1、9.3 冪法和反冪法9.3.2 反冪法和原點位移9.3.1 冪法和加速方法冪法是一種計算矩陣的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量的迭代方法。適合于大型稀疏矩陣反冪法是計算Hessenberg陣或?qū)顷嚨膶?yīng)一個給定近似特征值的特征向量的有效方法.9.3.1 冪法和加速方法 在一些工程，物理問題中，通常只需要我們求出矩陣的按模最大的特征值(稱為A的主特征值)和相應(yīng)的特征向量，對于解這種特征值問題，應(yīng)用冪法是合適的。 冪法是一種計算n階實矩陣A的主特征值的一種迭代法，它最大的優(yōu)點是方法簡單，對稀疏矩陣較合適，但有時收斂速度很慢 冪法的基本思想是任取一個非零的初始向量 ，由矩陣A構(gòu)造一向量序列vkk=

2、0,1,2,n(3.1) 稱為迭代向量由此計算按摸最大的特征值和特征向量。 例1 設(shè)實對稱矩陣A為利用冪法求A的按模最大特征值。解：直接求解A的特征方程得利用冪法求A的按模最大特征值，任取迭代公式為考慮兩個相鄰向量相應(yīng)分量之比即兩相鄰迭代向量的對應(yīng)非零分量的比值一定收斂到主特征值？不一定. 先討論以下情況：(設(shè) ), (3.2)于是 其中由假設(shè)，知從而即兩個相鄰迭代向量的對應(yīng)非零分量成比例,且主特征值為即兩相鄰迭代向量的對應(yīng)非零分量的比值收斂到主特征值. 這種由已知非零向量 及矩陣A的乘冪 構(gòu)造向量序列 計算A的主特征值 及相應(yīng)特征向量的方法稱為冪法。(3.3)(3.4)由(3.3)式知， 的

3、收斂速度由比值 來確定 越小收斂越快，但當(dāng) 1時收斂可能就很慢. 總結(jié)上述討論，有 定理1設(shè) 有 個線性無關(guān)的特征向量，主特征值 滿足 ， 則對任何非零初始向量 ，均成立兩種特殊情況例1屬于第一種情況的討論。 一般地， 1. 若迭代向量的各分量單調(diào)變化且有關(guān)系式 則屬于第一種情況。 2.若迭代向量的各分量不是單調(diào)變化，且有關(guān)系式 則屬于第二種情況。(3.5)（或趨于零），這樣造成計算機(jī)中的“溢出”。為了克服這個問題，利用向量的方向與長度無關(guān)這一性質(zhì), 將迭代向量的長度規(guī)范化以改進(jìn)冪法。用冪法計算A的主特征值及對應(yīng)的特征向量時,如果 ,迭代向量的各個不等于零的分量將隨 而趨于無窮所謂向量長度規(guī)范

4、化,就是將向量的分量同除以一個常數(shù),使向量長度為1,向量長度有多種度量法,可以采用 或 ,，其中i0為所有絕對值最大的分量中最小的指標(biāo)。3. 冪法的改進(jìn)任取初始向量：迭代規(guī)范化則有迭代向量序列 及規(guī)范化向量序列 。由(3.7)及(3.8)式有 (1) 對規(guī)范化向量序列:先考慮 與計算 的關(guān)系。由于及其中于是， (2) 對迭代向量序列:即 絕對值最大的分量當(dāng) 時，趨向于特征根 。注意：改進(jìn)的冪法中主特征值 不是兩相鄰迭代向量 的對應(yīng)非零分量的比值。 （2）設(shè)A特征值滿足 定理 2 （1）設(shè) 有n個線性無關(guān)的特征向量；且 （3） 及 由改進(jìn)冪法得到的規(guī)范化向量序列序列(3.7)式),則有且收斂速度

