 ，d BC=1cos45 =設(shè)B點(diǎn)只發(fā)生鉛垂位移D2（圖 c），由圖可見(jiàn) 設(shè)B點(diǎn)只發(fā)生水平位移D1（圖 b），由圖可見(jiàn) D1和D2同時(shí)發(fā)生時(shí)，則有, （1）,由于是線彈性問(wèn)題，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為（2）（3）（4）聯(lián)立求解（3）,（4），得可以驗(yàn)證（3）,（4）式相當(dāng)于平衡方程。（）,（）由卡氏第一定理，得. 卡氏第二定理 圖示為非線性彈性桿，F(xiàn)i為廣義力，Di為

12、廣義位移。各力按簡(jiǎn)單加載方式作用在梁上。設(shè)加載過(guò)程中各位移和相應(yīng)力的瞬時(shí)值分別為di， fi。梁的余能為 （812）表明(1) 余能定理令上式稱(chēng)為余能定理。它說(shuō)明，彈性結(jié)構(gòu)的余能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上某一廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，就等于此廣義力相對(duì)應(yīng)的廣義位移。 (813)得 設(shè)第 i個(gè)力Fi有一個(gè)增量dFi，其余各力均保持不變，各位移均不變。余功和余能的改變量分別是余能定理可用于求解非線性彈性結(jié)構(gòu)與Fi相應(yīng)的位移。 例 89 圖a中兩桿的長(zhǎng)度均為l，橫截面面積均為A，材料在單軸拉伸時(shí)的s e 的關(guān)系如圖b所示。試用余能定理求結(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移D1。 解：在例85中，已求出結(jié)構(gòu)的余能為由余能定理得 設(shè)BC,CD 桿

13、的伸長(zhǎng)量為d，容易驗(yàn)上式的 ，即為變形的幾何關(guān)系。由平衡方程得兩桿的伸長(zhǎng)量為則BC,CD 桿橫截面上的的應(yīng)力為故(2) 卡氏第一定理和余能定理的比較 卡氏第一定理 余能定理DiDi+dDi，其它位移均不變，所有的力均不變。FiFi+dFi，其它力均不變，所有的位移均不變。 卡氏第一定理 余能定理 續(xù)表(平衡方程)（變形的幾何關(guān)系）適用于非線性和線性彈性體適用于非線性和線性彈性體(3) 卡氏第二定理 當(dāng)結(jié)構(gòu)為線彈性體時(shí)，由于力F和位移D成正比，Uc在數(shù)值上等于應(yīng)變能U（如圖）。若把 用力表示，即（813）式可改寫(xiě)成（814）卡氏第二定理是余能定理在線彈性情況下的特殊情況。僅適用于線彈性體，它將是

14、研究的重點(diǎn)。UcF1FD D1 a(e) O上式稱(chēng)為卡氏第二定理。它說(shuō)明，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上某一廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，就等于此廣義力相對(duì)應(yīng)的廣義移。注意:組合變形（不計(jì)剪力的影響）時(shí) 也可以寫(xiě)成用該式計(jì)算時(shí)，可減少計(jì)算工作量。 例 810 圖示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求梁A端的撓度yA。 解：因?yàn)锳截面處無(wú)與yA相應(yīng)的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虛加一個(gè)與yA相應(yīng)的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0 , 即 梁的彎矩方程以及對(duì)F的偏導(dǎo)數(shù)分別為 利用卡氏第二定理，得（和假設(shè)的F 的指向一致）這種虛加F力的方法，也稱(chēng)為附

15、加力法。()這是因?yàn)?為n個(gè)獨(dú)立廣義力的二次齊次式, 其中 也可以作為一個(gè)廣義力。 例 811 圖 a所示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI。用卡氏第二定理求中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角 。 不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。 在中間鉸B兩側(cè)截面處各加一個(gè)外力偶矩 MB ，并求 出在一對(duì)外力偶 MB 及 q 共同作用下梁的支反力（圖 b）。解：B 截面兩側(cè)的相對(duì)轉(zhuǎn)角，就是與一對(duì)外力偶 MB 相應(yīng)的相對(duì)角位位移，即（0 1) ，橫截面面積均為A，1, 2兩桿長(zhǎng)度為 l。用余能定理求各桿的軸力。 解：以鉸鏈 D 的支反力X 為多余未知力，基本靜定系如圖b 所示，F(xiàn),X 看作基本靜定系上獨(dú)立的外力，所以 Uc =

