1、淺議異面直線距離求解方法638404 四川省武勝中心中學(xué)校 段 方 建求異面直線的距離問題，是立體幾何中的一個重、難點。在現(xiàn)行教材中占有十分重要的地位，但學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到此類問題時，常感到困難，無所適從。本文就人教版高中數(shù)學(xué)第二冊（下B）的習(xí)題9.8第4題求解方法的分析、探討。歸納了幾種求異面直線的距離問題的常用方法，僅供參考。題目：已知正方體的棱長為1，求直線與的距離。利用定義求異面直線的距離利用定義求異面直線的距離，首先應(yīng)作出異面直線的公垂線段，或轉(zhuǎn)化為線面、面面距離求解，則要求作出線面、面面距，并證明。然后再將其放置于平面幾何圖形中利用相關(guān)策略求解，解答的關(guān)鍵是要找到所求的“線段”，按“

2、作”、“證”、“求”的步驟求解。 解：如圖，連結(jié)，則面，連結(jié)分別與交于連，過作于 又 面 因此即為直線與的距離.在中，可求得利用向量方法求異面直線的距離利用向量方法求異面直線的距離，首先要針對題目要求建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，然后求出兩條異面直線的公共法向量，再計算兩條異面直線上各取一點連結(jié)的線段在公共法向量上的射影長，即應(yīng)用求兩條異面直線間的距離.解：如右圖所示，建立空間直角坐標系.可知：設(shè)且即又，故異面直線與的距離是.利用等體積法求異面直線的距離利用等體積法求異面直線的距離，就是說將距離看成幾何體體積表示的一個要素，一般是指可以將其看成高線的時候，可以把幾何體的體積通過換底換高，用不同的方

3、式表示，進而建立方程的辦法求解，其基本思想就是利用體積不變性。解：因為直線平面，且平面，所以直線與平面之間的距離即為與的距離.設(shè)到平面的距離為，連結(jié).由 得：.故異面直線與的距離是. 四、利用異面直線間距離公式求異面直線的距離利用異面直線間距離公式求異面直線的距離，關(guān)鍵就是要找準公式中所涉及的相關(guān)量，并準確運用列方程求解. 解：設(shè)是異面直線與的公垂線段，長為設(shè)，易知：直線與所成的角為，又=1， 由異面直線間距離公式得：解之得：. 所以異面直線與的距離是. 五、利用函數(shù)求異面直線間的距離利用函數(shù)求異面直線間的距離，就是在兩條異面直線上任取兩點連結(jié)的線段中，最短的線段就是異面直線間的距離，為此可將

4、兩條異面直線上任取兩點連結(jié)的線段，通過設(shè)置變量，表示成函數(shù)，通過對函數(shù)最小值的探究，解決問題，但這種方法有一定的難度。 解：設(shè)是上任意一點，作于 作于由三垂線逆定理可知： 設(shè).在Rt中，當時，取得最小值.即異面直線與的距離是.通過上述求解分析我們可以看出，異面直線距離問題的求解，終歸還是在于對數(shù)學(xué)知識的把握，以及在立體幾何中化歸、轉(zhuǎn)化思想的運用。在解題過程中要注意挖掘題中、圖中的隱含條件，多層次審題、多角度識圖，在注意向量的工具性的同時要積極提升邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和語言表達能力。“函數(shù)的單調(diào)性”課例一.教材分析1地位及重要性函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)屬高中數(shù)學(xué)第一冊(上)的必修內(nèi)容，在

5、高考的重要考查范圍之內(nèi)。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，也是在研究函數(shù)時經(jīng)常要注意的一個性質(zhì)，并且在比較幾個數(shù)的大小、對函數(shù)的定性分析以及與其他知識的綜合應(yīng)用上都有廣泛的應(yīng)用。通過對這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性的概念和證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，又可加深對函數(shù)的本質(zhì)認識。也為今后研究具體函數(shù)的性質(zhì)作了充分準備，起到承上啟下的作用。2教學(xué)目標(1)了解能用文字語言和符號語言正確表述增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念；(2)了解能用圖形語言正確表述具有單調(diào)性的函數(shù)的圖象特征；(3)明確掌握利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法與步驟；并能用定義證明某些簡單函數(shù)的單調(diào)性；(4)培養(yǎng)學(xué)生