5、由比值 確定。及迭代向量改進(jìn)的冪法下面我們把改進(jìn)的冪法簡稱為冪法。用（改進(jìn)的）冪法求矩陣A的主特征值和主特征向量的步驟：第一步：由vu，計算第二步：由v1,u1，計算第三步：判斷解： 取初始向量 ,按(3.7)迭代5次得到數(shù)據(jù)如下 表: k (規(guī)范化向量) 0 1 1 1 1 1 1 1 0.2143 0.4821 1 12.00 27.00 56.00 2 0.1875 0.4483 1 8.357 19.98 44.57 3 0.1860 0.4463 1 8.168 19.60 43.92 4 0.1895 0.4460 1 8.157 19.57 43.88 5 0.1859 0.44

6、60 1 8.156 19.57 43.88 例2：用冪法計算下面矩陣的主特征值及對應(yīng)的特征向量。對應(yīng)的特征向量為:故按模特征值為:例3 用冪法求矩陣的主特征值和主特征向量. K 0 (1.0000,1.0000,1) 1 (0.9091,0.8182,1) 2.7500000 5 (0.7651,0.6674,1) 2.5887918 10 (0.7494,0.6508,1) 2.5380029 15 (0.7483,0.6497,1) 2.5366256 20 (0.7482,0.6497,1) 2.5365323 表9-1有效數(shù)字。3. Rayleigh商加速9.3.2 反冪法和原點位移

7、 反冪法是計算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相應(yīng)特征向量的最有效的方法。計算A的按模最小的特征值 的問題就是計算A-1按模最大的特征值 問題。反冪法迭代公式：任取初始向量，設(shè) 為非奇異矩陣,A的特征值滿足： ,對應(yīng)特征向量 線性無關(guān)，則A-1的特征值為 ，特征向量1、反冪法用來計算矩陣A按模最小的特征值及對應(yīng)的特征向量若 有n個線性無關(guān)的特征向量且其特征值滿足： 則由反冪法(3.11)構(gòu)造的向量序列 滿足：且收斂速度由比值 確定。 111/45/85/819/1619/1667/3205/8121/167/475/32301/37/67/87/421/1623/869

8、/32由于 的平均值之倒數(shù)為而A的按模最小特征值精確值為可見已獲得了較好的特征值。若A的特征值為 ，則A-pI的特征值為 問題：已知 的特征值 的一個近似值 （通常用其它方法得到），求 對應(yīng)的特征向量 （近似）。如果(A-pI) -1存在,則特征值為對應(yīng)的特征向量2反冪法的一個應(yīng)用取 ，且設(shè) 是離p最近的特征值，即即 ,說明是(A-pI)-1 的主特征根對(A-pI)-1應(yīng)用冪法得到反冪法計算公式：即其中線性方程組取初始向量于是結(jié)論定理4（1)設(shè) 有n個線性無關(guān)特征向量,即 且收斂速度由比值 確定。 （2）取 （為特征值 的一個近似值），設(shè)(A-pI)-1存在序列 滿足：且 ,則由反冪法迭代公

9、式（3.12）構(gòu)造向量值的大體位置時，用此法最合適（該方法是一個有效的方法）。說明: (1)定理4可以計算特征向量xj。當(dāng)知道A的某一個特征（2）取 為特征值 的一個近似值,當(dāng)A的特征值分離情反冪法迭代公式可通過解方程組(A-pI)vk=uk-1來求vk。為了節(jié)況較好時, r 很小,則它本身收斂速度很快。同時改進(jìn)了特征值。省計算量，可先將(A-pI)進(jìn)行三角分解P(A-pI)=LU。其中P為置換陣，于是每次迭代求vk相當(dāng)于求解兩個三角形方程組。取v0=u0,即選u0使Uv1=L-1Pu0=(1,1)T,回代求解即求得v1。小結(jié)：給定的特征值 的一個近似值p，求p對應(yīng)的特征向量 (近似)的步驟：第一步：將(A-pI)進(jìn)行三角分解(A-pI)=LU，(或P(A-pI)=LU，其中P為排列陣）第二步：由Uv1=(1,1,1)T，解方