1、讓更多的孩子得到更好的教育角（提高）知識(shí)講解責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；4. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的概念1 角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊如圖 1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn) O，邊是射線 OA、OB圖 1 圖 2（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部如圖 2所示，射線 OA繞它的端點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)到

2、 OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置 OA是角的始邊，終止位置 OB是角的終邊要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)（2）平角與周角：如圖 1所示射線 OA繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置 OB和起始位置 OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖 2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和 OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“”表示，角的表示法通常有以下四種：地址：北京市西城區(qū)新德街 20號(hào) 4層 電話傳真第 1 頁(yè) 共 9 頁(yè)讓更多的孩子得到更好的教育要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字

3、母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母3.角的畫法（1）用三角板可以畫出 30、45、60、90等特殊角（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角要點(diǎn)二、角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成 360等份，每一份就是 1的角，11 1的 為 1分，記作“1”，1的 為 1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位60 60 的角的度量制，叫做角度制1周角360，1平角180，160，160要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單

4、位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于 60時(shí)要向高一位進(jìn)位要點(diǎn)三、角的比較與運(yùn)算1.角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種方法 1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法 2：疊合比較法把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較如比較AOB和AOB的大?。?如下圖，由圖（1）可得AOBAOB；由圖(2)可得AOBAOB；由圖(3)可得AOBAOB地址：北京市西城區(qū)新德街 20號(hào) 4層 電話傳真第 2 頁(yè) 共 9 頁(yè)讓更多的孩子得到更好的教育2.角的和、差運(yùn)算如圖所示，AOB是1與2的和，記作：AOB1+

5、2；1是AOB與2的差，記作：1AOB-2要點(diǎn)詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))(2) 利用三角板除了可以做出 30、45、60、90外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出 15，75，105，120，135，150，165的角3.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線如圖所示，OC是AOB的角平分線，AOB2AOC2BOC，1AOCBOC = AOB2要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)

6、繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線 OA的方向是北偏東 60；射線 OB的方向是南偏西 30這里的“北偏東 60”和“南偏西 30”表示方向的角，就叫做方位角要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北 4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東 60”一般不說(shuō)成“東偏北 30” （3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向（4）圖中的點(diǎn) O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以 O為端點(diǎn)要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有 12個(gè)大格，把周角 12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng) 3

7、0的角，分針 1分鐘轉(zhuǎn) 6，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn) 30，時(shí)針 1分鐘轉(zhuǎn) 0.5，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題地址：北京市西城區(qū)新德街 20號(hào) 4層 電話傳真第 3 頁(yè) 共 9 頁(yè)讓更多的孩子得到更好的教育【典型例題】類型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能畫出多少個(gè)小于 180的角，試一一畫出來(lái)【思路點(diǎn)撥】首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有 30，45，60，90這樣 4個(gè)不相等的角，利用這些角進(jìn)行一次和差，可得小于 180的所有角【答案與解析】解：除了可以畫 30，45，60，90外，還可畫 15，75，105，120，135，1

8、50，165的七個(gè)度數(shù)的角，畫法如圖所示【總結(jié)升華】利用一副三角板共可以畫出 11 個(gè)度數(shù)的角，分別是：30，45，60，90，15，75，105，120，135，150，165舉一反三：【變式】（2015 春成武縣期末）下列說(shuō)法中，正確的是（）A兩條射線組成的圖形叫做角B有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C角可以看做是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D角可以看做是由一條線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形【答案】C類型二、角度制的換算2. 計(jì)算下列各題：(1)1524912+20.18； (2)82-364215；(3)3536479； (4)41373【答案與解析】解：(1)解法一：

9、20.18201048地址：北京市西城區(qū)新德街 20號(hào) 4層 電話傳真第 4 頁(yè) 共 9 頁(yè)讓更多的孩子得到更好的教育即：1524912+20.18173解法二： 1524912152.82， 152.82+20.18173即：1524912+20.18173(2)將 82化為 815960，則 82-36421545174542373， 324+7531， 3536479320313 41373=135220【總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進(jìn)行計(jì)算；在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)

10、，將結(jié)果滿 60進(jìn) 1，滿 60進(jìn) 1；對(duì)于除法運(yùn)算則是從度開(kāi)始除，將余數(shù)化為分和以前的分?jǐn)?shù)相加再除，將余數(shù)再化成秒和以前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往往四舍五入舉一反三：【變式】計(jì)算：(1)234536+661424；(2)180-982430；(3)1550423； (4)8814484【答案】(1)234536+66142490；(2)180-982430813530；(3)155042347326；(4)881448422342類型三、角的比較與運(yùn)算3. 如圖所示表示兩塊三角板地址：北京市西城區(qū)新德街 20號(hào) 4層 電話傳真第 5 頁(yè)

11、 共 9 頁(yè)讓更多的孩子得到更好的教育(1)用疊合法比較1，2 的大小；(2)量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的 6 個(gè)角從小到大排列，然后用“”或“”連接【答案與解析】解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得1，用同樣的方法，可得2所以21(2)用量角器量出圖中各個(gè)角的度數(shù)，分別是1245，390，30，60，90，把它們從小到大排列，有123【總結(jié)升華】比較角的大小有疊合法和度量法兩種：先將兩個(gè)角的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，一條邊與一條邊重合再比較先量出每個(gè)角的度數(shù)，然后按它們的度數(shù)來(lái)比較舉一反三：【變式】如圖，AOB 的平分線 OM,ON 為MOA 內(nèi)的一條射線，OG 為AOB 外的一1條射線.

