1、3.4二次函數(shù)中考數(shù)學(xué) (北京專用)2014-2018年北京中考題組五年中考1.(2018北京,7,2分)跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一.運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,運動員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a0).下圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時,水平距離為()A.10 mB.15 mC.20 mD.22.5 m答案B由題圖中給出的點可知,拋物線的最高點的橫坐標(biāo)在0到20之間.若最高點的橫坐標(biāo)為10,由對稱性可知,(0,54.0)關(guān)于對稱軸的對

2、稱點為(20,54.0),而54.00.與y軸交于點(0,1),c=1.滿足題設(shè)條件的一個拋物線的解析式為y=x2+1,答案不唯一.考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)教師專用題組1.(2018湖北黃岡,6,3分)當(dāng)axa+1時,函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案Dy=x2-2x+1=(x-1)2,當(dāng)a1時,函數(shù)y=x2-2x+1在axa+1內(nèi),y隨x的增大而增大,其最小值為a2-2a+1,則a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);當(dāng)a+11,即a0時,函數(shù)y=x2-2x+1在axa+1內(nèi),y隨x的增大而減小,其最小值為(a+1)2-2(a

3、+1)+1=a2,則a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).當(dāng)0a1時,函數(shù)y=x2-2x+1在x=1處取得最小值,最小值為0,不合題意.綜上,a的值為-1或2,故選D.2.(2018四川成都,10,3分)關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x-1,下列說法正確的是()A.圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,1)B.圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)C.當(dāng)x0時,y的值隨x值的增大而減小D.y的最小值為-3答案D因為y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,當(dāng)x=0時,y=-1,選項A錯誤;該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=-1,選項B錯誤;當(dāng)x0,則這條拋物線的頂點一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四

4、象限答案C當(dāng)x=1時,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)公式可得-=-0,=0,所以這條拋物線的頂點一定在第三象限,故選C.4.(2018河北,16,2分)對于題目“一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0 x3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.若c為整數(shù),確定所有c的值.”甲的結(jié)果是 c=1,乙的結(jié)果是c=3或4,則()A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確答案D拋物線L:y=-x(x-3)+c(0 x3)可以看作拋物線y=-x(x-3)(0 x3)沿y軸向上平移c個單位形成的,一段拋物線L:y=-x(x-3)

5、+c(0 x3)與直線l:y=x+2有唯一公共點可以看作直線l:y=x+2沿y軸向下平移c個單位形成的直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共點.當(dāng)直線y=x+2-c(即l2)經(jīng)過原點時,0+2-c=0,c=2;當(dāng)直線y=x+2-c(即l3)經(jīng)過點A(3,0)時,3+2-c=0,c=5,根據(jù)圖象可得當(dāng)2c5時,直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共點,即一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0 x3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.顯然c=3,4,5.當(dāng)直線y=x+2-c為圖中l(wèi)1時,直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0 x3

6、)有唯一公共點.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2-c=0,=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確,故選D. 歸納總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系,就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.5.(2018天津,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0)經(jīng)過點(-1,0),(0,3),其對稱軸在y軸右側(cè).有下列結(jié)論:拋物線經(jīng)過點(1,0);方程ax2+bx+c

7、=2有兩個不相等的實數(shù)根;-3a+b0.a0.把點(-1,0),(0,3)分別代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b3.故正確.故選C.思路分析拋物線經(jīng)過點(-1,0),其對稱軸在y軸右側(cè),由對稱性可以判斷錯誤;由條件得拋物線開口向下,作直線y=2,直線與拋物線有兩個交點,可判斷正確;根據(jù)拋物線所經(jīng)過的點及對稱軸的位置,可判斷正確,從而得結(jié)論.解后反思本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,不等式的性質(zhì)等知識,a的符號決定拋物線的開口方向,-的符號決定拋物線對稱軸的位置,c的值決定了拋物

8、線與y軸的交點坐標(biāo).6.(2018貴州貴陽,10,3分)已知二次函數(shù)y=-x2+x+6及一次函數(shù)y=-x+m,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方,圖象的其余部分不變,得到一個新圖象(如圖所示).當(dāng)直線y=-x+m與新圖象有4個交點時,m的取值范圍是()A.-m3B.-m-2C.-2m3D.-6m-2答案D易知拋物線y=-x2+x+6與x軸交于點(-2,0),(3,0),依題意知,新圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=如圖,當(dāng)直線y=-x+m經(jīng)過點(-2,0)時,直線與新圖象有3個交點,此時,m=-2.由方程組得x2-m-6=0,當(dāng)該一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時,=02-41(-m-6)

