1、2021年清華大學(xué)語(yǔ)言類(lèi)保送暨高水平藝術(shù)團(tuán)數(shù)學(xué)試卷（含解析）清華大學(xué)2021年語(yǔ)言類(lèi)保送暨高水平藝術(shù)團(tuán)敬學(xué)試題解析一.選擇題：本大墨共7小池，每小建5分.共35分,在暮小屋的M奉逸4中，R有一貨符合墨.已知反觸二二1 + L設(shè)是過(guò)數(shù)二的打輪系敢,虹當(dāng)?shù)扔冢ǎ?TOC o 1-5 h z A. IM. 2C. 3D. J，已知黑合壯二卜|三4旦/門(mén)人=3）,則賽數(shù)等于（）A. 3B, 4, 95 163.已知正整數(shù)數(shù)列滿足4+以=2乩heN*,則/等于f ：A, 23R. 2C. I 或2D. 32 j4.己知橢圓二十匕二】的兩個(gè)魂點(diǎn)分利為工.月金為橢圓上一直,一寫(xiě)/6的平分線與工軸交于16 1

2、2q；E；作0內(nèi) ! 明袋防于，則r用等于（*、 TOC o 1-5 h z A. 3B. 4C. 5D. bI已知【負(fù)父敢珥由滿足0+ b=，則日審+%4+/）的最大傳為1*） M4t49門(mén) 及3日對(duì)一 729A B . C . Da 1625616256配已知的敷F”sin（皿+。）在區(qū)間（4：）上恰布.個(gè)極大值點(diǎn)與個(gè)極小值心，則正發(fā)粒口的取值范圍是 *）7.在四血體。一做中1出用、=。4為三工6，為改的中點(diǎn)，/1，。,11上陀-，購(gòu)四面體口-/俄、外接球的半徑為f * ）A. J1&蘇C, J&D.有二.塌空颼：本大超兵3小胤等小題5%共15瓶.、1).開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 .已知/(x)是

3、定義在R上的偶函數(shù)，且/(2) = 4,當(dāng)x0時(shí)，行4(x) + 2/(x)0,則 /(吧的解集為 .A.在平面直向坐標(biāo)系電中，設(shè)/1。,8(3.4),向量K = .tO/ +)5,其中h = 4動(dòng)點(diǎn)尸 滿可,麗=0,則的最小值為 .三.尋答題：本大題共4小題，/三個(gè)小題每題12分.最后一個(gè)小題14分.共50分.已知/)是公差不等0的等差數(shù)列,且2陰，4的等比中項(xiàng),記數(shù)列叫曲”項(xiàng)和為Z，S7 = 14(1)求數(shù)列%的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)數(shù)外也滿足4=7.比= -川 22,求數(shù)列的前項(xiàng)和7；.在三校臺(tái) 43C-。/中，4814C , AB = 2DE = 2 , /1C = 2V2.CF = 2

4、 . RCF,平面/1蛇，設(shè)2.。./?分別為校力。,&7,長(zhǎng)的中點(diǎn).(1 )證明：平面平面P0A：(H)求一面角E-8D-C的正弦值.已知拋物線C V=2px(P0)的焦點(diǎn)為入準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線與拋物線 C交于48兩點(diǎn),且|E4Hm=|4上|用|.(1)求拋物線C的方程：(H)設(shè)尸,0是拋物線上的不同兩點(diǎn)，且小軸，直線尸。與彳軸交于G點(diǎn)，再在x軸上截 取線段口| = |6。.且點(diǎn)G介于點(diǎn)與點(diǎn)。之間,連接尸E.過(guò)點(diǎn)。作在線尸的平行線/,證明: /為拋物線U的切紋.已知函數(shù)/(X)二巴q.b在點(diǎn)(l,c-l)處的切線與宜戌九X + = O垂直.(1)設(shè)函數(shù)g(x) = V(x)-M,求

5、麗敷g(x)的單調(diào)區(qū)間:(II )證明：e.-Zdnx7l(ln2*0.693,ew2.71828).清華大學(xué)2021年語(yǔ)言類(lèi)保送暨高水平藝術(shù)團(tuán)數(shù)學(xué)試題解析一.選擇題：本大題共7小題.每小題5分，共35分,在每小題的四個(gè)選4中，只有一看符合題 t.已知兌數(shù)二= l + i,設(shè)二是衛(wèi)數(shù)二的共匏紀(jì)數(shù)，則;二普|等于（） TOC o 1-5 h z A. IB. 2C. 3D. 4K答案X A.SJA解析：根據(jù)題意得：三=討=2,所以上與一上守 =1。2rr + l5應(yīng)選：A. .已知集合八卜尸-0卜匹卜占0,此時(shí)/! = （-&。）厚=（1.4）,于是6=3,解得。=9, 應(yīng)選：C. .已知止整數(shù)

