1、高等流體力學第三章 流體力學基本方程 3 流體力學基本方程 流體的運動規(guī)律遵循物理學三大守恒定律，即：質量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律。流體動力學基本方程組就是這三大定律對流體運動的數(shù)學描述。但是，流體力學基本方程組是不封閉的，要使其封閉還需增加輔助的物性關系，如：密度、比熱、粘性系數(shù)和熱傳導系數(shù)隨溫度、壓強的變化關系等。目前尚不能求得這一方程組的解析解，但研究這一方程組的性質卻具有極其重要的意義，因為實際流體的流動過程遵循這一基本方程組。 3.1 系統(tǒng)和控制體的概念 3.1.1 系統(tǒng) 包含著確定不變的物質的任何集合，稱之為系統(tǒng)，系統(tǒng)以外的一切，統(tǒng)稱為外界。系統(tǒng)的邊界是把系統(tǒng)和外界分開

2、的真實或假想的表面。在流體力學中，系統(tǒng)就是指由確定的流體質點所組成的流體團。 3.1.1 系統(tǒng) 流體系統(tǒng)的邊界有如下特點：系統(tǒng)的邊界隨著流體一起運動。系統(tǒng)的體積邊界面的形狀和大小可以隨時間變化；在系統(tǒng)的邊界處沒有質量交換，即沒有流體進入或跑出系統(tǒng)的邊界；在系統(tǒng)的邊界上，受到外界作用在系統(tǒng)上的表面力；在系統(tǒng)邊界上可以有能量交換，即可以有能量(熱或功)通過邊界進入或離開系統(tǒng)。 3.1.1 系統(tǒng) 如果我們使用系統(tǒng)來研究連續(xù)介質的流動，那就意味著采用拉格朗日觀點，即以確定的流體質點所組成的流體團作為研究的對象。但是對大多數(shù)實際的流體力學問題來說，采用歐拉觀點更為方便，與此相應，必須引進控制體的概念。

3、3.1 系統(tǒng)和控制體的概念 3.1.2 控制體 被流體所流過的相對于某個坐標系來說是固定不變的任何體積稱之為控制體?？刂企w的邊界面，稱之為控制面。它總是封閉表面。占據(jù)控制體的諸流體質點是隨著時間而改變的。 3.1.2 控制體 控制面有如下待點：控制體的邊界(控制面)相對于坐標系是固定的；在控制面上可以有質量交換，即有流體跑進或跑出控制面；在控制面上受到控制體以外物體加在控制體之內(nèi)物體上的力；在控制面上可以有能量交換，即可以有能量(內(nèi)能、動能、熱或功)跑進或跑出控制面。 3.2 連續(xù)性方程 連續(xù)性方程是質量守恒定律在運動流體中的數(shù)學表達式。連續(xù)性方程是運動學方程，它與力無關，所以既適用于理想流體

4、也適用于粘性流體。 在流動空間中，考察一微元控制體，其體積為dxdydz，對某一固定參考系統(tǒng)，它是固定在空間中的，如下圖所示。 3.2 連續(xù)性方程 質量守恒定律可表述如下：控制體內(nèi)流體質量的減少量應等于從控制體凈流出的流體質量。 控制體內(nèi)流體的流入與流出yxuxdzdxdyoz3.2 連續(xù)性方程 (1) 控制體內(nèi)流體質量的變化 dt時間中控制體內(nèi)流體密度的變化為dt時間中控制體內(nèi)流體質量的減少量為3.2 連續(xù)性方程 (2) 通過控制面凈流出控制體的流體質量 dt時間內(nèi)在x方向通過左右兩個側面(控制面)凈流出的流體質量為同理，dt時間中在y、z方向通過相應控制面凈流出的流體質量分別為 3.2 連

5、續(xù)性方程 (3) 流體流動的連續(xù)性方程 根據(jù)質量守恒定律，由上述分析可得出 對于單位時間單位體積空間而言這就是直角坐標系中的連續(xù)性方程式，將之寫成向量形式即得3.2 連續(xù)性方程 按求和約定，連續(xù)性方程可表示成 使用恒等式 ，連續(xù)性方程可寫成其中： 3.2 連續(xù)性方程 對于定常流動， ，連續(xù)性方程變成按求和約定，上式表示成它表示了單位時間流出單位體積空間的質量等于流入該體積空間的質量，也可以說微元控制體內(nèi)的流體密度不隨時間而改變。 3.2 連續(xù)性方程 對于不可壓縮流體的流動問題， ，不可壓縮流體流動的連續(xù)性方程為按求和約定，上式表示成上式說明，由于流體微團的密度和質量在流動過程中都不變，所以流體