12、某同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析，得到一個(gè)關(guān)系式是MON （BONAON），你認(rèn)2 為這個(gè)同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請(qǐng)把得到這個(gè)結(jié)論的過(guò)程寫出來(lái).【答案】解：正確，理由如下：AOB 的平分線 OM，AOMMOB又MONAOMAON=MOBAON=(BONMON) AON即有MONBONMON AON 2MONBONAON1MON （BONAON）2地址：北京市西城區(qū)新德街 20號(hào) 4層 電話傳真第 6 頁(yè) 共 9 頁(yè)讓更多的孩子得到更好的教育4. (武漢武昌區(qū)期末調(diào)研考試)已知點(diǎn) O 是直線 AB 上的一點(diǎn)，COE90，OF 是AOE 的平分線(

13、1)當(dāng)點(diǎn) C、E、F 在直線 AB 的同側(cè)(如圖所示)時(shí)試說(shuō)明BOE2COF；(2)當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn) E、F 在直線 AB 的兩旁(如圖所示)時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；(3)將如圖中的射線 OF 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) m(0m180)，得到射線 OD，設(shè)2nAOCn，若BOD ，則DOE 的度數(shù)是多少?(用含 n 的式子表示)(60 )3【思路點(diǎn)撥】由于本題中涉及角的數(shù)量關(guān)系，故可以選擇代數(shù)的方法來(lái)說(shuō)明理由【答案與解析】解：(1)如圖，設(shè)COF， 則EOF90-因?yàn)?OF 是AOE 的平分線所以AOF90-所以AOC(90-)-90-2BOE180-COE-AOC1

14、80-90-(90-2)2即BOE2COF(2)成立如圖 2設(shè)AOC，則 AOF 90 2 1 所以COF AOC AOF 45 (90 )2 2 BOE180-AOE180-(90-)90+所以BOE2COF(3)因?yàn)镈OE180-AOE-BOD2180 (90 n) (60 n)3 5 (30 n) 3故 DOE 的度數(shù)是 (30 5 ) n 3【總結(jié)升華】根據(jù)角平分線，互余及互補(bǔ)的定義，進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算有一定的綜合性和代表性，主要培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力【高清課堂：角 397364 角的有關(guān)計(jì)算例 4】舉一反三：【變式】如圖，已知 O 是直線 AC 上一點(diǎn)，OD 平分 AOB，OE

15、在 BOC 內(nèi)，且 BOE地址：北京市西城區(qū)新德街 20號(hào) 4層 電話傳真第 7 頁(yè) 共 9 頁(yè)讓更多的孩子得到更好的教育1 EOC，DOE70，求 EOC 的度數(shù).2【答案】1 1解：設(shè)EOC= x ，則 BOE EOC x ，根據(jù)題意可得： 2 21180 2 1 x x x 70，2 2 解得： x 80 .EOC2BOE80.類型四、方位角5. （2015浦東新區(qū)三模）已知小島 A 位于基地 O 的東南方向，貨船 B 位于基地 O的北偏東 50方向，那么AOB 的度數(shù)等于 【答案】85【解析】解：如圖：2=50，3=40，1=45

16、，AOB=1+3=45+40=85，故答案為：85【總結(jié)升華】本題主要考查了方位角的概念，根據(jù)方位角的概念，畫圖正確表示出 A，B的方位，注意東南方向是 45 度是解答此題的關(guān)鍵類型五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題6. 在 7 時(shí)到 7 時(shí) 10 分之間的什么時(shí)刻，時(shí)針與分針成一條直線?地址：北京市西城區(qū)新德街 20號(hào) 4層 電話傳真第 8 頁(yè) 共 9 頁(yè)讓更多的孩子得到更好的教育【答案與解析】解：設(shè) 7 時(shí) x 分鐘，時(shí)針與分針成一條直線，由題意得：16 30 x x x 5 5， 2 115答：7 時(shí)5 分鐘時(shí)針與分針成一條直線11【總結(jié)升華】時(shí)鐘上的分針與時(shí)針繞著中心順時(shí)針均勻轉(zhuǎn)動(dòng)，在不同時(shí)刻，兩針之間形成一定的角度如果把單位時(shí)間分針和時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)當(dāng)作它們的速度則：360 30 分針的速度為 6/分；時(shí)針的速度為 0.5/