1、u6eiAutomotive Industries Institute試歌優(yōu)化設計主講：李兵立）材 料 工 程 條Department of Materials Engineering例此丸車工*號區(qū)用科工程t水平數(shù)不等的正交試驗設計O用此兒卑工*行忱財科工程余“ MCaU 夕一:7有時由于客觀條件的限制或者對因素的重視程度不同，使各因素的水平數(shù)不全相等，這就是多因素水平不等的試驗問題，也稱混合水平多因素試驗問題。試驗的安排方法有：直接套用正交表、并列法、擬水平法、部分追加法O用此兒卑工*行忱財科工程余常用的正交表可以按其行數(shù)II、列數(shù)P、水平數(shù)q之間的關系分為兩大類：一類正交表的行數(shù)n、列數(shù)

2、p、水平數(shù)q 之間有如下兩個關系：它們被稱為完全正交表，譬如L9（3。8（27）, 用這類正交表可以考察因子間的交互作用。O制此文軍工工牙他財科工程余另外一類正交表，上述兩個關系中 至少有一個不成立。如L18（37） Li2（2”）等，一般不能考察因子間的交互作用，但是在某些場合也常被使用。例3. 6：為了探索縫紉機膠壓板的制造工藝，選了如下醫(yī)1素和水平：A 壓力（公斤）B 溫度CC )C 時間（分）18959231()119()12412該試驗是由剛起步的小廠組織，無專門測膠壓板性 能的儀器，找了四位有經(jīng)驗的專家來評測打分。選用L8（4X2這是一個完全正交表源此丸4工4號成”修工在金試驗方案

3、及結(jié)果表因素水平7、A1B2C345四塊膠板得分指標 總分1T1I1166642221222265441932112143221142221244321353121221115632121444214741221432110_84211265421722463475452K319K427kl5.13.04.0k23.03.92.9k32.4k43.4R2.70.91.1R，3.42.63.1用此文阜工學他財神工五t* TfUttnuU Wr,ygf，夕因素水平完全一樣時，因素的主次關系可以由極差R的 大小來決定。當因素水平數(shù)不等時，直接比較是不行的，因 為當因素對指標

4、有同等影響時，水平多的因素極差應大一些。因此要用系數(shù)對極差進行折算O水平數(shù)折算系數(shù)d20.7130.5240/550.4060.3770.3580.3490.3210031 正交與均勻試驗設計，方開泰馬長興著科學出版社2001折算系數(shù)西百n九率xjt-t忱時與工理fn(3-1)所以： Ra = 2.7 x 0.45 x = 3.4=0.9x0.71x716 = 2.6Rc = 1.1x0.71x716 = 3.1其中n指該因素平均每個水平對應的指標數(shù)由上計算可知因素主次順序為：ACB次Page浮選試驗方案與結(jié)果計算表因素 試驗針JACC)B(200目)C （公斤/噸）D （公斤/噸）精礦品位（

5、）11 (81.5)1(4375)1(2.0)3.472I (20)2(84.1)2(5)2(2.5)1.5()32 (25)1 (81.5)1(4.375)2(2.5)23642 (25)2(84.1)2(5)1(2.0)2.3653 (30)1 (81.5)2(5)1(2.0)1.9363 (30)2(84.1)1(4.375)2(2.5)2.7074 (35)1 (81.5)2(5)2(2.5)1.5084 (35)2(84.1)1(4375)1(2.0)3.72KII4.979.2612.2511.48M24.7210.287.298.06kJ34.63KJ45.22試按照上述原則進

6、行折算KJ1 （平均）2.492323.062.87kj2 （平均）2.362.571.822.02kJ3 （平均）2.32kJ4 （平均）2.61RJ0.290.251.240.85Rf0.1850.3551.761才苦工五余例3. 7在某種化油器設計中希望尋找一種結(jié)構,使在不同天氣條件下均具有較小的比油耗。.試驗的設計試驗中考察的因子水平如表：因子一水平二水平三水平A：大喉管直徑（p）323436B：中喉管直徑（p）222120c：環(huán)形小喉管直徑3）1098D：空氣量孔直徑（1.21.00.8E：天氣高氣壓低氣壓選用混合水平正交表L8(2X3 7),表頭設計如下:表頭設計 E A B C

7、D列號 12345678O制此文軍工工牙忱材電二與t.方差分析L18 (2X3 7),是一張不完全正交表，所以 SSi+S, + $8，在進行方差分析時，S,用ST減去各 因子的平方和得到，。也用R減去各因子的自由度得至h 所以空白列一般就不作計算。L18（2X37）的平方和計算表一頭設計EABCD試驗結(jié)果 y試驗號列號123456781111111240.71122230.11133236.5I11217.11221210.51332306.8112133247.112311228.3I312237.710111208.411122253.312133232.013112209.214223

