1、非參數(shù)統(tǒng)計非參數(shù)統(tǒng)計（nonparametric statistics），數(shù)理統(tǒng)計學重要內(nèi)容。研究非參數(shù)問題，探究非參數(shù)方法。非參數(shù)問題是指統(tǒng)計總體分布形式未知或雖已知卻不能用有限個參數(shù)刻畫的統(tǒng)計問題。在多數(shù)場合下，與參數(shù)問題界線清楚，只在少數(shù)情況下會因為各人出發(fā)點不同而有不同看法。非參數(shù)方法有擬合優(yōu)度檢驗、次序統(tǒng)計量、U統(tǒng)計量、秩統(tǒng)計量與秩方法、置換檢驗、非參數(shù)回歸與判別等等。非參數(shù)方法并非絕對只能解決非參數(shù)問題，有些也可用于典型的參數(shù)統(tǒng)計問題。非參數(shù)統(tǒng)計方法無法依賴總體的具體分布形式，構造的統(tǒng)計量常與具體分布無關，故又稱非參數(shù)方法為自由分布方法。這樣，非參數(shù)方法的性能對分布的實際形式如何并

2、不敏感，即非參數(shù)方法常具較好的穩(wěn)健性。非參數(shù)方法需要考慮在約束條件十分寬松的情況下使用，有可能導致效率的下降。非參數(shù)統(tǒng)計難以建立小樣本理論，基本屬于大樣本理論的內(nèi)容。非參數(shù)統(tǒng)計形成于20世紀40年代，已成為一個體系龐大、理論精深且富有實用價值的統(tǒng)計分支。參數(shù)簡介非參數(shù)統(tǒng)計是統(tǒng)計學的一個重要分支，它在實踐中有著廣泛的應用。所謂統(tǒng)計推斷，就是由樣本觀察值去了解總體，它是統(tǒng)計學的基本任務之一。若根據(jù)經(jīng)驗或某種理論我們能在推斷之前就對總體作一些假設，則這些假設無疑有助于提高統(tǒng)計推斷的效率。這種情況下的統(tǒng)計方法稱為“參數(shù)統(tǒng)計”。如果我們所知很少，以致于在推斷之前不能對總體作任何假設，或僅能作一些非常一般

3、性(例如連續(xù)分布、對稱分布等)的假設，這時如果仍然使用參數(shù)統(tǒng)計方法，其統(tǒng)計推斷的結果顯然是不可信的，甚至有可能是錯的。在對總體的分布不作假設或僅作非常一般性假設條件下的統(tǒng)計方法稱為“非參數(shù)統(tǒng)計”。由于非參數(shù)統(tǒng)計方法與總體究竟是什么分布幾乎沒有什么關系，所以它的應用范圍很廣，它在社會學、醫(yī)學、生物學、心理學、教育學等領域都有著廣泛的應用。由于有關于總體的假設，所以參數(shù)統(tǒng)計的推斷方法是針對這個假設的。相對而言，非參數(shù)統(tǒng)計的推斷方法是很一般的，它僅應用樣本觀察值中一些非常直觀(例如次序)的信息。所以非參數(shù)統(tǒng)計分析含有豐富的統(tǒng)計思想。舉例說明例如，檢驗“兩個總體有相同分布”這個假設，若假定兩總體的分布

4、分別為正態(tài)分布N（1，2）和N（2，2），則問題只涉及三個實參數(shù)1，2，2，這是參數(shù)統(tǒng)計問題。若只假定兩總體的分布為連續(xù)，此外一無所知，問題涉及的分布不能用有限個實參數(shù)刻畫，則這是非參數(shù)統(tǒng)計問題。又如，估計總體分布的期望，若假定總體分布為正態(tài) N（，2），則問題是參數(shù)性的；若只假定總體分布的期望值存在，則問題是非參數(shù)性的。不過參數(shù)統(tǒng)計與非參數(shù)統(tǒng)計之間并沒有涇渭分明的界線。例外有的統(tǒng)計問題，從不同的角度，可以理解為參數(shù)性的，也可以理解為非參數(shù)性的。例如線性回歸（見回歸分析）問題，若關心的是估計回歸系數(shù)，它只是有限個實參數(shù)，因而可以看成是參數(shù)性的。但是，如果對隨機誤差的分布類型沒有作任何假定，則從

5、問題的總體分布這個角度看，也可以看成是非參數(shù)性的。統(tǒng)計方法重要的非參數(shù)統(tǒng)計方法秩方法是基于秩統(tǒng)計量（見統(tǒng)計量）的一類重要的非參數(shù)統(tǒng)計方法。設有樣本X1,X2，Xn，把它們由小到大排列，若Xi在這個次序中占第Ri個位置（最小的占第1個位置），則稱Xi的秩為Ri(i=1,2，n）。1945年F.威爾科克森提出的兩樣本秩和檢驗是一個有代表性的例子。設X1,X2，Xm和Y1,Y2，Yn分別是從分布為 F(x）和 F(x-）的總體中抽出的樣本，F(xiàn)連續(xù)但未知，也未知，檢驗假設 H：=0，備擇假設為0（見假設檢驗）。記Yi在混合樣本（X1,X2，Xm，Y1，Y2，Yn）中的秩為Ri，且為諸秩的和，當W C時