6、微團的體積在運動中也不會改變。 3.2 連續(xù)性方程 在圓柱坐標系(r,z)中，流體流動的連續(xù)性方程為 在球坐標系(r,)中，流體流動的連續(xù)性方程為3.3 本構方程 一般而言，所謂本構方程是指描述物質對所受力的力學響應的方程。對運動的粘性流體而言，應力與變形速度之間的關系稱為本構方程。3.3.1 流體的表面應力張量 為了建立流體動力學方程，需要分析流體微團上所受到的各種作用力。流體微團受到的作用力可以分為兩大類：一類是質量力，它是作用在流體所有質點上的非接觸力，如重力、慣性力、電磁力等；另一類是表面力，它是作用在流體微團界面上的接觸力，如壓力、摩擦力等?，F(xiàn)只考慮表面力。 3.3.1 流體的表面應

7、力張量 如右圖所示的正六面體流體微團，在垂直于x軸的左右兩個側表面上，分別作用有合應力 px 和 流體微團的表面應力張量 xxxzzpx(x,y,z) xydydzdxoxy3.3.1 流體的表面應力張量 此處的下標x表示應力向量作用在與x軸垂直的微元面上。由此可得到作用在垂直于x軸的微元面上的表面力的合力為 同理，作用在垂直于y軸和z軸的微元面上的表面力的合力分別為3.3.1 流體的表面應力張量 綜和上述結果，可得到作用于單位體積流體的表面力的合力 上式中px、py和pz都是向量，可以將它們沿三個坐標方向分解，即分解成垂直于各微元面的正應力和平行于各微元面的切應力，例如上面圖中作用于與x軸垂

8、直的微元面上的應力px可分解成同理 3.3.1 流體的表面應力張量 下標規(guī)定：第一個下標代表應力所在平面的外法線方向，第二個下標代表應力的方向。例如，xy表示作用在與x軸垂直的平面上沿y方向的切應力。 由上述分析可見，要完全描述微元體上的應力，則需要九個分量，這九個分量就組成了應力張量，應力張量可表示成3.3.1 流體的表面應力張量 可以證明，應力張量是二階對稱張量。正應力的正方向為作用面外法線方向；對于切應力，當作用面的外法線沿坐標軸的正方向時，取沿坐標軸正方向的切應力為正，當作用面的外法線沿坐標軸的負方向時，取沿坐標軸負方向的切應力為正。 這樣，單位體積流體的表面力可寫成3.3.2 牛頓流

9、體的本構方程 物質所受到的應力與運動學參數(shù)之間存在著一定的關系。在彈性力學中，這種關系是由虎克定律表示的，即彈性固體中應力與應變成正比；在流體力學中，不同性質的流體這種關系有不同的類型，對于水、空氣和潤滑油等化學結構比較簡單的低分子流體，應力與變形速率成正比，也就是說，應力與變形速率之間存在著線性關系，服從這種線性關系的流體稱為牛頓流體。 3.3.2 牛頓流體的本構方程 牛頓提出了關于粘性流體作直線層狀運動時，兩流體層間的切應力的假設。認為切應力與層間速度梯度成正比，即 為動力粘性系數(shù)，其值取決于流體的物理性質。通常稱上式為牛頓內(nèi)摩擦定律。 odyuu+duzxy3.3.2 牛頓流體的本構方程

10、 根據(jù)變形率張量和應力張量，上式左邊對應于平面直線運動特殊情況下的應力張量的一個切向分量，右邊的導數(shù)項對應于變形率張量的一個分量。因此，可以理解為yx與yx成正比例3.3.2 牛頓流體的本構方程 斯托克斯將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到粘性流體的任意流動情形中去，假設： 1) 流體是連續(xù)的，其應力張量是變形率張量的線性函數(shù)。 2) 流體是各向同性的，即它的性質與方向無關。因此，無論坐標系如何選取，它的應力與變形率的關系是相同的。 3) 當流體靜止，即變形率為零時，流體中的應力就是流體靜壓力。3.3.2 牛頓流體的本構方程 或者式中的負號表示壓力的方向總是與微元體表面外法線方向相反，I為單位張量 實驗證明

