1、4.5道路連通空間較之于連通空間的概念，道路連通空間這個(gè)概念似覺(jué)更符合我們的直覺(jué)因而 易于理解些.我們先定義“道路”.定義4.5.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.從單位閉區(qū)間0,1fX的每一個(gè)連續(xù) 映射f:0,1fX叫做X中的一條道路，并且此時(shí)f(0)和f( 1)分別稱為道路f 的起點(diǎn)和終點(diǎn).當(dāng)x=f (0)和y=f (1)時(shí)，稱f是X中從x到y(tǒng)的一條道路.起 點(diǎn)和終點(diǎn)相同的道路稱為閉路，并且這時(shí)，它的起點(diǎn)(也是它的終點(diǎn))稱為閉 路的基點(diǎn).如果f是X中的一條道路，則道路f的象集f(0, l)稱為X中的一條曲線 或弓瓜，并且這時(shí)道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)也分別稱為曲線f(0,1)的起點(diǎn)和終點(diǎn).或許應(yīng)當(dāng)提醒讀者，“

2、道路”這個(gè)詞在這里所表達(dá)的意思已經(jīng)與我們對(duì)它原 有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們?cè)谶@里嚴(yán)格定義的道路和曲 線這兩個(gè)不同的概念.定義4.5.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果對(duì)于任何x，y，存在著X中的一 條從x到y(tǒng)的道路(或曲線)，我們則稱X是一個(gè)道路連通空間X中的一個(gè)子 集Y稱為X中的一個(gè)道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個(gè)道路連通空 間.(Y是否道路連通與X是否道路連通沒(méi)有關(guān)系)實(shí)數(shù)空間R是道路連通的.這是因?yàn)槿绻鹸，yR，則連續(xù)映射f:0，1R 定義為對(duì)于任何te0,1有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點(diǎn)以y 為終點(diǎn)的道路、也容易驗(yàn)證任何一個(gè)區(qū)間都是道路連通的

3、.定理4.5.1如果拓?fù)淇臻gX是一個(gè)道路連通空間，則X必然是一個(gè)連通空 間.證明 對(duì)于任何x,yX，由于X道路連通，故存在從x到y(tǒng)的一條道路f:0, lfX這時(shí)曲線f(0,1)，作為連通空間0，1在連續(xù)映射下的象，是X中的 一個(gè)連通子集，并且我們有x，yf(0，1).因此根據(jù)定理4.1.7可見(jiàn)X是 一個(gè)連通空間.連通空間可以不是道路連通的.我們已經(jīng)指出例4. 4. 1中的禹是一個(gè)連通 空間.不難證明(留作習(xí)題，見(jiàn)習(xí)題第3題)它不是道路連通的.道路連通與局部連通之間更沒(méi)有必然的蘊(yùn)涵關(guān)系、例如離散空間都是局部連 通的，然而包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間不是連通空間，當(dāng)然也就不是道路連通 空間了.定理4

4、.5.2設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X是道路連通的，f:XfY是 一個(gè)連續(xù)映射.則f (X)是道路連通的.證明 設(shè)巧必分沖荒方了(道)=*六曲)=片.由于x是道路連通 的，故X中有從乩到專的一條道路g： 0，1fX.易見(jiàn)，映射h： 0，1ff(X)， 定義為對(duì)于任意tE0，1有h (t) =fog (t)，是f (X)中從巧到，的一條 道路.這證明f (X)是道路連通的.根據(jù)定理4.5.2可見(jiàn)，空間的道路連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個(gè)可 商性質(zhì).定理4.5.3 設(shè)芍，站廣芝是nN1個(gè)道路連通空間.則積空間 也是道路連通空間.證明我們只需要對(duì)n = 2的情形加以證明.設(shè)工=0衣”3*作趴乂乂

5、”對(duì)于I，2，由于備是道路連通空間， 故在是中有從到羽的一條道路宓：0，1-備.定義映射f： 0，1-芍， 使得對(duì)于任何te0, l有f （t） = （血M（Q）.容易驗(yàn)證（應(yīng)用定理3. 2.7） f是連續(xù)的，并且有f（0）=x,f（1）二y.這也就是說(shuō)f是中從x到y(tǒng)的一條 道路.這證明是一個(gè)道路連通空間.作為定理4.5.3的一個(gè)直接的推論立即可見(jiàn):n維歐氏空間是一個(gè)道路連 通空間.（這個(gè)結(jié)論也容易直接驗(yàn)證.）為了今后的需要我們證明以下引理，定理4.5.4粘結(jié)引理設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個(gè)開(kāi)集（閉集），并 且有X=AUB.又設(shè)Y是一個(gè)拓?fù)淇臻g，頂i：AfY和力：BfY是兩個(gè)連續(xù)映 射，滿足條