16、 Uc (F,X ) （不能含有其它未知力）因?yàn)殂q鏈 D 處沿鉛垂方向的位移為零，應(yīng)有由該式求出X 后，再利用平衡方程求各桿的軸力。(1)（軸力均用F 和 X 表示）由平衡方程得各桿的軸力分別為各桿的應(yīng)力分別為(2)(3)由 得結(jié)構(gòu)的余能為(4)三桿的余能密度分別為由 ，得（4）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示變形的幾何關(guān)系。將X 值代入（1），得 以力為基本未知量解超靜定問(wèn)題的方法，稱(chēng)為力法。. 卡氏第二定理（ ） 用卡氏第二定理來(lái)解超靜定問(wèn)題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載 及選定的多余未知力 作為基本靜定系上獨(dú)立的外力，應(yīng)變能 只能為荷載及選定的多余未知力的函數(shù)，即變形幾何關(guān)系

17、為 ， Di 為和 的相應(yīng)位移，它是和約束情況有關(guān)的已知量。 例 剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理求支反力。CABql l(a) 解：該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力X 為多余未知力，基本靜定系如圖b 所示。由于 ,但是在 中，出現(xiàn) (Ve 也將出現(xiàn) )，必須把CABql l(a) l(b)yFCxxXFAxFAyCABql 用 q , X 表示。 由 ，得CB, AB段的彎矩方程及其對(duì)X 的偏導(dǎo)數(shù)分別為 ， 由 ，得 l(b)yFCxxXFAxFAyCABql解得 （）和圖示方向相反。（）（）（）由平衡條件得 l(b)yFCxxXFAxFAyCAB

18、ql 例817 半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理求對(duì)稱(chēng)截面上的內(nèi)力。 解：沿半圓環(huán)的對(duì)稱(chēng)截面處截開(kāi)，取兩個(gè)1/4圓環(huán)為基本靜定系（圖b)，多余未知力為軸力X1, 彎矩X2, 剪力X3。該題為三次超靜定。(a) 但由于結(jié)構(gòu)與荷載均是對(duì)稱(chēng)的，內(nèi)力也應(yīng)該是對(duì)稱(chēng)的，但X3是反對(duì)稱(chēng)的，故X30，問(wèn)題簡(jiǎn)化為二次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為F，X1，X2的函數(shù)，即與X1，X2 相應(yīng)的位移條件分別為兩截面的相對(duì)線位移和相對(duì)角位移為零，即(b)彎矩方程及其對(duì)X1，X2的偏導(dǎo)數(shù)分別為(c)注意到基本靜定系為兩個(gè)1/4圓環(huán)，(b)式成為(d)(e)將 (c) 式代入 (d) 和 (

19、e) 式，可解得. 虛位移原理（1）剛體虛位移 滿(mǎn)足約束條件的假想的任意微小位移。 虛位移原理 作用于剛體上的力對(duì)于任何虛位移所作的總功等于零（平衡的必要和充分條件）。 85 虛位移原理及單位力法（2）可變形固體 滿(mǎn)足約束條件和變形連續(xù)條件的假想的任意微小位移。 外力作用下，物體產(chǎn)生變形的同時(shí)產(chǎn)生內(nèi)力虛位移 虛位移原理外力和內(nèi)力對(duì)于虛位移所作的總虛功等于零（平衡的充要條件），即We （外力虛功） Wi（內(nèi)力虛功）0 （815）1. 梁的虛位移原理 圖a所示的位移為由荷載產(chǎn)生的實(shí)際位移，簡(jiǎn)稱(chēng)實(shí)位移。荷載對(duì)于其相應(yīng)位移上所作的功為實(shí)功。圖b所示的位移為梁的虛位移，它是滿(mǎn)足約束條件和變形連續(xù)條件的假

