1、數(shù)學(xué)教學(xué)課件1【課題】定積分的應(yīng)用的單元復(fù)習(xí)2(1) 圖中x為積分變量的陰影部分的面積微元為錯處: 窄條的近似高 在積分區(qū)間 -2,2內(nèi), 故 錯處: 中的面積微元 和 缺少對稱部分的面積故 (2) 圖中陰影部分的面積為 i)直角坐標系中圖形的面積 平面圖形面積計算法()xf()xf()yf()yjii)極坐標下平面圖形的面積 【糾錯導(dǎo)入復(fù)習(xí)】 指出下列作業(yè)中答案的錯誤之處,說明為什么,并糾正錯誤.、糾正作業(yè)錯誤3(3) 圖中陰影部分繞Y軸旋轉(zhuǎn)的體面積為 錯處: 的積分限故 錯處: 非平面曲線求弧長公式故 直角坐標曲線弧長公式 參數(shù)式曲線弧長公式極坐標曲線弧長公式 旋轉(zhuǎn)體體積 (4) 圖中星形

2、線在第一象限的全長為 33cossintaxtay=21,2a4、復(fù)習(xí)要求 以上作業(yè)的錯誤,分析其產(chǎn)生的原因,有的是計算公式運用不當造成的,但更主要的是未能在理解元素法的基礎(chǔ)上就予以運用而產(chǎn)生的.本課將通過解答學(xué)習(xí)疑難、系統(tǒng)回顧知識、鞏固重要方法、提高運用能力等方面的教學(xué)，發(fā)揮復(fù)習(xí)對知識進行深化、精煉和概括的作用,幫助同學(xué)們明確單元中主要知識間的內(nèi)在聯(lián)系,能營造出知識結(jié)構(gòu)；加深對定積分元素法的理解,明確什么條件下的量可以從具體問題表達為定積分, 并掌握把所求量表示為定積分的方法和步驟;學(xué)會建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻摵徒鉀Q定積分元素法的運用問題,能綜合運用相應(yīng)的知識將實際問題化為數(shù)學(xué)問題,通過元素法

3、寫出積分形式后進行計算.為此,提出幾點要求:1、對本章的復(fù)習(xí)不能僅停畄在對己學(xué)的知識溫習(xí)記憶一遍的要求上,而要去努力思考新知識是怎樣產(chǎn)生的?是如何展開的?其實質(zhì)是什么?怎樣應(yīng)用它?等.2、要通過討論歸納出定積分的應(yīng)用的知識結(jié)構(gòu), 把知識有機地串聯(lián)起來.在理解教材的基礎(chǔ)上，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，找出重點、關(guān)鍵,然后提煉概括,組成一個知識系統(tǒng),從而形成或發(fā)展擴大認知結(jié)構(gòu). 3、在復(fù)習(xí)過程中要增強元素法運用規(guī)律的總結(jié)和提高迅速計算的能力.5【營造單元的知識結(jié)構(gòu)】 前面幾節(jié)課我們已經(jīng)用定積分的元素法解決了許多問題,現(xiàn)在要問: 怎樣理解定積分的元素法？ 幾何量、物理量定積分的表示與元素法之間的知識聯(lián)系是

4、怎樣的？ 本單元知識結(jié)構(gòu)圖如何構(gòu)建? 如何正確地用定積分表達和計算一些幾何量、物理量呢?、元素法與定積分幾何意義之間知識聯(lián)系的回顧 定積分幾何意義 分析與說明定積分的元素法 6、定積分元素法的理解對定積分元素法的理解:(1)、元素法中的量I是可化為定積分的量,并且是在區(qū)間a ,b上變化的量.注:在I微小的局部上,微區(qū)間x ,x+dx中的dx其長度很短，幾乎為零.(3)、 運用元素法解決實際問題(如求量I)的關(guān)鍵是在I微小的局部上進行數(shù)量分析,尋找正確的元素表達式. 什么是定積分的元素法?(2)、上述所求量I,若在a ,b內(nèi)的任一小區(qū)間 上,用 “以直代曲、以不變代變”找到這個量I的微分 (即I