9、=4m+24=0,解得m=-6,將m=-6代入方程組,解得方程組的解是故當(dāng)直線y=-x+m經(jīng)過點(0,-6)時,直線與新圖象有3個交點,此時,m=-6.所以當(dāng)-6m-2時,直線y=-x+m與新圖象有4個交點,故選D. 思路分析畫出直線y=-x,然后平移,判斷直線y=-x+m與新圖象有4個交點的臨界位置:一是直線經(jīng)過點(-2,0),求得m=-2;二是直線與拋物線y=x2-x-6(-2x3)相切,這時,方程組只有一組解,即方程x2-m-6=0有兩個相等的實數(shù)根,令根的判別式等于0,可以求得m=-6.結(jié)合圖象可知,當(dāng)-6m-2時,直線y=-x+m與新圖象有4個交點.7.(2018呼和浩特,10,3分

10、)若滿足2成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.m-1B.m-5C.m-4D.m-4答案D2可變形為2x2-x-m,作出函數(shù)y=2x2-x-m,y=的圖象,如圖所示,易知拋物線的對稱軸為直線x=,當(dāng)2恒成立,即2x2-x-m恒成立,只需拋物線與雙曲線的交點的橫坐標(biāo)x即可,將x=代入y=,得y=4,將代入y=2x2-x-m,解得m=-4.拋物線越往上平移越符合題意,m-4.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要將不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的問題來解決,同時要注意本題中二次函數(shù)的常數(shù)項為-m,所以最后在判斷m的取值范圍時不要寫反.8.(2017四川綿陽,10,3分)將二次函數(shù)y=x2的圖象先向下平移1個單位,再向

11、右平移3個單位,得到的圖象與一次函數(shù)y=2x+b的圖象有公共點,則實數(shù)b的取值范圍是()A.b8B.b-8C.b8D.b-8答案D由題意可得,y=x2的圖象經(jīng)過兩次平移后得到y(tǒng)=(x-3)2-1的圖象.將代入得,x2-8x+8-b=0.因為拋物線與直線有公共點,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故選D.9.(2017陜西,10,3分)已知拋物線y=x2-2mx-4(m0)的頂點M關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為M.若點M在這條拋物線上,則點M的坐標(biāo)為()A.(1,-5)B.(3,-13)C.(2,-8)D.(4,-20)答案Cy=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,則頂點

12、M的坐標(biāo)為(m,-m2-4),M的坐標(biāo)為(-m,m2+4),點M在拋物線上,m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故選C.思路分析先配方求出拋物線的頂點M的坐標(biāo),根據(jù)對稱性表示出點M的對稱點M的坐標(biāo),由點M在拋物線上,可將M的坐標(biāo)代入解析式求出m的值,進(jìn)而求得點M的坐標(biāo).10.(2016遼寧沈陽,10,2分)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象如圖所示,點A(x1,y1),B(x2,y2)是該二次函數(shù)圖象上的兩點,其中-3x1x20,則下列結(jié)論正確的是()A.y1y2C.y的最小值是-3D.y的最小值是-4答案D二次函數(shù)y=x2+2x-3=(x+1

13、)2-4圖象的頂點坐標(biāo)為(-1,-4).令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,則二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象與x軸的兩個交點為(-3,0),(1,0).由-3x10)過(-2,0),(2,3)兩點,那么拋物線的對稱軸()A.只能是x=-1B.可能是y軸C.在y軸右側(cè)且在直線x=2的左側(cè)D.在y軸左側(cè)且在直線x=-2的右側(cè)答案D拋物線y=ax2+bx+c(a0)開口向上,過點(-2,0),(2,3),則拋物線與x軸的另一個交點一定在點(2,0)左側(cè),且在點(-2,0)右側(cè),設(shè)該交點為(m,0),則-2m2,對稱軸為直線x=,故選項D正確.16.(2015浙江寧波,11,4分)二次函