11、，對大多數(shù)常見的液體和氣體，上述假設是對的。3.3.2 牛頓流體的本構方程 根據(jù)應力張量與變形率張量是線性關系以及流體是各向同性的假設，可以將應力張量與變形率張量的線性關系式寫成式中的系數(shù)a和b應該是標量。 由于關系式是線性的，因此系數(shù)a不可能與張量和中的分量有關，而應該與流體運動形態(tài)無關，它是取決于流體的物理屬性的系數(shù)。參照牛頓內(nèi)摩擦定律，令3.3.2 牛頓流體的本構方程 至于系數(shù)b，由于在應力張量與變形率張量線性關系式中右邊第二項是b與單位張量I的乘積，要保持該式的線性關系，b只能由張量與的分量線性地組成。又由于b是標量，因此它應該由張量與的分量中，那些當坐標系轉換時其值不變的分量組合來構

12、成。對二階張量而言，主對角線上三個分量的和為它的線性不變量(即第一不變量)。 3.3.2 牛頓流體的本構方程 對于應力張量的線性不變量為 對于變形率張量的線性不變量為 通過上述分析，可以寫出標量b的一般關系式式中的b1、b2、b3為待定常數(shù)。 3.3.2 牛頓流體的本構方程 將標量b的表達式代入應力張量與變形率張量線性關系式中，得 取等式兩邊主對角線上三個分量之和，可得 歸并同類項后，得 在靜止狀態(tài)下， ，而且 ，因此，上式可以寫成3.3.2 牛頓流體的本構方程 由于b1、b3均為常數(shù)，而且要求在靜壓力p0值為任意情況下均成立，則只有而 這三個系數(shù)確定以后，就可得出應力張量與變形率張量之間的一

13、般線性關系式3.3.2 牛頓流體的本構方程 對于非粘性流體，一點的壓強在各個方向是相等的，此處引入平均壓強的概念，即 對于粘性流體來講，類似地采用這樣的平均法向應力，有 如果待定常數(shù)b2記為，則通常稱上式為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律，稱為膨脹粘性系數(shù)。 3.3.2 牛頓流體的本構方程 如以ui和xi (i1,2,3)分別代替ux,uy,uz和x,y,z，則可以寫出在直角坐標系中應力張量與變形率張量各分量之間的關系式3.3.2 牛頓流體的本構方程 對于不可壓縮流體，則3.3.2 牛頓流體的本構方程 廣義牛頓內(nèi)摩擦定律建立了在一般情況下應力張量與變形率張量之間的關系，它是粘性流體力學的個理論基礎。雖然在推

14、廣的過程中采用了一些無法用實驗驗證的不很嚴格的假定，但是根據(jù)這一關系所得出的粘性流體力學方程組對許多問題的解，均被實驗所證實。因此間接地證明了這些推廣的可靠性。 3.4 粘性流體運動方程 運動方程(動量方程)是動量守恒定律對于運動流體的表達式。在充滿運動流體的空間中，任取一控制閉曲面A，其所包圍的流體體積為V。根據(jù)動量守恒定律，該體積流體的動量變化率等于作用在該體積流體上的質量力和表面力之和。設單位質量流體的質量力為f，當質量力僅為重力時，fg。單位面積上的表面力為n，對粘性流體來講可以有切向分量與法向分量。 作用在該流體上的質量力和表面力之和為而動量的變化率為3.4 粘性流體運動方程 根據(jù)動

15、量定理有 根據(jù)張量運算的高斯公式(體積積分與面積積分的關系)，上式右邊可改寫成式中 為應力張量的散度。再根據(jù)隨體導數(shù)的關系式這樣，就有3.4 粘性流體運動方程 由于被積函數(shù)連續(xù)，且體積V是任意選取的，因此此即為粘性流體的運動微分方程式。在直角坐標系中可寫成3.4 粘性流體運動方程 在質量力已知的情況下，對于不可壓縮流體有12個未知量：3個速度分量及9個應力分量，而僅有4個方程(3個分量的動量方程和連續(xù)性方程)，不足以解12個未知數(shù)(至于可壓縮流體雖然又多了一個未知量密度，但可以多一個熱力學方程，不影響上述分析)。因此，需要運用廣義牛頓內(nèi)摩擦定律，將應力張量用變形率張量來表示。 3.4 粘性流體