5、的元素表達式),則求I的問題可轉(zhuǎn)化為計算定積分定積分元素法的元素,是在微區(qū)間 上用“以直代曲、以不變代變”替換后得到的,這里的 與 相差一個比 高階的無窮小.積分號 實際是元素狀態(tài)下的加法器, 表示從a處的dI加到b處的dI. 設(shè)一積分變量x在區(qū)間a ,b 上變化，把區(qū)間a ,b分成n個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間 ,求出這小區(qū)間上所求量I 能近似地表示為a ,b上的一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f (x) 與 d x 的乘積，就把 f (x) d x 稱為量的元素,記作d I. 即d If (x )d x . 所求量的元素 f (x) d x 在a ,b 上作定積分得 這種方法通常叫積分元素法.7、具體

6、問題導(dǎo)致定積分的條件 具體問題的量I能用定積分表示,必須具備兩個特征: I是一個與其變量x的變化區(qū)間x ,x+dx有關(guān)的量. I對于區(qū)間a ,b具有可加性,即 由具體問題導(dǎo)致定積分的條件可知,除了曲邊梯形的面積以外，像一些比較復(fù)雜的平面圖形的面積、特殊的體積、平面弧長等幾何量和變力所做功、液體側(cè)壓力等物理量也具備這種特性，所以它們也都能用定積分來表示. 、可歸結(jié)為定積分計算的量I表示為定積分的方法和步驟 (即用元素法解題的程序)于是 從而有具體步驟是：（1）建立坐標系； （2）建立元素 （3）確定上、下限； （4）計算定積分。 ;在a ,b的任一子區(qū)間 上 寫出 8、幾何量、物理量的定積分表示

7、與元素法之間的知識聯(lián)系定積分的元素法幾何量、物理量的定積分表示 用具體問題導(dǎo)致定積分的條件判定用元素法解題的程序 6、單元知識結(jié)構(gòu)定積分幾何意義 分析與說明定積分的元素法 幾何應(yīng)用用具體問題導(dǎo)致定積分的條件判定表示為定積分的方法和步驟 物理應(yīng)用 ? 課后自己完成9（1）平面圖形面積的計算方法 (ii)極坐標下平面圖形的面積 （2）平面曲線弧長的計算公式 極坐標曲線 參數(shù)式曲線 直角坐標曲線 ()xf()xf()yf()yj(i)直角坐標系中圖形的面積【元素法的幾何應(yīng)用】 、基本內(nèi)容的回顧10(3)立體體積的計算方法 (i)平行截面面積為已知的立體體積 (ii) 旋轉(zhuǎn)體體積 a()xA11幾何應(yīng)

8、用平面圖形的面積 平面曲線的弧長 立體體積 直角坐標系中圖形面積的計算方法 極坐標下平面圖形面積的計算方法 直角坐標曲線弧長的計算公式參數(shù)式曲線弧長的計算公式 極坐標曲線弧長的計算公式平行截面面積為已知的立體體積的計算方法 旋轉(zhuǎn)體體積的計算方法 、計算方法系統(tǒng)表討論并構(gòu)建幾何應(yīng)用計算方法的系統(tǒng)表12為了計算方便 , 如何選擇積分變量和積分區(qū)間 ? 兩種解法進行對比,對積分變量和積分區(qū)間的選取有何新發(fā)現(xiàn) ?為了定出圖形所在范圍 ，應(yīng)先求兩拋物線的交點 . 分析與提示 :例 1 : 計算兩拋物線 所成的平面圖形的面積. 、幾何應(yīng)用舉例13例 1 的解答解法1 由 ,解之得兩曲線的交點為所以 S =

9、 解法2 取x為積分變量點評: 取為積分變量,積分要分成兩項之和,計算較繁. 積分變量選取得當,會使計算簡化. 取y為積分變量, 則面積微元為 則在 時, 在 時, 14【分析與提示】 本題是在極坐標系下給出的曲線,能用極坐標系下的求面積公式進行計算. 對極坐標系下給出的曲線,也可把它化為在直角坐標系下的曲線進行計算. 解法1 對極坐標系下給出的曲線直接用求面積公式進行計算.由 解之得r = 2, = 則 例 2:計算由曲線 和直線 所圍成的平面圖形的面積 .15例 2 解法2 :若 取y為積分變量,則 【點評】解法2計算簡便,若只會根據(jù)題中所給出極坐標系下的曲線方方程和極坐標系下求面積的公式