6、嚴密的邏輯思維能力、用運動變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法去分析和處理問題，以提高學(xué)生的思維品質(zhì)；同時讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的藝術(shù)美，養(yǎng)成用辨證唯物主義的觀點看問題。3教學(xué)重難點重點是對函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)概念的本質(zhì)理解。難點是利用函數(shù)單調(diào)性的概念證明或判斷具體函數(shù)的單調(diào)性。二.教法解析根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容及學(xué)生的實際水平，我嘗試運用“問題解決”與“多媒體輔助教學(xué)”的模式。力圖通過提出問題、思考問題、解決問題的過程，讓學(xué)生主動參與以達到對知識的“發(fā)現(xiàn)”與接受，進而完成對知識的內(nèi)化，使書本知識成為自己知識；同時也培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。三.學(xué)法探究在教學(xué)過程中，教師設(shè)置問題情景讓學(xué)生想辦法解決；通過教師的啟發(fā)點撥，學(xué)

7、生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結(jié)到判斷函數(shù)的單調(diào)性。然后通過對函數(shù)單調(diào)性的概念的學(xué)習(xí)理解，最終把問題解決。整個過程學(xué)生學(xué)生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態(tài)活動之中；同時讓學(xué)生體驗到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和以嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度研究問題的習(xí)慣。四.導(dǎo)學(xué)過程通過設(shè)置問題情景、課堂導(dǎo)入、新課講授及終結(jié)階段的教學(xué)中，我力求培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力，以點撥、啟發(fā)、引導(dǎo)為教師職責。(一)設(shè)置問題情景引例學(xué)校準備建造一個矩形花壇，面積設(shè)計為16平方米。由于周圍環(huán)境的限制，其中一邊的長度長不能超過10米，短不能少于4米。記花壇受限制的一邊長為x米，半周長為y米。(1) 寫出y與x的函數(shù)表

8、達式；(2) 求(1)中函數(shù)的最大值。（用多媒體出示問題，并讓學(xué)生思考）通過問題情景的設(shè)置主要是為了達到以下兩個目的：第一問為了復(fù)習(xí)回顧函數(shù)的表達式；思想目標：通過本節(jié)課的教學(xué)，啟示學(xué)生養(yǎng)成細心觀察、認真分析嚴謹論證的良好習(xí)慣.通過第二問激發(fā)學(xué)生對探索研究、學(xué)習(xí)新知識的熱情，為導(dǎo)人新課及順利完成教學(xué)任務(wù)做了思想上的準備。(一)揭示課題，導(dǎo)入新課通過對第二問的分析知，要解決問題只要搞清函數(shù)的函數(shù)值y隨x的變化情況即可。接著用多媒體給出函數(shù)的圖象,讓學(xué)生利用初中所學(xué)的知識,結(jié)合圖象觀察得出函數(shù)值y隨x的變化情況,初步概括出增函數(shù)與減函數(shù)的概念。但僅從圖象看顯然不過嚴密，我們必須對它進行系統(tǒng)的、科學(xué)

9、的研究。(板書課題)(二)講授新課在上述的基礎(chǔ)上進一步啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言歸納出增函數(shù)、減函數(shù)的概念，教師進行補充，接著用多媒體顯示增函數(shù)、減函數(shù)的定義。緊接著引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合教材中的圖29（或用多媒體給出的屏幕）仔細體會定義中的兩個簡單不等關(guān)系“”和“或”，它刻劃了函數(shù)遞增或遞減的性質(zhì)。這就是數(shù)學(xué)魅力！對定義作了初步分析以后，指導(dǎo)學(xué)生再次閱讀和分析定義，同時教師提出以下問題：定義中的關(guān)鍵詞語是哪些？（學(xué)生思索）教師在學(xué)生思索過程中進行一次有感情地朗讀定義，并在關(guān)鍵詞語處加重語氣，學(xué)生感到困難時，給以適當?shù)奶崾尽＃ㄟ@一環(huán)節(jié)是學(xué)生正確地、深入地理解概念的關(guān)鍵，教師應(yīng)該啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生如何深入理解一

