1、第10章 彎曲變形與簡單超靜定梁10.1梁的變形和位移梁在載荷作用下, 即使具有足夠的強度, 如果其變形過大, 也可能影響梁的正常工作。 例如: 齒輪傳動軸的變形過大, 會影響齒輪的嚙合(圖10-1); 起重機大梁的變形過大, 會在起重機行駛時發(fā)生劇烈的振動等。 因此, 對梁的變形有時需要加以限制, 使它滿足剛度的要求。 與上述情況相反, 有時則要利用梁的變形來達到一定的目的。 有些機械零件, 例如車輛上的疊板彈簧, 就是利用它的變形來減輕撞擊和振動的影響的。 此外, 在求解超靜定梁時, 必須考慮梁的已知變形條件才能求解。 為了解決上述問題, 需要研究梁的變形。 本章將只研究對稱彎曲下梁的變形

2、, 并主要限于等直梁的情況。 首先說明工程計算中如何度量梁的變形。 梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。 由于工程中梁的變形大都屬于彈性變形, 故撓曲線又稱為彈性曲線。 對于對稱彎曲下的梁, 其撓曲線是一條在外力作用平面內的光滑連續(xù)的平面曲線(圖10-2)。 梁變形時, 軸線上的點即橫截面的形心將產(chǎn)生線位移。 由于工程中梁的變形一般都很小, 撓曲線為一平坦的曲線, 因而此位移沿變形前梁軸線方向的分量與其鉛垂方向分量相比很小, 可以忽略不計。 這樣就可認為梁軸線上點的線位移垂直于梁變形前的軸線, 此線位移稱為該點的撓度。 例如圖10-2中的CC為梁變形前軸線上C點的撓度。 由平面假設可知, 梁的橫截面在梁

3、變形后仍保持為平面, 它繞中性軸發(fā)生轉動, 但仍垂直于梁變形后的軸線即撓曲線。 這說明梁變形時, 除了橫截面形心有線位移外, 橫截面本身還有角位移, 此角位移稱為橫截面的轉角。 例如圖10-2中的C為橫截面C的轉角。 轉角和撓度這兩種位移都能反映梁彎曲變形的大小, 故工程計算中就用它們來度量梁的變形。 撓度的常用單位是mm(毫米), 轉角的單位是rad(弧度)。 為了描述梁的撓度和轉角, 須選用一定的坐標系統(tǒng)。 一般將坐標原點取在梁的左端, 并取梁變形前的軸線為x軸, 與它垂直且在撓曲線所在平面內的軸為w軸, 它們分別以向右和向上為正向(圖10-2)。 于是, 梁的撓曲線可以用函數(shù)w=f(x)

4、(a)來表示。 它表示了梁變形前軸線上任一點的橫坐標x與該點撓度w之間的關系, 通常稱為撓曲線方程。 由幾何學原理及轉角定義可知, 距原點為x處的橫截面的轉角就等于撓曲線在同一x坐標處切線的傾角(例如圖10-2中的C), 而此傾角的正切與撓曲線函數(shù)有下述關系因為撓曲線為一平坦的曲線, 值很小, 故有tan(c)由式(b)、式(c)兩式可見, 梁橫截面的轉角應為式(d)表明轉角可以足夠精確地從撓曲線方程(a)對x求一次導數(shù)得到。 它表示梁橫截面位置的x與該截面的轉角之間的關系, 通常稱為轉角方程。 在圖10-2所示的坐標系統(tǒng)中, 撓度w以向上為正, 向下為負; 轉角則以逆時針轉向為正, 順時針轉

5、向為負。 為了具體求得梁的撓曲線方程和轉角方程, 還必須建立梁的變形與載荷之間的物理關系。 在上一章中已經(jīng)得到了梁在純彎曲情況下和線彈性范圍內用曲率表示的梁軸線的彎曲變形公式, 即由于式中的彎矩M等于外力偶矩Me, 故結合梁的撓曲線的定義可知, 此公式實際上是以曲率表達了梁的撓曲線與載荷之間的關系。 在橫力彎曲情況下, 梁的橫截面上除了有彎矩, 還有剪力, 后者會使梁產(chǎn)生附加的彎曲變形。 由于對常見的細長梁來說, 這種附加的彎曲變形可以忽略不計, 故上式仍可應用于橫力彎曲。 但應注意, 此時彎矩和曲率半徑都是x的函數(shù), 即式中, 彎矩M(x)是梁任一橫截面上的彎矩表達式, 它是由梁上載荷表示的