6、件：成廣Za辰e定義映射f:XY使得對(duì)于任何xEX,則f是一個(gè)連續(xù)映射證明 首先注意，由于X成廣，成七 映射f的定義是確切的.因?yàn)楫?dāng) xeAAB時(shí)，有片3）=，.其次，我們有：對(duì)于Y的任何一個(gè)子集Z有這是由于尸（Z）=廣熠）n Q廠（Z）=廣5 日現(xiàn)在設(shè)U是Y的一個(gè)開(kāi)集.由于頂1 J都連續(xù)，所以KShE 分別是 A和B的開(kāi)集.然而A和B都是X的開(kāi)集，所以柱E 也都是X的開(kāi)集.因此，e廣L以)，以)是x的一個(gè)開(kāi)集.這便證明了 f是一個(gè)連續(xù)映射.當(dāng)A和B都是X的閉集時(shí)，證明是完全類似的.我們現(xiàn)在按建立連通分支概念完全類似的方式建立道路連通分支的概念.定義4.5.3設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x,yX.如果

7、X中有一條從x到y(tǒng)的 道路，我們則稱點(diǎn)x和y是道路連通的.(注意:是“點(diǎn)道路連通)根據(jù)定義可見(jiàn)，如果x, y, z都是拓?fù)淇臻gX中的點(diǎn)，則x和x道路連通；(因?yàn)槿〕Ｖ档挠成鋐: 0，1X(它必然是連續(xù) 的)便是一條從x到x的道路.)如果x和y連通，則y和x也連通；(設(shè)f:0，1X是X中從x到y(tǒng) 的一條道路.定義映射土 0，lX，使得對(duì)于任何te0, l有j(t)=f(1 一t) .容易驗(yàn)證j是一條從y到x的道路.)如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通.(設(shè)&凡 0， 1一X分別是X中從x到y(tǒng)和從y到z的道路.定義映射f:0，1X使得對(duì)于 任何 t e0，l，應(yīng)用粘結(jié)引理立即可見(jiàn)f是連續(xù)

8、的，此外我們有f(0) = X(0)=x和f(1) = =z.因此f是從x到z的一條道路.)以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的道路連通關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.定義4.5.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.對(duì)于X中的點(diǎn)的道路連通關(guān)系而言的每 一個(gè)等價(jià)類稱為拓?fù)淇臻gX的一個(gè)道路連通分支.如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集.Y作為X的子空間的每一個(gè)道路連通分支 稱為X的子集Y的一個(gè)道路連通分支.拓?fù)淇臻g口的每一個(gè)道路連通分支都不是空集；X的不同的道路連通分 支無(wú)交；以及X的所有道路連通分支之并便是X本身.此外，x,yX屬于X的 同一個(gè)道路連通分支當(dāng)且僅當(dāng)x和y道路連通.拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個(gè)點(diǎn)x和y屬于A的同一個(gè)道路連通

9、分支的充分 必要條件是A中有一條從x到y(tǒng)的道路.根據(jù)定義易見(jiàn)，拓?fù)淇臻g中每一個(gè)道路連通分支都是一個(gè)道路連通子集；根 據(jù)定理4.5.1,它也是一個(gè)連通子集；又根據(jù)定理4. 3. 1,它必然包含在某一 個(gè)連通分支之中.作為定理4.5.1在某種特定情形下的一個(gè)逆命題，我們有下述定理：定理4.5.5 n維歐氏空間 舟的任何一個(gè)連通開(kāi)集都是道路連通的.證明首先我們注意n維歐氏空間中的任何一個(gè)球形鄰域都是道路連通 的，這是因?yàn)樗哂趎維歐氏空間本身.其次證明n維歐氏空間的任何一個(gè)開(kāi)集的任何一個(gè)道路連通分支都是一 個(gè)開(kāi)集：設(shè)U是的一個(gè)開(kāi)集，C是U的一個(gè)道路連通分支.設(shè)xeC.因?yàn)閁 是一個(gè)包含x的開(kāi)集，所