6、數(shù)列;滿足9+q=2,w、，則火等于（）A.2或3 B. 2C-I或2 D. 3K答案3 B.SJ A解析：當(dāng)二I時(shí).%+。L2,捏覺(jué)數(shù)列為正整數(shù)數(shù)列，所以q = l：當(dāng) =2時(shí)6=4.于是勺可能取值為1,2,3.當(dāng)外1時(shí).則q+l=4na1-3.矛盾，當(dāng)4 =2時(shí).則+4 =4=%=2符合埋意：當(dāng) q=3 時(shí).則q+ 3 = 4nq = l,而+q =6=/+q =6nq = 3 ,矛盾.琮上所述：=2.應(yīng)選：B. .已知抽閱二+ = 1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為0月/為桶利上一點(diǎn)，4?片的平分線與x油交產(chǎn) 16 12作。43交小于，則I叼等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6R答案X A.SJ A

7、解析：根據(jù)角平分線性質(zhì)得： 黑=黑 =，乂根據(jù)橢捌第一定義得岑| + |/”| = 8,|即|3從而有用=5,|然|=3,注意出用=4,所以吃1萬(wàn)弓，那么5到的距離4 =，于是0到的距離d = ：d = ：x? = o 8 3.|附| = 2,迸而得| 二 |僧卜| = S-2 = 3.應(yīng)選：A. a q.已知非負(fù)實(shí)數(shù)滿足。+方=；.則/+;（4十）的最大值為（）49自 243-81八 729A- 16B- 256C 16D 256K答案為 c.SJ A解析3注盍：一%/ =48一：）而 0Sa8S（W） =5，所以當(dāng)獨(dú)=0時(shí)，卜Yi）L福,當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)。= O.b = g或。=g4=0時(shí)取等號(hào).

8、應(yīng)選：C.已知函數(shù)/（x） = sm（5 + ?）在區(qū)間（0.）上恰有一個(gè)極大侑點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn),則正實(shí)數(shù)。的取值量國(guó)是（）工答案 D.SJ A悌析,.在四面體。-48（中，/8 = 8r = C4=CO = 26為氏 的中點(diǎn)，4 J,。，且。下=3,則四面體。-/蛇外接球的半徑為（）A. y/2B. 6C.卡D. 6K答案 D.SJ 解析3依即意，仃,則又 AELDE, 4EnBC=E,則。_L 平面/?.易求ZU8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，)=3立， 取48。的中心G.過(guò)G作OG/DE,其中。為外接球的球心.過(guò)。作OFLD.垂足為尸，設(shè)球的半徑為/?.。爐=*-3。G = 1,則OG =二

9、J.在他02中，DF = 37r2.4 , OF = 1, OD = R.于是*-1=(3五-4,解得25.nn/?=V5e應(yīng)選 D.8.(舊可,(八1)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.填空題：本大題共3小題，舟小題5分,共15分.K答案 -!.SJ A解析：展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為以c?C(tCCc；(t)、CCC(t)=-5i：屣開(kāi)式中一的系數(shù)GCG (-1) CCC(-, -30,1+ ：-) .(/+1)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-81.應(yīng)填：-81.9.已知/(“是定義在R上的偶函數(shù)，H/(2) = 4,當(dāng)q0時(shí)，有/。)+ 2/。)0.則 /6)2的解集為 .工答案X (y.-2)u(Z4o).SJ 解析，設(shè)

10、 g(x)-x7(x)當(dāng) x0時(shí),有。(x) = xT(x) + 2*(x)0所以函數(shù)g(x)在(0.2)匕單調(diào)遞增.當(dāng) x0 時(shí),有/(x)與og(x)g(2)ox22注意到/(是偶由數(shù)，則原不等式的解集為(一%-2)0(2,內(nèi)) 應(yīng)填：(-2)U(Ny).在平面直角坐標(biāo)系Q中,設(shè)/(L0),8(3,4),向量歷=詼/其中x+y = 4動(dòng)點(diǎn)/ 滿而而=0,則|無(wú)|的技小值為 .工答案坐.5SJ A解析，x = a-b 4b y-由題意得 a： = x(L0) + y(3.4) = (x + 3K4力.八 |ax+3v設(shè)C(6),于是匕.解得又因?yàn)閤+y = 4.所以=即功一8=8 因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)。

