1、第一章 矢量分析1.4 矢量場的環(huán)量和旋度1第一頁，共十七頁。主要內(nèi)容環(huán)量旋度斯托克斯定理學(xué)習(xí)目的掌握環(huán)量、旋度的物理意義了解環(huán)量、旋度的關(guān)系靈活運用斯托克斯定理求解矢量場2第二頁，共十七頁。（a）M1.4.1 矢量場的環(huán)量（環(huán)流）定義： 矢量場A沿空間有向閉合曲線l的積分稱為矢量場A的環(huán)量。 表達式：由圖(a)可見，環(huán)量取決于曲線l的繞行方向。（2）若 ，表示該矢量場為無旋場或保守場； 若 ，表示該矢量場為渦旋場。物理意義：（1）環(huán)量用來描述產(chǎn)生該矢量場的旋渦源。（a）旋渦源位于閉合曲線l包圍形成的曲面內(nèi)。M3第三頁，共十七頁。1.4.2 矢量場的旋度 如圖(b)過點P 作一微小曲面S，它的

2、邊界曲線記為l。 則此極限稱為矢量場 A 在P 點沿n方向的環(huán)量（面）密度或環(huán)量強度。該極限值與S的形狀無關(guān)，但與S的方向n有關(guān)。(b)1. 環(huán)量密度 若當(dāng)S 收縮至P 點附近時存在極限4第四頁，共十七頁。2. 旋度定義： 矢量場A在某給定點的旋度用rotA表示為大?。鹤畲蟮沫h(huán)量密度；方向：取得最大環(huán)量密度時的面元方向。旋度的物理意義： 矢量的旋度是描述矢量場A在各點處的旋渦源強度。5第五頁，共十七頁。在直角坐標(biāo)系下表達式：旋度與環(huán)量密度的關(guān)系為計算環(huán)量面密度的方法6第六頁，共十七頁。 旋度和散度的區(qū)別：（1）矢量場的旋度是矢量，散度是標(biāo)量。（2）旋度描述場中各點的旋渦源強度； 散度描述場中各

3、點的通量源強度。（3）旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的各方向上的變化 規(guī)律；散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。旋度的運算規(guī)則：7第七頁，共十七頁。1.4.3 斯托克斯定理表達式：式中S為閉合曲線l所包圍的曲面。物理含義： 矢量A沿任意閉合曲線l的環(huán)量等于以l為邊界的曲面S上旋度的面積分。8第八頁，共十七頁。 (c)斯托克斯定理的證明： 對于有限大面積S，可將其按如圖(c)方式進行分割，對每一小面積元有9第九頁，共十七頁。 【例1-11】求矢量 （c是常量）沿曲線 的環(huán)量?！窘狻浚呵€l是以（2，0）為圓心，R為 半徑的圓，故線元環(huán)量10第十頁，共十七頁。 方法二： 由斯托克斯定理得11第十一頁，共十七頁。 【例】用以下兩種方法求矢量場 在點 處沿方向 的環(huán)量面密度。 直接應(yīng)用環(huán)量面密度的計算公式； 作為旋度在該方向的投影。 【解】：12第十二頁，共十七頁。 矢量 的方向余弦為 矢量場為 由環(huán)量面密度公式 將點 代入上式： 13第十三頁，共十七頁。 在點 處旋度為 方向的單位矢量 在點 處沿 方向的環(huán)量面密度為：14第十四頁，共十七頁。內(nèi)容小結(jié) 主要概念： 主要定理：斯托克斯定理旋渦源環(huán)量旋度若環(huán)量（旋度）等于零，該矢量場為無旋場或保守場15第十五頁，共十七