14、數(shù)y=a(x-4)2-4(a0)的圖象在2x3這一段位于x軸的下方,在6x7這一段位于x軸的上方,則a的值為()A.1B.-1C.2D.-2答案A易知拋物線的對稱軸為直線x=4.當(dāng)2x3時,圖象位于x軸下方,由對稱性可知5x6這段圖象也位于x軸下方,再由6x7這段圖象位于x軸上方,可得拋物線一定經(jīng)過點(6,0),將坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式可得a=1.故選A.一題多解二次函數(shù)y=a(x-4)2-4(a0)的圖象在2x3這一段位于x軸的下方,在6x7這一段位于x軸的上方,當(dāng)x=時,二次函數(shù)y=a(x-4)2-4(a0)的圖象位于x軸的下方;當(dāng)x=時,二次函數(shù)y=a(x-4)2-4(a0)的圖象位于x軸的

15、上方,a.結(jié)合各選項知a的值為1.故選A.17.(2016山東青島,12,3分)已知二次函數(shù)y=3x2+c與正比例函數(shù)y=4x的圖象只有一個交點,則c的值為.答案 解析二次函數(shù)y=3x2+c與正比例函數(shù)y=4x的圖象只有一個交點,一元二次方程3x2+c=4x,即3x2-4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根,則有(-4)2-43c=0,解得c=.18.(2015河南,12,3分)已知點A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函數(shù)y=(x-2)2-1的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是.答案y2y1y3 解析A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在拋物線y=(x-2)2-1上

16、,y1=3,y2=5-4,y3=15.5-4315,y2y1y3.思路分析將三個點的坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式中求出縱坐標(biāo),直接比較大小.一題多解設(shè)A、B、C三點到拋物線對稱軸的距離分別為d1、d2、d3.y=(x-2)2-1,對稱軸為直線x=2,d1=2,d2=2-,d3=4,2-20,y2y1y3.19.(2018云南,20,8分)已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(0,3),B兩點.(1)求b、c的值;(2)二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸是否有公共點?若有,求公共點的坐標(biāo);若沒有,請說明理由.解析(1)二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(0,3)、B兩點,解得b=,

17、c=3.(4分)(2)y=-x2+bx+c=-x2+x+3.由-x2+x+3=0得x2-6x-16=0,解得x=-2或x=8.(6分)二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點,公共點的坐標(biāo)為(-2,0),(8,0).(8分)思路分析(1)將A、B的坐標(biāo)分別代入解析式,列方程組求得b、c.(2)由(1)得二次函數(shù)解析式,令y=0,解方程即可.考查內(nèi)容本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其與一元二次方程的關(guān)系,熟練地解方程(組)是解決本題的關(guān)鍵.20.(2015浙江紹興,21,10分)如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M(1,1),則稱此拋物線為定點拋物線.(1)張老師在投影屏幕上出示了一個

18、題目:請你寫出一條定點拋物線的一個解析式.小敏寫出了一個答案:y=2x2+3x-4.請你寫出一個不同于小敏的答案;(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題:已知定點拋物線y=-x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小時的解析式.請你解答.解析(1)不唯一,如y=x2-2x+2.(2)定點拋物線的頂點坐標(biāo)為(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,c=1-2b,頂點縱坐標(biāo)c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,當(dāng)b=1時,c+b2+1最小,拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小,此時c=-1,拋物線的解析式為y=-x2+2x.考點二二次函數(shù)的實際應(yīng)用1.(2018湖北武漢,15,3分

19、)飛機(jī)著陸后滑行的距離y(單位:m)關(guān)于滑行時間t(單位:s)的函數(shù)解析式是y=60t-t2.在飛機(jī)著陸滑行中,最后4 s滑行的距離是m.答案24解析y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20時,y取得最大值,即滑行距離達(dá)到最大,此時滑行距離是600 m.當(dāng)t=16時,y=6016-162=576,所以最后4 s滑行的距離為600-576=24 m.2.(2018遼寧沈陽,15,3分)如圖,一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著,并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開.已知籬笆的總長為900 m(籬笆的厚度忽略不計),當(dāng)AB=m時,矩形土地ABCD的面積最大. 答案150解析四邊形ABCD是

20、矩形,ABCD,AB=CD,ADBC,AD=BC,又EFCD,四邊形CDEF是平行四邊形,EF=CD,設(shè)AB=x,則EF=CD=x,籬笆總長為900 m,AD=BC=(0 x300),S矩形ABCD=ABAD=x=-x2+450 x,當(dāng)x=-=150 m時,矩形土地ABCD的面積最大.思路分析籬笆由AB、EF、CD、AD、BC五段構(gòu)成,由矩形性質(zhì)可得,AB=EF=CD,AD=BC,設(shè)AB=x,則AD可用含x的式子表示,從而矩形的面積也可用含x的式子表示,則利用矩形面積與x之間存在的函數(shù)關(guān)系可求面積最大值.疑難突破當(dāng)籬笆總長一定時,AD長隨著AB的變化而變化,因此矩形面積與AB長之間存在著二次函