8、245.1153131234.116i331217.7172112209.718321231339.8Ti2154.81340.21392.61632.81426.7T=4304.1t22149.31377.01468.71359.21478.2Ex2T31586.91442.81312.01399.2= 1048952.57S1.75904.1499.09997.3536.1ST= 19770.5黑此沌軍工工方忱材封工數(shù)公例3.7的方差分析表米源平方和目由度均方和F比A Baea e5904.1 499.09997.3536.11.72832.32952.0249.54998.7268.0

9、L7354.09.9216.79e3869.113297.6T19770.517其中，因子右上角加“”表示該囚子的均方和小于MS。，故 將有關因子的S并入工，同樣將相關的自由度也并入人，為區(qū) 別起見，記在一行中。由于Fo.95（2, 13）=3.81,所以在顯著性水平0Q5上因子A與C與 是顯著的。為使平均比油耗小，最好水平組合是A1C3。O制此沌泉工工行他材科工與t對于有混和水平的問題，除了直接應用混和水平的正交表外，還可以將原來已知正交表加以適當?shù)母脑?，得到新的混和水平的正交表。L8（4 X 2，）表就是由L8（27）改造而來：12345.D7111I1111211122223122112

10、24122221152121212621221217221122182212112制此丸軍工*行院”，工程t（1）首先從L27）中隨便選兩列，例如1、2列，將次兩列同橫行組成的8個數(shù)對，恰好4種不同搭配各出現(xiàn)兩次,我們把每種搭配用一個【字來表示:規(guī)則： TOC o 1-5 h z (14)H(1,2)2(2,1)3(2,2)4（2）于是1、2列合起來形成一個具有4水平的新列，再 將1、2列的交互作用列第3列從正交表中去除，因為它已 不能再安排任何因素，這樣就等于將1、2、3列合并成新 的一個4水平列：L8（4X24）正交表號r3456711111121222232112242221153121

11、2632121741221842112O做此文年工R名悅財神工程t顯然，新的表L8（4X2仍然是一張正交表，不難 驗證，它仍然具有正交表均衡分散、整齊可比的性（1）任一列中各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同（四水平列中, 各水平出現(xiàn)二次，二水平列各水平出現(xiàn)四次）。（2）任意兩列中各橫行的有序數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同 ，泰雅二都翻麟麟霜痛般平， （1,2）、（2,1）、（2,2）、（3,1）、（32）、（4,1）、（4,2）各 出現(xiàn)一次。用Minitab練習把L16（215）改造成。6 (8X28)O 做此兒率工如今晚財科工程余Mgr 加夕同時具有二水平與四水平因子的數(shù)據(jù)分析例3.8 寺桑家酯合成橡膠的試驗中,要考

12、察四個因子A、B、C、D對抗張強度的影響，其中因子A取四水平，因子B、C、D 取二水平，同時根據(jù)專業(yè)知識還需考察交互作用AXB與AXCo1.試驗設計（1）選用正交表 由于在這一問題中考察的因子與交互作用的自 由度之和為：fA+fB+fc+fD+fAXB+fAXC=3+ 1 + 1 + 1 +3+3= 1 2-所選正交表的行數(shù)n 12+1 = 13,因此至少應該選用n=16的 具有二、四水平的混合水平正交表。-可選用G6（4x2.）。（2）表頭設計置因子A在裹的四水平列上（由人氣的第1，2, 3列組成 的列），再將因子B置于余下的列上，如置于第4歹U。因子A與B的交 互作用的自由度為3,應占三列

13、：即A在46（2匕）所占的三列 與B所在列的交互列。由交互作用表杳得為第5、6、7歹U，那 么這三列為交互作用AXB所占據(jù)；再考慮因子C,因為它與A也有交互作用，現(xiàn)在可將C置于余 下的八列中的任一列，如置于第8列，同理，AXC位于第9、 10、11列上;最后將因子D置于留下列的任一列上，如置于第12歹表頭設計：表頭設計ABAXBCAXCD46（2審）的列號1 2 345 6 789 10 111213 14 15O 用此兒軍工q療比材修工在東2.方差分析 L16 （4X212）仍然是完全正交表，且仍具有平方和分解式:S 7 = S + S2 + + S5,可以用改造前的L|6 （2,5）計算各

14、列平方和。那么按表頭設計有：SA=S1+S2+S3, fA=3, SAxB=S5+S6+S7,f axb=3,Saxc=S9+So+S ，f axc=3。O 做此沌軍工工今晚財科工程余2.方差分析L.6（4X2i2）的計算表勺 A B AB ? AXC D 一試驗j 列號 FT543575Fo fl VIR131-3366998624250125701409189104902212112211212212212112122121122211221211221122211221122112211212212121211212 121 9* ?721121 22121121212122121212