16、運動方程 廣義牛頓內(nèi)摩擦定律為所以 這就是向量形式的運動微分方程式，在此方程式中則僅包括四個未知數(shù)：三個速度分量及一個壓強p。由此也可以進一步體會到廣義牛頓內(nèi)摩擦定律在粘性流體力學中的重要意義。 3.4 粘性流體運動方程 根據(jù)變形率張量的表達式，可以將上式等號右邊的最后一項加以變換。為簡單起見，限在直角坐標系中討論。對于 的第一分量為對于第三、第三個分量，也可以得到類似的結果，即 3.4 粘性流體運動方程 因此，在直角坐標系中，粘性流體的運動微分方程式可寫成3.4 粘性流體運動方程 對于不可壓縮流體， ，而且粘性系數(shù)可以近似地看作常數(shù)，因此向量形式的運動微分方程式可簡化為方程右端最后一項 的三

17、個分量分別為3.4 粘性流體運動方程 考慮到不可壓縮流體的連續(xù)性方程 ，則 不可壓縮流體的動量方程可寫成 不可壓縮實際流體的動量微分方程式，通常稱之為納維爾-斯托克斯(Navier-Stokes)方程，簡稱N-S方程。 3.4 粘性流體運動方程 在直角坐標系中，不可壓縮流體的動量方程可以寫成3.4 粘性流體運動方程 在圓柱坐標系(r,z)中，不可壓縮流體的動量方程可以寫成3.5 能量方程 能量方程是能量守恒定律對于運動流體的表達式。 在充滿運動流體的空間中，任取一閉曲面A(控制面)，其所包圍的流體體積為V(控制體)。根據(jù)能量守恒定律，該體積內(nèi)流體動能的變化率等于單位時間內(nèi)質量力和表面力所做的功

18、與單位時間內(nèi)系統(tǒng)所增加的熱量之和。 3.5 能量方程 該體積內(nèi)流體的動能包括：宏觀流體運動的動能和微觀分子運動的動能(內(nèi)能)，對于單位質量流體而言分別為(uu/2u2/2)和e。因此，總能量的變化率為而單位時間內(nèi)質量力和表面力所做的功為3.5 能量方程 單位時間內(nèi)系統(tǒng)所增加的熱量包括兩部分：一部分是熱傳導；另一部分是熱輻射以及化學反應、燃燒或其它物理原因等傳入的熱量。 單位時間內(nèi)通過控制面A傳入控制體V的且由于熱傳導所增加的熱量，可以根據(jù)傅里葉定律求得 如以q表示由于熱幅射或其它原因在單位時間內(nèi)傳入單位質量流體的熱量，則傳入體積為V的控制體的熱量為3.5 能量方程 于是，根據(jù)能量守恒定律可以寫

19、出 根據(jù)隨體導數(shù)的恒等關系式，有3.5 能量方程 利用高斯公式，可得 能量守恒關系可寫成3.5 能量方程 由于控制體體積V是任意選取的，而且被積函數(shù)連續(xù)，因此這就是流體流動的能量微分方程式。 下面將它改寫成另一種形式。 根據(jù)張量與向量分析，可以獲得如下等式式中 為應力張量與變形率張量的標量乘積，結果是二階張量。 3.5 能量方程 對于實際流體運動微分方程 可以看成單位體積流體所受力的平衡關系，現(xiàn)將其等式兩邊各點乘以速度向量u，得到的是功的平衡關系?；蛘咭蚨?.5 能量方程 將上式代入流體流動的能量微分方程式，得上式簡化后，得 這就是用內(nèi)能表示的流體運動能量微分方程式。 它的物理意義是： 在單

