1、2.4平面向量的坐標(biāo)1.掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示方法,會用有序?qū)崝?shù)對表示向量的坐標(biāo).2.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法及數(shù)乘向量的運(yùn)算.3.掌握向量平行的坐標(biāo)表示,并能靈活求解有關(guān)問題.123 1.平面向量的坐標(biāo)表示(1)平面向量的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底.對于平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=xi+yj,我們把實數(shù)對(x,y)叫作向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).(2)向量與坐標(biāo)的關(guān)系在全體有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面內(nèi)的所有向量之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.因此在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)或向量都可以看作有序?qū)崝?shù)對的直觀形象.在解

2、決很多問題時,常常需要把自由向量移到原點(diǎn),我們把向123 名師點(diǎn)撥1.有序?qū)崝?shù)對(x,y)在平面直角坐標(biāo)系中有了雙重意義,它既可以表示一個點(diǎn),也可以表示一個向量.注意把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開來.2.相等向量的坐標(biāo)是相同的,但其起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同.3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如果向量的起點(diǎn)不在原點(diǎn),可以將其平移到以原點(diǎn)為起點(diǎn)的位置上,再根據(jù)平移后的終點(diǎn)坐標(biāo)寫出這個向量的坐標(biāo).也可以用終點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)減去起點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo),就得到了向量的坐標(biāo).123 A.(-2,3) B.(-2,-2) C.(3,3)D.(3,-2)答案:AA.點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,4)B.點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4)C.當(dāng)點(diǎn)B是原點(diǎn)時,

3、點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,4)D.當(dāng)點(diǎn)A是原點(diǎn)時,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4)解析:由任一向量的坐標(biāo)的定義可知,當(dāng)點(diǎn)A是原點(diǎn)時,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4).答案:D1232.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 123【做一做2-1】 若向量a=(3,2),b=(0,-1),則向量2b+a的坐標(biāo)是()A.(3,-4)B.(-3,4) C.(3,0)D.(-3,-4)解析:2b+a=(0,-2)+(3,2)=(3,0).答案:C答案:B 1233.向量平行的坐標(biāo)表示若兩個向量(與坐標(biāo)軸不平行)平行,則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例.定理:若兩個向量相對應(yīng)的坐標(biāo)成比例,則它們平行.向量平行(共線)的兩種表達(dá)形式:(1)幾何形式:

4、ab(b0)a=b(R,b0);(2)坐標(biāo)形式:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),abx1y2-x2y1=0.向量平行的坐標(biāo)特點(diǎn)可以簡記為:兩向量的橫縱坐標(biāo)交叉之積的差為0.【做一做3-1】 下列向量與a=(1,3)共線的是() A.b=(1,2)B.c=(-1,3)C.d=(1,-3)D.e=(2,6)答案:D123【做一做3-2】 已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b與4b-2a平行,則實數(shù)x的值是()A.-2B.0C.1D.2解析:a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2).(a+b)(4b-2a),3(4x-2)-(1+x)6=0.x=2.答案:D題型一題

5、型二題型三題型四 【例1】 已知邊長為2的正三角形ABC,頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),AB邊在x軸上,點(diǎn)C在第一象限,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)。分析:表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)用終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)相應(yīng)向量的坐標(biāo)解:如圖,正三角形ABC的邊長為2,則頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),即題型一題型二題型三題型四反思1.向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo),只有當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時,向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo).2.求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo),解題時常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計算.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型

6、二題型三題型四題型一題型二題型三題型四 反思向量的加減法及實數(shù)與向量的乘積都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行運(yùn)算,使得向量運(yùn)算完全代數(shù)化,數(shù)與形緊密地結(jié)合起來.具體方法主要有:(1)直接法:即直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算.(2)方程法:先設(shè)出我們所要求的向量的坐標(biāo),再通過列方程(組)求出坐標(biāo).題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】 如圖,已知A(-2,1),B(1,3),求線段AB的中點(diǎn)M和三等分點(diǎn)P,Q的坐標(biāo).題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思一般是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出需要判斷的向量,并根據(jù)兩個向量平行的坐標(biāo)表示來判斷或證明向量是

7、否平行.即先求出a=(x1,y1),b=(x2,y2),若題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】 設(shè)點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),則四邊形ABCD為()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形答案:D 題型一題型二題型三題型四【例4】 已知a=(1,0),b=(2,1),當(dāng)實數(shù)k為何值時,向量ka-b與a+3b平行?它們是同向還是反向?分析先用坐標(biāo)表示向量ka-b與a+3b,再由向量平行的坐標(biāo)表示求出k的值. 反思解決向量共線的問題時,常常根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示,將向量間的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系來求解.題型一題型二題型三題型四解析:(方法

8、一)a=(1,2),b=(,1),a+2b=(1,2)+2(,1)=(1+2,4),2a-2b=2(1,2)-2(,1)=(2-2,2).(a+2b)(2a-2b),題型一題型二題型三題型四答案:A 題型一題型二題型三題型四 錯因分析無論兩向量所在的直線平行還是重合,兩向量都是平行的,但若兩線段平行,則它們所在的直線必不重合.12345答案:D 123452已知a=(2,-3),b=(4,x2-5x),且ab,則x=()A.2B.3C.6D.2或3x2-5x+6=0,解得x=2或3.答案:D123453.設(shè)向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b與向量c=(-4,-7)共線,則=.解析:a+b=(1,2)+(2,3)=(2+,3+2),且a+b與c共線,-7(2+)=-4(3+2),解得=2.答案:2123454.已知e1=(1,