6、，否定假設H，這里C決定于檢驗的水平。這是一個性能良好的檢驗。秩方法的一個早期結果是C.斯皮爾曼于1904年提出的秩相關系數(shù)。設（X1，Y1),(X2，Y2），（Xn,Yn）是從二維總體（X，Y）中抽出的樣本，Ri為Xi在（X1,X2，Xn）中的秩，Qi為Yi在（Y1,Y2，Yn）中的秩，定義秩相關系數(shù)為（Ri,Qi)(i=1,2，n）的通常的相關系數(shù)（見相關分析）。它可以作為X、Y之間相關程度的度量，也可用于檢驗關于X、Y獨立性的假設。次序統(tǒng)計量和U 統(tǒng)計量在非參數(shù)統(tǒng)計中也有重要應用。前者可用于估計總體分布的分位數(shù)（見概率分布）、檢驗兩總體有相同的分布及構造連續(xù)總體分布的容忍限和容忍區(qū)間（見

7、區(qū)間估計）等。后者主要用于構造總體分布的數(shù)字特征的一致最小方差無偏估計（見點估計）及基于這種估計的假設檢驗。蘇聯(lián)數(shù)學家.柯爾莫哥洛夫和.斯米爾諾夫在20世紀30年代的工作開辟了非參數(shù)統(tǒng)計的一個方面，他們的方法基于樣本X1,X2，Xn的經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x）（見樣本）?？聽柲缏宸蚩疾?Fn(x）與理論分布F(x）的最大偏差墹n，當墹n超過一定限度時，否定這個理論分布F(x）。這就是柯爾莫哥洛夫檢驗。斯米爾諾夫則考察由兩個分布為F(x）和g(x）的總體中抽出的樣本X1，X2，Xm和Y1,Y2，Yn計算其經(jīng)驗分布Fm(x）和gn(x）的最大偏差墹mn，當墹mn超過一定限度時，否定“F與g相等”這個

8、假設。這就是斯米爾諾夫檢驗。在非參數(shù)性估計方面，有關于估計分布的對稱中心、概率密度函數(shù)和回歸函數(shù)等比較重要的成果 ?；咎攸c非參數(shù)統(tǒng)計問題中對總體分布的假定要求的條件很寬，因而針對這種問題而構造的非參數(shù)統(tǒng)計方法，不致因為對總體分布的假定不當而導致重大錯誤，所以它往往有較好的穩(wěn)健性（見穩(wěn)健統(tǒng)計），這是一個重要特點。但因為非參數(shù)統(tǒng)計方法需要照顧范圍很廣的分布，在某些情況下會導致其效率的降低。不過，近代理論證明了：一些重要的非參數(shù)統(tǒng)計方法，當與相應的參數(shù)方法比較時，即使在最有利于后者的情況下，效率上的損失也很小。由于非參數(shù)統(tǒng)計中對分布假定要求的條件寬，因而大樣本理論（見大樣本統(tǒng)計）占據(jù)了主導地位。第

9、二次世界大戰(zhàn)前，非參數(shù)統(tǒng)計的大樣本理論已有了一些結果，從20世紀50年代直到現(xiàn)代，更有了顯著的進展，尤其是關于秩統(tǒng)計量與U 統(tǒng)計量的大樣本理論，及基于這種理論的大樣本非參數(shù)方法，研究成果很多。適用范圍非參數(shù)統(tǒng)計最常用于具備下述特征的情況：1、待分析數(shù)據(jù)不滿足參數(shù)檢驗所要求的假定，因而無法應用參數(shù)檢驗。例如，我們曾遇到過的非正態(tài)總體小樣本，在t-檢驗法也不適用時，作為替代方法，就可以采用非參數(shù)檢驗。2、僅由一些等級構成的數(shù)據(jù)，不能應用參數(shù)檢驗。例如，消費者可能被問及對幾種不同商標的飲料的喜歡程度，雖然，他們不能對每種商標都指定一個數(shù)字來表示他們對該商標的喜歡程度，卻能將幾種商標按喜歡的順序分成等

10、級。這種情形也宜采用非參數(shù)檢驗。3、所提的問題中并不包含參數(shù)，也不能用參數(shù)檢驗。例如，我們想判斷一個樣本是否為隨機樣本，采用非參數(shù)檢驗法就是適當?shù)摹?、當我們需要迅速得出結果時，也可以不用參數(shù)統(tǒng)計方法而用非參數(shù)統(tǒng)計方法來達到目的。一般說來，非參數(shù)統(tǒng)計方法所要求的計算與參數(shù)統(tǒng)計方法相比，完成起來既快且易。有些非參數(shù)統(tǒng)計方法的計算，就算對統(tǒng)計學知識不熟練的人，也能在收集數(shù)據(jù)時及時予以完成 。相對優(yōu)點非參數(shù)統(tǒng)計與傳統(tǒng)的參數(shù)統(tǒng)計相比，有以下優(yōu)點：1、非參數(shù)統(tǒng)計方法要求的假定條件比較少，因而它的適用范圍比較廣泛。2、多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計方法要求的運算比較簡單，可以迅速完成計算取得結果，因而比較節(jié)約時間。3、大多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計方法在直觀上比較容易理解，不需要太多的數(shù)學基礎知識和統(tǒng)計學知識。4、大多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計方法可用來分析如象由等級構成的數(shù)據(jù)資料，而對計量水準較低的數(shù)據(jù)資料，參數(shù)統(tǒng)計方法卻不適用。5、當推論多達3個以上時，非參數(shù)統(tǒng)計方法尤具優(yōu)越性。相對缺點非參數(shù)統(tǒng)