10、以也包含著以x為中心的某一個(gè)球形鄰域B（x， ）.由 于球形鄰域B（x, ）是道路連通的，并且B（x， ） AC包含著乂，故非空，這導(dǎo) 致B （x， ）匚C.所以C是一個(gè)開(kāi)集.最后，設(shè)V是術(shù)的一個(gè)連通開(kāi)集.如果N=0，則沒(méi)有什么要證明的.下設(shè). V是它的所有道路連通分支的無(wú)交并，根據(jù)前一段中的結(jié)論，每一個(gè)道 路連通分支都是開(kāi)集.因此如果V有多于一個(gè)道路連通分支，易見(jiàn)這時(shí)V可以表 示為兩個(gè)無(wú)交的非空開(kāi)集之并，因此V是不連通的，這與假設(shè)矛盾.因此V只可 能有一個(gè)道路連通分支，也就是說(shuō)V是道路連通的.推論4.5.6 n維歐氏空間衣”中任何開(kāi)集的每一個(gè)道路連通分支同時(shí)也是 它的一個(gè)連通分支.證明由于n

11、維歐氏空間是一個(gè)局部連通空間，根據(jù)定理4. 4. 1，它的 任何開(kāi)集的任何連通分支都是開(kāi)集.根據(jù)定理4.5.5，汽*的任何開(kāi)集的任何連通 分支都是道路連通的，因此包含于這個(gè)開(kāi)集的某一個(gè)道路連通分支之中.另一方 面.任何一個(gè)集合的道路連通分支，由于它是連通的，因此包含于這個(gè)集合的某 一個(gè)連通分支之中，本推論的結(jié)論成立.通過(guò)引進(jìn)局部道路連通的概念，定理4.5.5和推論4.5.6的結(jié)論可以得到推 廣.(參見(jiàn)習(xí)題5.)作業(yè)：P132 1. 2.本章總結(jié)：有關(guān)連通、局部連通、道路連通均為某個(gè)集合的概念，與這個(gè)集合的 母空間是否連通、局部連通、道路連通無(wú)關(guān).掌握連通、局部連通、道路連通這三者之間的關(guān)系.記

12、住衣”中的哪些子集是連通、局部連通、道路連通的.連通、局部連通、道路連通分支是一個(gè)分類原則，即每個(gè)集合都是若 干個(gè)某某分支的并，任兩個(gè)不同的分支無(wú)交，每個(gè)分支非空.若兩個(gè)分支有交， 則必是同一個(gè)分支.連通是本章的重點(diǎn).掌握證明連通、不連通及道路連通的方法.特別注意反證法.掌握連通性、局部連通性、道路連通是否是連續(xù)映射所保持的、有限 可積的、可遺傳的.5. I 證明實(shí)數(shù)空間R的子集.4是道路連通的當(dāng)且仗當(dāng).4是連通的.證:因.4匚R,4是道路連通的，根據(jù)建理4.5. 1知.4是連通的，反之，若.4是連通的，當(dāng).4是單 點(diǎn)集時(shí)，顯然.4是道路連通的，當(dāng).4不是單點(diǎn)集時(shí)，則.4是區(qū)間，從而是道路推通

13、的.土 2 證明n維單位球舟是道路迷通的.51)證:任意 V,則存在 V,使仃舟隊(duì)乂甘 與只同勝，旦只為道路迷通空間, 所以舟 為道路連通的.因此為道路宓通的.從而V是道路宓通的.土 3 證明：例4.4. I中的拓?fù)淇臻g不是道路迷通空I成證:為證明不是道路連通的，任取點(diǎn)h 我們證明不可能有島中的道路，以h為起點(diǎn)，以 s中的點(diǎn)為終點(diǎn).沒(méi)u：/t%是以為起點(diǎn)的道路.因t是舄的閉集m 也是J中的閉集,且 u-(n #根據(jù)的控通性，只要證明u-(T)也是/的開(kāi)集，就有u/) CJ1.現(xiàn)設(shè)1 e m 根據(jù)u的壕螳性.存在正數(shù)5 .使得瓦n/)匚 WU)*)ns,其中玖心手 是 E2內(nèi)點(diǎn)H”)的+ -鄰域

14、一令。是內(nèi)的閉圓盤(pán)明尋)，恥ns, = DA J1) U (DCiS) 由軸上一個(gè)區(qū)間EC T與曲線F =血，:上的一些小段八組成，這每一小段L同胚于一個(gè)區(qū)間, DCiS,中是既開(kāi)又閉的連通子集，從而是DHS,的連通分支一于是7= (DHS,) - (UA,.) 也是心ns,的連通分支一因n;是連通的，旦ui) nn r,我們得到“ n /)c n n tc t,即！的鄰域 n /c u(T).由此推出是 u-T)的內(nèi) 是/的開(kāi)集一也就旺明了土不是道路逐通的一另證:假設(shè)&是道路連通的，則對(duì)點(diǎn)(0,0和點(diǎn)(1,航M)存在道路/(M t %,使棵/3)= (0,0)和/m 二(1,面 1)，我們注