20、位時間內(nèi)，單位體積流體內(nèi)能的增加等于單位體積內(nèi)由于流體變形運動時表面力所做的功 ，也可以說是應力張量所做的功，加上熱傳導及由于熱輻射等其它原因傳入控制體內(nèi)流體的熱量 。 3.6 流體力學基本方程組及其定解條件 3.6.1 基本方程組及其封閉性 為了討論和分析方便，將流體力學基本方程寫在一起，構成基本方程組。為簡單起見，只在直角坐標系下探討不可壓縮流體的流動問題。 3.6.1 基本方程組及其封閉性流體力學基本方程的分量形式 3.6.1 基本方程組及其封閉性 方程組獨立的未知物理量有ux、uy、uz、p、T、e共六個，方程的個數(shù)為五個。為使方程組封閉，須補充內(nèi)能表達式 (cv為定容比熱)。 需要指

21、出的是：因連續(xù)性方程、運動方程與能量方程不耦合，可以由連續(xù)性方程與運動方程聯(lián)立求出ux、uy、uz、p，然后再由能量方程解出T。 3.6.1 基本方程組及其封閉性 上述不可壓縮流體流動的基本方程組，是二階非線性偏微分方程組。從數(shù)學角度看，在得到反映物理現(xiàn)象的微分方程組后，就要分析它是否正確，即所謂的適定問題。符合下列三個條件的微分方程組才是適定的(適定三條件)：存在解；解必須唯一；解必須穩(wěn)定。3.6.1 基本方程組及其封閉性 關于流體力學基本方程組解的存在性與唯一性問題(特別是存在性問題)至今尚未能從理論上予以論證。但是，對于解決工程實際問題而言，人們并不過份追究其數(shù)學上的嚴格性，因而往往可以

22、不考慮這兩個問題，也就是說認為方程組的解是存在的，而且在定解條件下解是唯一的。不過解的穩(wěn)定性問題需要給予重視。 3.6.2 定解條件 僅由封閉的流體力學基本方程組還不能確定具體的流動形態(tài)，流動問題還與流動的初始情況和邊界情況密切相關。也就是說，一個封閉的微分方程組，加上恰當規(guī)定的初始條件和邊界條件，才可能確定具體的解，才構成一個定解問題。初始條件和邊界條件統(tǒng)稱為定解條件。在流體流動問題中，只有非定常流才需要初始條件。 3.6.2 定解條件 所需邊界條件的數(shù)目取決于基本方程的類型和偏微分方程的階數(shù)。如果過多地給出邊界條件和初始條件，將會導致方程無解；如果給出的邊界條件和初始條件不足，則將導致方程

23、的解不唯一。 3.6.2 定解條件 根據(jù)偏微分方程理論，可按方程組的數(shù)學性質將其分為不同的類型。以下為擬線性二階偏微分方程的一般形式式中的系數(shù)A、B、C和D可能是x、y、 、 /x和 /y的非線性函數(shù)，但不包含 的二階偏導數(shù)。 3.6.2 定解條件 上述方程在某一點及其鄰近區(qū)域的性質由系數(shù)判別式 B2 - 4AC 在該點的符號決定：3.6.2 定解條件 對于橢圓型方程：以Laplace方程為代表的橢圓型方程，只能給定邊界條件，這就是所謂的邊值問題。 3.6.2 定解條件 對于拋物型方程，以擴散方程(熱傳導方程)為代表的拋物型方程，應給定一個初始條件和邊界條件，這就是所謂的邊值混合問題。 3.6

24、.2 定解條件 對于雙曲型方程，以波動方程為代表的雙曲型方程，除給定邊界條件外，還應給定兩個初始條件，這就是所謂的初值問題。 3.6.2 定解條件 由于N-S方程組比上述擬線性二階偏微分方程復雜得多，其定解條件的提法問題并沒有完全解決，也沒有處理這一問題的完整的理論，這與至今未能完全認識N-S方程組的數(shù)學性質有關。為了規(guī)定N-S方程組的定解條件，只能依賴物理方面的理由，并依靠已知的數(shù)學結果，以及對物理問題的正確判斷來綜合解決。 3.6.2 定解條件 (1) 初始條件 所謂初始條件，就是在初始時刻，封閉方程組的解應等于該時刻給定的函數(shù)值。在數(shù)學上可以表示為 tt0時式中的u0、p、T為t0時刻的