6、。 為了從上式建立彎矩與撓度、 轉角之間的關系, 必須先將曲率與撓度、 轉角10.2梁的撓曲線近似微分方程及其積分聯(lián)系起來。 由微分學可知, 平面曲線上任一點的曲率為將式(b)的關系代入式(a), 可得上式是二階非線性微分方程。 在平坦的撓曲線中, 轉角=是個很小的量, 故()2與1相比就可以忽略不計, 于是式(c)可簡化為現(xiàn)在討論式(d)中正、 負號的選擇問題。 式中的 的正、 負號應根據(jù)彎矩正、 負號規(guī)定與選定的坐標系來確定。 由圖10-3a可見, 當彎矩為正值時, 撓曲線為凹向, 其二階微分 亦為正值; 由圖10-3b可見, 當彎矩為負值時, 撓曲線為凸向, 其二階微分為 負值。 由此可

7、見, 對于所選定的坐標系, M與 恒為同號。 顯然在式(d)中應取正號。 于是得通常稱此式為梁的撓曲線近似微分方程。 根據(jù)公式(10-1a), 即可進一步計算梁的撓度和轉角。 下面就等直梁的情況來介紹用積分運算的過程。 對于等直梁, EIz為常量, 公式(10-1a)也可改寫為還可由上節(jié)中的式(d)和此式得將上式兩邊各乘以dx, 然后積分一次, 可得EIz=M(x)dx+C(10-2a)將=代入上式, 再積分一次, 即得EIzw=M(x)dxdx+Cx+D(10-2b)上面兩式中的積分常數(shù)C、 D可以通過梁上的已知位移(撓度或轉角)條件來確定。 這種已知條件稱為梁的邊界條件。 例如梁在固定端處

8、的撓度和橫截面的轉角都等于零, 在鉸支座截面處的撓度等于零。 積分常數(shù)確定以后, 將它們代入式(10-2a)和式(10-2b), 即分別得到梁的轉角方程和撓曲線方程。 于是可進一步確定梁上任一橫截面的轉角和軸線上任一點的撓度。 工程中對于梁在指定截面處的撓度常用f表示。 從上節(jié)幾個例題可以看出, 梁的轉角方程和撓度方程是梁上載荷的線性齊次函數(shù), 這是由于梁的變形通常很小, 梁變形后, 仍可按原始尺寸進行計算, 而且梁的材料符合胡克定律。 在此情況下, 當梁上同時有幾個載荷作用時, 由每一個載荷所引起的轉角和撓度不受其他載荷的影響。 這樣, 就可應用疊加法。 用疊加法求梁的轉角和撓度的過程是:

9、先分別計算每個載荷單獨作用下所引起的轉角和撓度, 然后分別求它們的代數(shù)和, 即得這些載荷共同作用時梁的轉角和撓度。 疊加法雖然不是一個獨立的方法, 但它對于計算幾個載荷作用下梁指定截面的轉角或指定點的撓度是比較簡便的。 為了便于應用, 表10-1中節(jié)錄了簡單載荷作用下梁的轉角和撓度。 10.3疊加法求梁的轉角和撓度前已指出, 為了保證梁能正常工作, 除了應使其滿足強度要求外, 有時還應使它滿足剛度要求。 這就要求梁的最大撓度值wmax或最大轉角值max或某一指定截面的轉角值不得超過它們的許用值w、 , 即wmaxw(10-3)或max(10-4)上面兩式即梁的剛度條件。 在各類工程中, 根據(jù)梁

10、的工作要求, 在設計規(guī)范中對w或一般都有具體的規(guī)定。 例如: 吊車大梁的許用撓度w=()L, L為梁的跨度; 齒輪軸在裝齒輪處的許用轉角=0.001rad。 在工程計算中, 一般是根據(jù)強度條件選擇梁的截面, 然后再對梁進行剛度校核。 10.4梁的剛度校核提高梁剛度的一些措施10.4.1梁的剛度校核當梁的剛度不足時, 可以根據(jù)影響梁變形大小的各有關因素, 采取如下一些措施來提高梁的剛度。 1.增大梁的抗彎剛度梁的抗彎剛度包含橫截面的慣性矩Iz和材料的彈性模量E兩個因素, 下面對它們分別進行討論。 梁的變形與橫截面的慣性矩成反比, 故增大慣性矩可以提高梁的剛度, 例如可采用工字形、 箱形、 環(huán)形等