10、進行解答,就會棄簡就難. 選取能使計算較簡便的坐標系,對曲線方程進行互換, 能使定積分計算簡化. 在直角坐標系下,這兩曲線就是拋物線 x = 和直線 x = 1 ,其交點為 , . 先化極坐標系下的曲線方程為直角坐標系下的曲線方程,再進行計算. 16【元素法的物理應(yīng)用】 1、引力問題 例 3: 證明: 把質(zhì)量為m的物體從地球表面升高到h處所做的功是 分析 合理推算的方法也是一種證法.由題意可知本命題屬物理的引力問題.從物理學(xué)知道,質(zhì)量分別為M、m ,相距為r的兩質(zhì)點間的引力的大小為 ,其中 k為引力系數(shù),引力的方向沿著兩質(zhì)點的連線方向. 證: 因為質(zhì)量為m的物體與地球中心相距x時,引力為 .

11、由于引力是變力,而在微區(qū)間 上, 微引力近似為 . 故功元素為 , (功 = 力 距離) 距離x的范圍為 .則所做的功為 . 17分析與提示:由物理學(xué)知道,深入液體的物體的表面所受的壓力是隨液體深度不同而變化的.在液體深h處的壓強為 ( 為液體的密度).如一平板面積為A,水平地置入液體中深h處,則平板一側(cè)所受壓力為 .如果將平板垂直地插入液體中,由于深度不同處的壓強不相同,平板一側(cè)所受的壓力就不可用上述方法計算.但由于整個側(cè)立的平板所受的壓力對深度具有可加性,因此可用定積分計算. 2、液體靜壓力的問題 例 :三角形薄板鉛直地沉沒在水中,其底與水面平齊,且薄板的底長為a,高為h. (1) 計算薄

12、板的側(cè)壓力. (2) 若倒轉(zhuǎn)薄板頂點于水面,試問水對薄板的側(cè)壓力增大幾倍? (3) 若薄板沉入水中一部分,頂點朝下,底平行于水面,且在水面之下的距離為 ,試求此時的側(cè)壓力. 18例 4 的解答解: (1)建坐標系如圖(1)所示(設(shè):沿液體表面作y軸,x軸鉛直向下的坐標系) 取液深x為積分變量. 于是整個薄板的側(cè)壓力為 P =(2)倒轉(zhuǎn)薄板取坐標系如圖(2)所示. 由于 所以從而說明水對薄板的側(cè)壓力比(1)中的情形增大了一倍 .(3)薄板沉入水中時,取坐標系如圖(3)所示. 于是 P = yx(1)xy(2)由于 xy(3)X的變化區(qū)間為 0,h在0 ,h上任取一小區(qū)間 則在其上有 (由三角形的

13、相似性) 微面積為 .微壓力 (壓力=壓強 面積)為19 從本章的知識結(jié)構(gòu)可知, 在定積分的應(yīng)用中,經(jīng)常采用的是元素法,并且定積分的應(yīng)用中主要是元素法在幾何、物理方面的應(yīng)用.因此,要求正確理解定積分的元素法, 要求熟練掌握定積分元素法的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用.從具體問題導(dǎo)致定積分的條件可知,量I能用定積分表示,必須具備兩個特征:I是一個與其變量x變化區(qū)間 有關(guān)的量; I對于區(qū)間a ,b具有可加性,即 .定積分的元素法,其實質(zhì)是在微區(qū)間 上“以直代曲、以不變代變”,同時也揭示了定積分就是微分無限求和的這一本質(zhì).例3、例的點評:【歸納總結(jié)】 定積分在物理中的應(yīng)用還有: 變力沿直線所作的功、重心、轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)量等問題.解決這類問題的關(guān)鍵是要把實際問題化為數(shù)學(xué)問題,即由相應(yīng)的物理