1、-PAGE . z.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)系綜合課程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)題目：復(fù)化梯形公式的原理與實(shí)現(xiàn)姓 名：曉格學(xué) 號(hào)：專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)班 級(jí)： 110010101指導(dǎo)老師：明系 主 任：瑞華時(shí) 間：2013年11 月22日數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)系綜合課程設(shè)計(jì)成績(jī)?cè)u(píng)定書設(shè)計(jì)題目：復(fù)化梯形公式的原理與實(shí)現(xiàn)指導(dǎo)教師評(píng)語成 績(jī)： 指導(dǎo)教師： 時(shí) 間：答辯小組意見設(shè)計(jì)成績(jī)：答辯組長(zhǎng)：審定 系（副）主任：-. z.目錄摘要41前言 52 復(fù)化梯形公式的提出背景53復(fù)化梯形公式的算法原理63.1復(fù)化梯形公式的主要思想63.2復(fù)化梯形公式的計(jì)算方法63.3復(fù)化梯形公式的積分余項(xiàng)64算法流程圖75 C

2、語言算法程序86算法實(shí)現(xiàn)6.1算法實(shí)例96.2利用MATLAB計(jì)算誤差的例子117總結(jié)138參考文獻(xiàn)13摘要利用若干小梯形的面積代替原方程的積分，利用微元法，可以求出坐標(biāo)面上由函數(shù)與坐標(biāo)軸圍城的圖像的面積的近似值。設(shè)將求積區(qū)間分成等份，則一共有個(gè)分點(diǎn)，按梯形公式計(jì)算積分值，需要提供個(gè)函數(shù)值。整個(gè)區(qū)間上的復(fù)化梯形公式即 利用復(fù)化梯形公式計(jì)算和函數(shù)，此外也通過實(shí)例分析運(yùn)用這種方法會(huì)產(chǎn)生怎樣的誤差。關(guān)鍵字：分點(diǎn) 函數(shù)值 前言在工程計(jì)算中，*些定積分的近似值被廣泛應(yīng)用。我們?cè)谇笠恍┚唧w的數(shù)值時(shí)，往往對(duì)精度的要求很高，用求積公式計(jì)算精確度的方法有很多，各有優(yōu)缺點(diǎn)。通過對(duì)幾種常見的方法加以比較，得出一些具

3、體的選擇方法，為提高計(jì)算精確度減少了很多復(fù)雜的運(yùn)算。像復(fù)化梯形公式適用對(duì)精度不高的運(yùn)算， 比復(fù)化梯形公式計(jì)算復(fù)雜，但結(jié)果比復(fù)化梯形求積公式計(jì)算的精確度要高，更適應(yīng)精確度的運(yùn)算，龍貝格計(jì)算積分時(shí)，不僅可以減少運(yùn)算量，也可以提高近似值的精確度。此次主要討論復(fù)化梯形的一些知識(shí)。復(fù)化梯形公式的提出背景根據(jù)人們所熟知的微積分基本定理，對(duì)于積分,只要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，便有下列Newton-Leibniz公式：.但實(shí)際使用這種求積方法往往有困難，一方面的原函數(shù)不易求得 ,或非常復(fù)雜像有很多的被積函數(shù)，例如，等等，找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)；另一方面,函數(shù) 是用函數(shù)表形式給出而沒有解析式 , Newto

4、n-Leibniz公式也不能直接運(yùn)用，這時(shí)就采用定積分的數(shù)值計(jì)算方法 ,以解決定積分的近似計(jì)算。此外在一些應(yīng)用中數(shù)值求積公式的應(yīng)用不僅在近似計(jì)算本身 ,在初等數(shù)學(xué)中 ,*些數(shù)列求前 n項(xiàng)之和公式的推導(dǎo)頗為繁瑣 ,應(yīng)用復(fù)化梯形公式可方便地導(dǎo)出這些公式。復(fù)化梯形公式用牛頓Newton-Leibniz公式來計(jì)算的值的前提是 :的原函數(shù)能夠求出。當(dāng) 的原函數(shù)不易求出或找不到時(shí) ,希望用一個(gè)易于求原函數(shù)的函數(shù)來近似代替被積函數(shù) ,從而得到定積分的近似計(jì)算公式。下文中梯形公式就是常用的近似計(jì)算公式。由定積分的幾何意義可知，梯形的面積近似的代替曲邊梯形的面積。如果在整個(gè)區(qū)間上，只用單獨(dú)一個(gè)梯形，由求梯形面積