21、數(shù)關(guān)系,問題即轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值問題.解后反思本題中,二次函數(shù)的最大值可以用配方法,也可以直接由頂點公式得到.但要注意,還需要考慮最大值點能否落在自變量的取值范圍內(nèi).3.(2015浙江溫州,15,5分)某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室,一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長),中間用一道墻隔開,并在如圖所示的三處各留1 m寬的門.已知計劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27m,則能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大為m2. 答案75解析設(shè)垂直于現(xiàn)有墻的一面墻長為x m,建成的飼養(yǎng)室總占地面積為y m2,則利用現(xiàn)有墻的長為(27+3-3x)m,y=x(30-3x)=-3x2+30 x=-3(x-5)2+75.-30,當(dāng)

22、x=5時,ymax=75,即能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大為75 m2.4.(2014浙江紹興,13,5分)如圖的一座拱橋,當(dāng)水面寬AB為12 m時,橋洞頂部離水面4 m,已知橋洞的拱形是拋物線.以水平方向為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,若選取點A為坐標(biāo)原點時的拋物線解析式是y=-(x-6)2+4,則選取點B為坐標(biāo)原點時的拋物線解析式是. 答案y=-(x+6)2+4解析若選B點為坐標(biāo)原點,則頂點坐標(biāo)是(-6,4),a=-不變,則所求拋物線解析式為y=-(x+6)2+4.5.(2018江西,21,9分)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實施產(chǎn)業(yè)扶貧,幫助貧困戶承包了荒山種植某品種蜜柚.到了收獲季節(jié),已知該蜜柚的成本價為8元/千克

23、,投入市場銷售時,調(diào)查市場行情,發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會虧本,且每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;(2)當(dāng)該品種蜜柚定價為多少時,每天銷售獲得的利潤最大?最大利潤是多少?(3)某農(nóng)戶今年共采摘蜜柚4 800千克,該品種蜜柚的保質(zhì)期為40天,根據(jù)(2)中獲得最大利潤的方式進(jìn)行銷售,能否銷售完這批蜜柚?請說明理由. 解析(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k0),將(10,200)和(15,150)代入,得解得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-10 x+300.由-10 x+3000,得x30,x的取值范圍為8x30.(2)

24、設(shè)該品種蜜柚定價為x元/千克時,每天銷售獲得的利潤為W元,依題意,得W=(x-8)(-10 x+300)=-10(x-19)2+1 210,-100,當(dāng)x=19時,W最大值=1 210.因此,該品種蜜柚定價為19元/千克時,每天銷售獲得的利潤最大,最大利潤為1 210 元.(3)不能.理由:按(2)中每天獲得最大利潤的方式銷售,由(1)得y=-1019+300=110,11040=4 4007.5.【注:下面是(3)的一種解法:把y=1.8代入y=-5t2+18,得t2=3.24,t=1.8(舍去負(fù)值).從而x=10.甲為(10,1.8),恰好落在滑道y=上,此時乙為(1+1.8v乙,1.8)

25、.由題意,得1+1.8v乙-(1+51.8)4.5,v乙7.5】思路分析(1)把點A的坐標(biāo)代入y=得出k值,設(shè)h=at2(a0),利用待定系數(shù)法即可求解;(2)根據(jù)題意分別用t表示x、y,再把t=(x-1)代入消去t得y與x之間的關(guān)系式,令13=-(x-1)2+18,解得x=6(舍去負(fù)值),進(jìn)一步把x=6代入y=求出y=3,最后求得運動員與正下方滑道的豎直距離;(3)求出甲距x軸1.8米時的橫坐標(biāo)及用v乙表示的乙距x軸1.8米時的橫坐標(biāo),根據(jù)題意列出不等式求出乙位于甲右側(cè)超過4.5米的v乙的范圍.解題關(guān)鍵本題是函數(shù)的綜合題,準(zhǔn)確理解題意,梳理所涉及的變量,并熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題