10、個概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認識問題的能力）通過學(xué)生的分析討論得出以下幾個關(guān)鍵詞語：(1)“定義域內(nèi)某個區(qū)間”（多媒體中對這八個字用紅色顯示）。這里包含兩層意思：第一函數(shù)的單調(diào)性只能在定義域內(nèi)討論；第二函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，否則無法討論其單調(diào)性。（教師舉例說明）(2)“任意兩個”和“都有”。就是說這里的在給定區(qū)間上具有任意性，不能用特殊值來判斷函數(shù)的單調(diào)性（要特別強調(diào)），而且只要，則 （或）恒成立。以上兩點讓學(xué)生通過構(gòu)造反例來進一步說明。（通過學(xué)生的積極思維探索，從抽象到具體，并通過反例反襯，使學(xué)生對概念有了本質(zhì)的認識，同時也鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力）接著教師作以下闡述：反

11、過來，如果我們已知在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么，我們就可以通過自變量的大小去判斷函數(shù)值的大小，也可以有函數(shù)值的大小去判斷自變量的大小，即一般成立則特殊成立，反之不然，這恰是辨證法中一般和特殊的關(guān)系。（用辯證法的原理來解釋數(shù)學(xué)知識的同時，用數(shù)學(xué)知識去理解辯證法的原理，這樣分析有助于深入地理解和掌握概念，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力）學(xué)生看書了解單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的有關(guān)概念。(三)知識的應(yīng)用例1：（用多媒體給出書中P59頁例1）通過對本例的解答達到以下目的：（1）會根據(jù)圖象寫單調(diào)區(qū)間；（2）明確區(qū)間的端點值不影響函數(shù)在這一區(qū)間上的單調(diào)性。例2：（書P59例2多媒體給出）借助函數(shù)的圖象看單調(diào)性既形象又

12、直觀，是一個好辦法，但是在理論上不夠嚴密，尤其是不易畫出圖像的函數(shù)，因此我們還必須學(xué)會根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑。（指出用定義證明的必要性）提問：怎樣用定義來證明呢？學(xué)生思索并動筆，教師不斷點撥啟發(fā)，最后師生共同完成（教師認真規(guī)范地板書證明過程，以對學(xué)生起到示范作用）回顧解題過程達到以下要求：(1) 總結(jié)歸納出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（用多媒體給出）。(2) 變式訓(xùn)練：討論函數(shù)（為常數(shù)，且）。通過變式訓(xùn)練使學(xué)生認識到一次函數(shù)的單調(diào)性決定于一次項系數(shù)，同時訓(xùn)練了學(xué)生進行分類討論的重要數(shù)學(xué)思想。經(jīng)過以上兩例使學(xué)生鞏固定義，初步具備解決相關(guān)問題的能力。(四)終結(jié)階段(1) 課堂練習(xí),鞏固概念,強化學(xué)生對這節(jié)課的掌握。練習(xí)為書本中P60頁第一、二題，其中第一題學(xué)生口答，第二題叫一位中等學(xué)生板演。教師及時點評。(2) 與學(xué)生一起解決引例中的第二問。并作以下變式：求函數(shù)的值域。（學(xué)生課后思考，為下節(jié)課作鋪墊）(3) 課堂小結(jié)（內(nèi)容由多媒體給出）通過小結(jié)使學(xué)生理清本節(jié)課的重難點。(4) 布置作業(yè)書本P64頁