11、合理截面。 這與提高梁的強度的辦法是類似的。 但兩者也有區(qū)別。 為了提高梁的強度, 可以將梁的局部截面的慣性矩增大, 即采用變截面梁; 但這對提高梁的剛度則收效不大。 這是因為梁的最大正應力只決定于最大彎矩所在的截面的大小, 而梁在任一指定截面處的位移則與全梁的變形大小有關。 因此, 為了提高梁的剛度, 必須使全梁的變形減小, 因而應增大全梁或較大部分梁的截面慣性矩才能達到目的。 梁的變形還與材料的彈性模量E成反比。 采用E值較大的材料可以提高梁的剛度。 但必須注意, 在常用的鋼梁中, 為了提高強度可以采用高強度合金鋼, 而為了提高剛度, 采取這種措施就沒有什么意義。 這是因為與普通碳素鋼相比

12、, 高強度合金鋼的許用應力值雖較大, 10.4.2提高梁剛度的一些措施但彈性模量E值則是比較接近的。 2.調整跨度梁的轉角和撓度與梁的跨度的n次方成正比, 跨度減小時, 轉角和撓度就會有更大程度的減小。 例如均布載荷作用下的簡支梁, 其最大撓度與跨度的四次方成正比, 當其跨度減小為原跨度的1/2時, 則最大撓度將減小為原撓度的1/16。 故減小跨度是提高梁的剛度的一種有效措施。 在有些情況下, 可以增設梁的中間支座, 以減小梁的跨度, 從而可顯著地減小梁的撓度。 但這樣就使梁成為超靜定梁。 圖10-10a、 b分別畫出了均布載荷作用下的簡支梁與三支點的超靜定梁的撓曲線大致形狀, 可以看出后者的

13、撓度遠較前者為小。 在有可能時, 還可將簡支梁改為兩端外伸的梁。 這樣, 既減小了跨度, 而且外伸端的自重與兩支座間向下的載荷將分別使軸線上每一點產(chǎn)生相反方向的撓度(圖10-11a、 b), 從而相互抵消一部分。 這也就提高了梁的剛度。 例如橋式起重機的桁架鋼梁就常采用這種結構形式(圖10-11c), 以達到上述效果。 超靜定梁與靜定梁相比, 支座增多了, 相應的約束也就增多了。 這種增多的約束也就是多余約束。 相應的力稱為多余約束力。 通常把具有幾個多余約束的梁稱為幾次超靜定梁。 圖10-12a、 b中的梁均為一次超靜定梁, 圖10-12c、 d所示的梁分別為二次和三次超靜定梁。 為了求得超

14、靜定梁的全部約束力, 與求解拉壓超靜定問題類似, 需要綜合考慮梁的變形、 物理和靜力學三個方面。 約束力求得以后, 其余的計算與靜定梁的完全相同。 下面以圖10-13a所示的等直梁為例, 說明超靜定梁的解法。 此梁具有一個多余約束, 故為一次超靜定梁。 假設支座B為多余約束, 并設想將它去掉, 而代之以未知的多余約束力FB。 這樣就得到受均布載荷和多余約束力FB作用的懸臂梁(圖10-13b)。 這種去除多余約束后, 受原來的載荷及多余約束力作用的靜定梁稱為原超靜定梁的相當系統(tǒng)。 要使相當系統(tǒng)與原超靜定梁完全一致, 就必須使它們兩者的變形情況相同。 由于原超靜定梁在多余約束B處10.5簡單超靜定

15、梁的解法與約束情況相協(xié)調的變形條件是該處的撓度等于零, 故懸臂梁在B點處的撓度也應等于零, 即wB=0(a)上述懸臂梁B點處的撓度wB可以采用疊加法計算。 以wBq和 分別表示均布載荷和FB單獨作用時B點的撓度(圖10-13c、 d), 則將式(b)的關系代入式(a), 得這就是本問題的變形幾何方程, 式中的wBq和可以由表10-1求得為式(d)、 式(e)兩式就是本問題的物理關系。 將它們代入式(c), 即得補充方程為由此式可解得多余約束力為多余約束力求得以后, 其余的約束力FA和MeA(圖10-14a)即可在相當系統(tǒng)上按靜力平衡方程求得為各個約束力求得以后, 即可作梁的剪力圖和彎矩圖(圖10-14b、 c), 并進一步求最大應力。 至于變形的計算也應在相當系統(tǒng)上進行, 這與前面對靜定梁的變形計算完全相同。 應該指出, 在超靜定梁中, 多余約束是可以任意選取的, 其原則是便于求解。 對于同一超靜定梁, 如果選取的多余約束不同, 則相應的相當系統(tǒng)、 變形幾何方程和補充方程也隨之不同, 但解得的全部約束力則是相同的。 例如對上述超靜定梁, 也可以選取