15、11212121212121212 1122221122111221122221111222211 112 2112 2 22 112 2 11117-222112211221111222233334444234567890123456239 728 777 679 700 518 647 511 672 593 610 654 647 T=1269t213 t4 S271 541 492 590 569 751 622 758 597 676 659 615 622 yf2 =3853744019 21865077 49510733393393813 352150 95 391610361S

16、t=21159例3.8方差分析表來源平方和自由度均方和F比A40193134014.11B21861218623.01C33931339335.72D43114314.54AXB66453221523.32AXC42043140114.75e284395T2115915在顯著性水平。05 時,F0.95（l,3）=10.13 ， Fo.95（3,3）=928,故從方差分析表可知，因子A、B、C及交互作用AXB與AXC都是顯著的。3.最佳水平組合的選取及其均值的估計由于交互作用顯著，所以為了選擇最佳水平組合，先計 算兩張搭配表：表,5.7 AXB的搭配表A|A?A3A4Bi103.083.587

17、.590.0B216.552.0105.097.0表458 AXC的搭配表A】 A? A3 A4C| 36.0 65.5 60.0 97.5C 83.5 70.0 132.5 89.5從上可以看出，為使抗張強度大，應該選擇A3B2c2。O懶此丸軍工工今比初苦工秋t對少數(shù)因素缺少的水平數(shù)采用虛擬的水 平補足，然后借用等水平數(shù)的正交表進行試 驗設計。擬水平：一般從已經(jīng)有的水平中挑選估 計效果較好的需要重點考查的水平重復一次 充當缺少的水平，這個水平就是擬水平。O懶此丸軍工工今比初苦工秋t用擬水平法可用q水平正交表來安排有水平數(shù)小于q的因 子的試驗設計。此時的設計不再是正交的。常用的是在三水平正交表

18、中安 排少量二水平因子。例3.9在一個三甲酯合成試驗中，需要考察一個二水平因子 A及兩個三水平因子B、C對三甲酯轉(zhuǎn)化率的影響。一、試驗設計在這一問題中三水平因子為多，因此采用三水平正交表來安排試驗。步驟如下：.選正交表。現(xiàn)在所考察的因子的自由度之和為 fA+fB+fc=l+2+2=5,因此選n=9的正交表乜（3，即可。O 制品兒軍上工號或”神工在.在三水平的列上安排二水平因子的方法。由于三水平 列中在三個數(shù)字:1, 2, 3,而因子A僅有兩個水平，為此對 因子A可以虛擬一個水平，即其第三個水平為原有的兩個水 平中的某一個。這表明在擬水平法中，二水平因子的兩個水平 參與的試驗次數(shù)不等，從而現(xiàn)在的

19、試驗缺乏正交性。.表頭設計 把每個因子分別置于正交表的一列上即可， 但要說明因子A的“3”水平用什么水平替代，譬如在本例中， 表頭設計為：表頭設計ABC列號1234第一列中的1, 2, 3分別采用A2, A2進行試驗。O 制此龍軍工業(yè)療0t財科工程t二、方差分析各平方和的計算：.三水平因子平方和，按乜。,)計算各列的平方和。 Sb=S2，Sc=S3.二水平因子A的平方和計算公式： SA=3CTAi-y)2+6(TA2-y)2, fA =1. Se的計算公式如下：Se =STSA SB Sc = (5j SA) + S4 fe=frfAfBfc=制此丸車工二號比忖柳工程金例3.9計算表表頭設計A

20、Bc試驗結(jié)果 y試驗號列號r123411111180.521122287.531133389.042212379.652223182.862231288.272313278.282321383.392332183.4257257238.3252246.7T=752t2495.5250.6253.6250.5253.9t30244.9260.6250251.9用此丸年工4號他財與工程t例3的方差分析表來源平方和自由度均方和F比A19.01119.013.90B86.71243.368.90C0.7220.360.074e14.6234.87T121.078在顯著性水平 0.10 時，F(xiàn)o.90（1，3） =5.54, Fo,90（2, 3）=5.46,所以只有因子B是顯著的。最佳水平組合為A（A1）B3C.做此文泉工工行忱材科工程余該法是在第二次試驗中增加一些 補充處理，以增加某因子的水平數(shù)。 其優(yōu)點是不需要對正交表進行改造， 缺點是分析試驗結(jié)果時較麻煩。用此丸條工q牙代材電工程余 ”e.例3.10：氯丁膠正交試驗（北京大學，1976）為尋求降低氯丁膠生產(chǎn)的配