15、意到,17(0:0 11 二 |(jTsh):0 #壬1,但iiimin XX不存在，故/()不存在，與六助=!,()矛盾一5.4 設(shè)X為拓?fù)淇臻g.IF.#)的道路連通于集族，滿足條件：對(duì)于任意公#仁廠存在r 中有限個(gè)元素H 二蟲(chóng)3、TMn-l 使得證明 七.七為道路迷通子集-證:先田亍,匕道路迷通n匕尹/則y, J匕為道路連通七任意 y. j匕，若盅寸匕，或.=匕，3是遺熟洼潮的,若- y|iy- f”取衛(wèi)匕n當(dāng)存在適續(xù)畫(huà)忸：山: K，使縛血叫=Ji/i（ I） = - =/（0）.（1） = :f僥義X皿匚一七 u F”使仙=舟叫 y/（2； - I） S W V I財(cái)浙曜墾洼叛算時(shí)，旦成

16、馬為理理貝，由黃住無(wú)h U為為遺&洼通.3.3 拓寸性間尤稱部掘道蔬知觀扣朗任一星/以反星的HJ域皿存割H的 遺惑洼購(gòu)第岐玲也含于L茹撲主間的于 .1秣為荷躍遺矜洼購(gòu)于擔(dān),苦車方X的于主間髭 局蹈遇我洼購(gòu)主間.證明：（1）每一荷踮遇我蓮主間明是荷跛洼通主間.（2）若X肯肩否癰洼通空間/浦-F巖攻尸照,山預(yù)持 肯局做路連通空間-（） 若西，也肯局陵蛆連通空間，n俶空間尻x芯為府褲溉磕通空虬 做） 荷西遺&洼購(gòu)主間X中為道籽洼購(gòu)于地,當(dāng)?shù)┣?dāng)為連購(gòu)于旭!： I -倒然連通千貝二遷2通千況，E.每 f 尹2通些，. ，.：槌通艾匚R）設(shè)咻在星使/蛤=為砸童的匕械 項(xiàng)心，團(tuán)為f：*TF肯掘整 射腐成廣

17、聽(tīng) 肯*郵耶域*肯局敬然洼宜空間，存在星的趾謎通輻健FU/Mt：而了為 洼鴦尸褻尉腐以式叮C/C/fL1）=隊(duì)為F在/（魁中的適陶瘋做，即U）為局祕(mì)道路洼 通主間-技）先配明如下陸職:拓寸笛間尤肯局部道然洼通空間當(dāng)且E當(dāng)X有基,其每一成員應(yīng)期連 購(gòu)的.喜翡上，設(shè)X為扃躍四我洼購(gòu)主間，為犬中，下音好狼，匚為中的連通分支.就任荏的星 G存在*蠣蛔洼通鄒域t-c L-,ni F二即心為C中的開(kāi)集，也巖尤的以, 驢成/的廣HimkTi籽洼通分玄亦為開(kāi)技因?yàn)榭诜蕉扔羞z瑕洼酒分支電并，而遺磐洼通分支收瑕洼通的，姑成A中姑有斤*的吁有 遺惑洼分蜘代的里虹入的一個(gè)基.旦耳每一況更髭遺瑁洼S的.彩故活為的基，

18、耳每一代貝國(guó)井洼購(gòu)的M或=/ .奸！ J a -E 的犬褪基,=!（每一況只是造然洼購(gòu)的，吁戚1染荷施怛然洼眉主間.Pfff（J）,由R）包局g租性為拓?fù)洳痪滦?，仗需氐明若xltx2為柿淺蘭灑史間，P! X. 5 為局躍遇感洼通主間.設(shè)也應(yīng)為局割清跆洼酒空間，由上就命電,用存在期，黑，分用.為也,擔(dān)的基黑街一成臭是 遺拜洼購(gòu)的d己奸=為X電！ Hj 而,電匚送由定理m.a.X膺肯尤席關(guān) 心且由本曖理. 5.，切膺瞄一成品均*弁洼通的.再由上 柿鼠擔(dān)X擔(dān)是荷躍遇感洼購(gòu)般、財(cái) 為居踮迪再蓮酒主間/中的開(kāi)生，苦連酒于垢由m響眶詁的擋我洼購(gòu)分支 均寶 f，餌為為其商有獨(dú)港a分 拉井，若.1的豈蔬洼通分支寥于一個(gè).耳于.1肯洼通于地盧 府.職舊氏