25、已知函數(shù)。 3.6.2 定解條件 (2) 邊界條件 在運動流體的邊界上，封閉方程組的解所應滿足的條件稱為邊界條件。邊界條件隨具體問題而定，一般來講可能有以下三種情況： 邊界為固體壁面(包括可滲透壁面) 不同流體的分界面(包括自由液面、氣液界面、液液界面) 流動的入口和出口斷面。 3.6.2 定解條件 流體與固體接觸面上的邊界條件 a.運動學邊界條件 當固體壁面不可滲透時，粘性流體質點將粘附于固體壁面上，即滿足所謂無滑移條件。此時 uf與uw是在固體壁面處流體的速度與固體壁面運動的速度。對于靜止固體壁面，則 當固體壁面可滲透時，應根據(jù)滲透速度來確定其邊界條件，一般可假定uf t0，uf n 0。

26、 3.6.2 定解條件 b.動力學邊界條件 當固體壁面不可滲透時，流體作用在固體壁面上任意一點處(該處壁面的法線方向為n)的應力，與固體壁面在同一點處對流體作用的應力大小相等、方向相反，具體表示為或者當固體壁面可滲透時，流體邊界上的應力也應具有這樣的條件，不過此時的情況要比不可滲透壁面時復雜。3.6.2 定解條件 c.熱力學邊界條件 當固體壁面不可滲透時，通常采用無溫度突躍邊界條件，即式中Tf與Tw是在固體壁面處流體的溫度與固體壁面的溫度。 也可給出固體壁面處的溫度梯度作為邊界條件式中qw為通過單位面積傳導的熱量(壁面熱流量)；T /n是壁面外法線方向上的溫度梯度，通常定義從固體壁面向流體傳導

27、的熱量為正。3.6.2 定解條件 不同流體分界面上的邊界條件 一般包括兩種不同液體的分界面，液體與蒸汽的分界面，液體與大氣的分界面(即所謂自由液面)。不同流體分界面上可能出現(xiàn)質量、動量及熱量的交換，其情形較為復雜。 a.不同液體的分界面 根據(jù)分子運動論與實驗證實，在一般情況下，兩種液體的分界面上的速度、壓強和溫度都是連續(xù)的，即3.6.2 定解條件 b.液體與蒸汽的分界面 如果不考慮液面上飽和蒸汽區(qū)中的動量、熱量和質量交換，則可以將汽液分界面上的邊界條件寫為汽液oh平均液面xyz3.6.2 定解條件 b.液體與蒸汽的分界面 其中unl是液體在平均液面的垂直方向上的速度，h是液面在垂直于平均液面方

28、向的高度。這一邊界條件表示，在液面上，液體在平均液面的垂直方向上的速度等于液面的垂直波動速度。 此外，可以近似認為 ， 當液面上為大氣壓時，是上述情況的特例。實際上，應該注意到，對于汽液分界面來講，有時必須考慮到汽液的動量、熱量及質量的交換。3.6.2 定解條件 流道入口和出口斷面上的邊界條件 流動入口和出口斷面上的物理參數(shù)，如速度、壓強、溫度等的分布，就是邊界條件。這里所指的流動入口和出口斷面，可以是固體通道的截面，也可以是平直流線所形成的流道斷面。前者是內(nèi)流情況，后者是外流(繞流)的情況。3.7 實際流體流動的相似律 實際流體流動基本方程是一組非線性偏微分方程式。在某些簡單情況下才可以求出

29、準確解，但這類問題是為數(shù)不多的。非線性方程式是沒有通用解法的，為了工程上和實用上的需要，要從力學性質上考慮來簡化這些方程，以便求出解。 為了簡化基本方程，必須將基本方程式無量綱化。對每一項進行量級分析和比較，據(jù)此來確定方程式中每一項的取舍?；痉匠淌降臒o量綱化，同時也便于在數(shù)學上求解與應用。 3.7 實際流體流動的相似律 另外，有了無量綱基本方程，可以簡單明了地確定兩個流體運動的相似條件，建立相似理論，這對于模型化實驗，推廣實驗數(shù)據(jù)的應用范圍，是非常有用的。 因為基本方程式中的物理變量是有量綱的，如果將這些變量除以相應某些特征參數(shù)(它們是常數(shù))，重新來定義新的無量綱變量，就可以將基本方程無量綱化。例如：特征參數(shù)可以是，平均速度作為特征速度、圓管直徑作為特征長度等。 3.7 實際流體流動的相