11、滿西,河=0.所以點(diǎn)。在以48為仃徑的例上運(yùn)動(dòng).現(xiàn)在問(wèn)題化為，宜線勿-6 = 8上的動(dòng)點(diǎn)C弓回上的動(dòng)點(diǎn)，后也問(wèn)度.記/的中點(diǎn)為A/,則AZ2),|2x2-2-3 6右進(jìn)而歷前F所以I前L=九-如m=竽-同T+erf =孚.另解：(利用等和線求C1的軌跡)易求直線的方程為： = 24-2 （此時(shí)系數(shù)和X+y = l）要系數(shù)和x + y = 4.則點(diǎn)C在百線=勿-8上.應(yīng)填：也.5三.解答題：本大題共4小題，計(jì)三個(gè)小題每題12分，最后一個(gè)小題14分,共50分.已知仇）是公并小等于0的等票數(shù)列.凡見(jiàn)?！?的答比中項(xiàng),記數(shù)列凡前項(xiàng)和為S.S7-I4（1）求數(shù)丹4的通項(xiàng)公式：（1【）設(shè)數(shù)列則滿足a=-i

12、,求教列:婦的侑項(xiàng)和SJ A解析3設(shè)數(shù)列/的公差為由1工0）根據(jù)已知條件得邛q+M-dMD,解得卜： 7q+21d = 14/！2于是4 = W;節(jié) 12時(shí).“Ib 二 r 二1FT2（勿-1） _2-I _ I_l_二（一1）小2-二（1）勿21 -=（-1） L .小2-所以檢驗(yàn)a時(shí)也成立,所以4 =擊心).12.在三核臺(tái)中, 481/K7 . AB = 2DE = 2 , /1C = 2/2.CF = 2 . JICFJ平面ABC，設(shè)尸,。,火分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平曲皮力，平面尸。A: (II )求二面角E8QC的1E弦值.SJ 解析,連接。P,易證四邊形勿叱是矩形在矩形OPC中

13、,lan/Q =兩皿7噬F所以/QPr = NP，又NPCO + NPOC：%)。，所以NQ/ONPS=900,即C0LPQ,肖然CF，平面46。.且/次U平面4 6(，于是CF上網(wǎng), Hi AB L /IC, R PR 為 A/IBC 的中位線,得 PR X AC .JCCICF = C, 則*?，平面4CTO.注意“u平面4CFD,則/次 PQ.又 PQAPR=L 則CD JL 平面 PQR,從而平面flCQ_L平面尸QA：二面角石-叱-C的平間角為但-8。-。)，由三角的余弦定理存：cos(-KD-C) =cos Z.EBC - cos XEBD cos Z.CBD&n NEBD sin

14、2C3D利用平面知識(shí)求卜而用的三角函數(shù)值,cos 乙EBC =: cos ZBD 一- / sin NEBD = .即：772加 77 屈VtocgBD=：寂/看sin“如黑所以 cos(-8Q-G =所以 sin(-8O-C)=?.已知拋物線C V=2(p0)的焦點(diǎn)為八準(zhǔn)線與#軸交于。點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)廠的內(nèi)線與拋物線 C交于48兩點(diǎn)，且IF閥=圖| + |啊.(I)求拋物線的方程：(H )設(shè)P.Q是拋物線C上的不同兩點(diǎn).且爐1 x軸，H線?。與刀加交于G點(diǎn).再在x軸|：裁 取線段| = |GD|J(，|J點(diǎn)。之間.連接從過(guò)點(diǎn)。作直線/N的平彳J線/,證明: /為拋物線。的切線.SJ A解析，(I )

15、簡(jiǎn)小可一下，I丹卜1網(wǎng)=1旦+1網(wǎng)=占+占=L所以0=2,拋物線方程為二4.(II )如圖，不妨設(shè)點(diǎn)尸。,2),。1闖(/ 證明：c-irlnN-xl(ln2ko.693,c = 2.71828).SJ A解析：(i)/，(加6一學(xué)士由題意得：/(i)-c-tr(i)-Lc-a+b=c-1即二解得aLb=0.于是/(“)所以 g(x) = /T-x，(*O),當(dāng)x0恒成立.此時(shí)函數(shù)g(x)電調(diào)遞增:當(dāng)x0時(shí).g(*) = 1-2x(e-2)x0恒成立，此時(shí)函數(shù)g(x)系謝遞增,綜I：所述：函數(shù)K(”的單調(diào)增區(qū)間為(f.O)、(O.xo).無(wú)誠(chéng)區(qū)間:(H)(切找分割法，凹凸轉(zhuǎn)換)方案I： 問(wèn)融化為證明：Wrw(0,yo),亡U2x + c-2x + 2ln2-1221nxM.方案2, 問(wèn)題化為證明：Vxw(O.+x5), 一關(guān)x2lnx+l.等等我們以方案2為例設(shè)G(x) = 21ml.求該函數(shù)過(guò)原點(diǎn)(0.0)的切線方程.設(shè)切點(diǎn)(與J。).叩=2,則g，(/)=2, xx0切線方程為：y-2(x-1)+2加5 %若過(guò)原點(diǎn)(0,0).則0 = (0-xJ+21n% + l,解得天=丘.T是切線方程為：y = 0,當(dāng)然G(x) = Y0,于是函數(shù)G(x