5、公式算出的結(jié)果為：T=（b-a）/2*f(a)+f(b)作為的近似值，往往達(dá)不到精度要求，因此通常采用的方法是細(xì)分求積區(qū)間。三、復(fù)化梯形公式的算法原理3.1復(fù)化梯形公式的主要思想： 利用小梯形的面積代替原方程的積分，利用微元法，可以求出坐標(biāo)面上由函數(shù)與坐標(biāo)軸圍城的圖像的面積的近似值，符合了計(jì)算機(jī)計(jì)算存儲(chǔ)的思想。設(shè)將求積區(qū)間分成等份，則一共有個(gè)分點(diǎn)，按梯形公式計(jì)算積分值，需要提供個(gè)函數(shù)值。在區(qū)間插入一列分點(diǎn),使a=LL=b,相鄰兩分點(diǎn)間的距離h= -稱為步長(zhǎng)。均取等步長(zhǎng)，即這里 代表步長(zhǎng)，分點(diǎn)為，3.2復(fù)化梯形公式的計(jì)算方法：每個(gè)小區(qū)間上梯形公式是注意，這里 代表步長(zhǎng)，分點(diǎn)為，整個(gè)區(qū)間上的復(fù)化梯

6、形公式是即 3.3復(fù)化梯形公式的積分余項(xiàng)： ，由于 ，且 故存在使所以復(fù)化梯形公式的積分余項(xiàng)為即 , 四、算法流程圖：五、C語言算法程序#include#include#includeusing namespace std;#define N 400float F(float *) *=e*p(*) ; return (* ) ;int main()float a,b,*N,sum,T;int n,i;printf(please input n=);cinn; printf(please input a=);cina; printf(please input b=);cinb; for(i=0

7、;in+1;i+)*i=a+i*(b-a)/(float)n;sum=0; for(i=1;in;i+)sum=sum+F(*i);T=(b-a)/(2*(float)n)*(F(*0)+F(*n)+2*sum);coutT= Tendl;return 0;六、算法實(shí)現(xiàn)6.1算法實(shí)例實(shí)例一：利用復(fù)化梯形公式計(jì)算函數(shù)，在以1為下界，2為上界，把區(qū)間分為2等分（復(fù)化梯形公式計(jì)算在的值）。解：運(yùn)行程序(1) 顯示出 please in put n=” ,please in put a=” ,please in put b=”,依次輸入數(shù)據(jù)，回車。(2) 顯示結(jié)果如下圖：注：此時(shí)；在程序中對(duì)應(yīng)的語句為

8、*=e*p(*) ;所求的函數(shù)可以定義為其他函數(shù)得出目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果。 實(shí)例二：利用復(fù)化梯形公式計(jì)算函數(shù)，求在以1為下界，2為上界，把區(qū)間分為2等分（復(fù)化梯形公式計(jì)算在的值）。解：運(yùn)行程序(1) 顯示出 please in put n=” ,please in put a=” ,please in put b=”，依次輸入數(shù)據(jù)，回車。(2) 顯示結(jié)果如下圖：注：此時(shí)；在程序中對(duì)應(yīng)的語句為*=sin(*)/* ;所求的函數(shù)可以定義為其他函數(shù)得出目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果。6.2利用MATLAB計(jì)算誤差的例子：function f=f*(*)f=*.2; 首先建立被積函數(shù)，以便于計(jì)算真實(shí)值。a=0; 積分下線b

9、=1; 積分上線T=; 用來裝不同n值所計(jì)算出的結(jié)果for n=2:10; h=(b-a)/n; 步長(zhǎng) *=zeros(1,n+1); 給節(jié)點(diǎn)定初值 for i=1:n+1 *(i)=a+(i-1)*h; 給節(jié)點(diǎn)賦值 end y=*.2; 給相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值賦值 t=0; for i=1:n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1); 利用復(fù)化梯形公式求值 end T=T,t; 把不同n值所計(jì)算出的結(jié)果裝入 T中endR=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h. 2*2); 積分余項(xiàng)（計(jì)算誤差）true=quad(f*,0,1); 積分的真實(shí)值A(chǔ)=T-true; 計(jì)算的值與真實(shí)值之差（

10、實(shí)際誤差）*=linspace(0,1,9);plot(*,A,r,*,R,*) 將計(jì)算誤差與實(shí)際誤差用圖像畫出來注：由于被積函數(shù)是*.2，它的二階倒數(shù)為2，所以積分余項(xiàng)為：(-(b-a)/12*h. 2*2)上圖是利用復(fù)化梯形公式所畫出的誤差。其中：紅線是計(jì)算誤差，號(hào)是實(shí)際誤差。-0.0017是計(jì)算誤差。0.0417、0.0185、0.0104、0.0067 0.0046、0.0034、0.0026、0.0021、0.0017是n值分別為2到10的實(shí)際誤差。七總結(jié)這種求積公式計(jì)算比較容易，但是往往因?yàn)楹侠淼倪x取比較困難，同時(shí)精確度不高，因此適用于對(duì)精確度要求不高的運(yùn)算，梯形積分公式的方法計(jì)算的結(jié)果還是有一定的誤差。學(xué)習(xí)這種算法我懂得了一些積分方法，同時(shí)對(duì)C語言和MATLAB的運(yùn)用有了一定的累積，同時(shí)也有了一些其他方面的感想。雖然個(gè)人編程方面的知識(shí)非常有限，不過當(dāng)我朝著這方面努力的時(shí)候，我感覺自己是滿足而且充實(shí)的。正如人生一樣，沒有付出就不可能有回報(bào)