20、想的任意微小位移，與梁上的荷載及其內(nèi)力完全無(wú)關(guān)。(a)x 實(shí)際位移實(shí)際撓曲線lxdxy(b)x 虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy 梁上廣義力 的作用點(diǎn)沿其作用方向的虛位移分別為外力對(duì)于虛位移所作的總虛功為 (a)(a) 外力虛功(b)x 虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy(b) 內(nèi)力虛功 取梁的dx微段進(jìn)行分析。圖c為微段的原始位置，其上面各力均由荷載產(chǎn)生，它們?yōu)榱旱膬?nèi)力，也是微段的外力。由于梁的虛位移，使微段位移至圖d 所示位置。微段的虛位移可分為兩部分：一為剛性體位移。 暫不計(jì)微段的變形，由于梁的其它部分的變形，而引起的微段的虛位移，微段由abcd 位置移至 。（圖d 的實(shí)線）(d )(b)x 虛位移虛

21、設(shè)撓曲線lxdxy二為變形虛位移。 由于微段本身的虛變形而引起的位移，使微段由 移到 （圖d的虛線）。變形虛位移包括由彎曲和剪切產(chǎn)生的兩部分，如圖(e)和圖(f)所示。(d )(b)x 虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy(b) M、 對(duì)于剛體虛位移要做虛功，但由剛體虛位移原理可知，所有外力對(duì)于微段的剛體虛位移所作的總虛功等于零。M、 對(duì)于變形虛位移（圖e,f），所做的虛功為(b)式為微段的外力虛功dWe ，設(shè)微段的內(nèi)力虛功為dWi。由變形固體的虛位移原理(3-15)，即 (c)梁的內(nèi)力虛功為 (d)將(a),(d)式代入（315）式，得梁的虛位移原理表達(dá)式為得即(8-16) 組合變形時(shí)，桿橫截面上的內(nèi)

22、力一般有彎矩M，剪力Q，軸力N及扭矩Mn。與軸力相應(yīng)的虛變形位移為沿軸力方向的線位移dd ，與扭矩相應(yīng)的虛變形位移為扭轉(zhuǎn)角 dj 。仿照梁的虛位移原理，可得組合變形時(shí)的虛位移原理表達(dá)式為 (8-17)2. 組合變形的虛位移原理 由于以上分析中沒(méi)有涉及材料的物理性質(zhì)，所以(3-17)式適用于彈性體和非彈性體問(wèn)題。式中Fi為廣義力，M , FS , FN , T是由荷載產(chǎn)生的內(nèi)力， 為廣義虛位移，dq , dl , dd , 為微段的變形虛位移。. 單位力法 (1) 因?yàn)橛珊奢d引起的位移，滿(mǎn)足約束條件和變形連續(xù)條件，且為微小位移，滿(mǎn)足可變形固體的虛位移條件。因此，可以把由荷載引起的實(shí)際位移D，作為

23、虛位移。由荷載引起的微段的變形位移dq , dl , dd , dj 作為變形虛位移。即以實(shí)際位移作為虛位移。 (2) 若要確定在荷載作用下桿件上某一截面沿某一指定方向的實(shí)際位移D，可在該處施加一個(gè)相應(yīng)的單位力，并以此作為單位荷載。即以虛設(shè)單位力作為荷載。由單位力引起的內(nèi)力記為 。（3）單位力所做的外力虛功為 We =1D單位力法的虛位移原理表達(dá)式為(3-18)該式同樣適用于彈性體和非彈性體問(wèn)題。桿件的內(nèi)力虛功為(3-19)于是(3-18)成為(3-20)式中 為由單位力引起的內(nèi)力， 為荷載引起的內(nèi)力。 為大于1的系數(shù)，見(jiàn)例 320。(4) 線彈性體由荷載引起的微段變形位移公式為 在C 截面處施加單位力（圖 b），由荷載及單位力引起的彎矩方程分別為 (0 x l ) (