26、的關(guān)鍵.方法指導(dǎo)利用二次函數(shù)解決實際問題:1.根據(jù)題目中直接給出或間接給出的變量關(guān)系得到符合題意的二次函數(shù)解析式;2.二次函數(shù)的應(yīng)用題往往最終轉(zhuǎn)化為計算函數(shù)值或自變量的值來解答.8.(2018河南,21,10分)某公司推出一款產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品的日銷售量y(個)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.關(guān)于銷售單價,日銷售量,日銷售利潤的幾組對應(yīng)值如下表:(注:日銷售利潤=日銷售量(銷售單價-成本單價)(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出x的取值范圍)及m的值;(2)根據(jù)以上信息,填空:該產(chǎn)品的成本單價是元.當(dāng)銷售單價x=元時,日銷售利潤w最大,最大值是元;(3)公司計劃開展科技創(chuàng)

27、新,以降低該產(chǎn)品的成本.預(yù)計在今后的銷售中,日銷售量與銷售單價仍存在(1)中的關(guān)系.若想實現(xiàn)銷售單價為90元時,日銷售利潤不低于3 750元的銷售目標(biāo),該產(chǎn)品的成本單價應(yīng)不超過多少元?銷售單價x(元)8595105115日銷售量y(個)17512575m日銷售利潤w(元)8751 8751 875875解析(1)設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b,k0,由題意得解得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-5x+600.(3分)當(dāng)x=115時,m=-5115+600=25.(4分)(2)80;100;2 000.(7分)(3)設(shè)該產(chǎn)品的成本單價為a元,由題意得(-590+600)(90-a)3 750.解

28、得a65.答:該產(chǎn)品的成本單價應(yīng)不超過65元.(10分)思路分析(1)在表格中任選兩對x,y的值,由待定系數(shù)法求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式,把x=115代入求得m的值;(2)由85-875175=80,得成本單價,根據(jù)題意可求得w關(guān)于x的函數(shù)解析式,配方得解;(3)列出以a為未知數(shù)的一元一次不等式,解不等式即可.易錯警示解答第(2)問時,容易從表格中選取數(shù)值直接填空,造成錯解,正確解法為:求出w關(guān)于x的解析式w=y(x-80)=-5(x-100)2+2 000,根據(jù)實際意義得,當(dāng)x=100時,得出w的最大值2 000.9.(2018貴州貴陽,22,10分)六盤水市梅花山國際滑雪場自建成以來,吸引了

29、大批滑雪愛好者.一滑雪者從山坡滑下,測得滑行距離y(單位:m)與滑行時間x(單位:s)之間的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)來表示.現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù),如下表所示.滑行時間x/s0123滑行距離y/m041224(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達(dá)式.現(xiàn)測量出滑雪者的出發(fā)點與終點的距離大約為840米,他需要多少時間才能到達(dá)終點?(2)將得到的二次函數(shù)圖象補充完整后,向左平移2個單位,再向下平移5個單位,求平移后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式.解析(1)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a0),將(0,0)代入函數(shù)表達(dá)式,得c=0,所以y=ax2+bx.把(1,4),(2,12)代入上式,得解這個方程組

30、,得所以,所求二次函數(shù)表達(dá)式為y=2x2+2x(x0).當(dāng)y=840時,840=2x2+2x,解得x1=20,x2=-21(不符合題意,舍去),所以,他需要20 s才能到達(dá)終點.(2)由y=2x2+2x,得y=2-,則該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為,所以,將y=2-的圖象向左平移2個單位,再向下平移5個單位后所得圖象的頂點坐標(biāo)為,所以平移后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式為y=2-或y=2x2+10 x+7.10.(2018湖北黃岡,23,9分)我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準(zhǔn)扶貧”活動中銷售一農(nóng)產(chǎn)品,經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y(萬件)與月份x(月)的關(guān)系式為y=每件產(chǎn)品的利潤z(元)與月份x(月)的關(guān)系如下表:x1234

31、56789101112z191817161514131211101010(1)請你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤z(元)與月份x(月)的關(guān)系式;(2)若月利潤w(萬元)=當(dāng)月銷售量y(元件)當(dāng)月每件產(chǎn)品的利潤z(元),求月利潤w(萬元)與月份x(月)的關(guān)系式;(3)當(dāng)x為何值時,月利潤w有最大值?最大值為多少?解析(1)根據(jù)表格可知,當(dāng)1x10且x為整數(shù)時,z=-x+20;當(dāng)11x12且x為整數(shù)時,z=10.z與x的關(guān)系式為z=或z=(2)當(dāng)1x8且x為整數(shù)時,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80;當(dāng)9x10且x為整數(shù)時,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40 x+400;當(dāng)11

32、x12且x為整數(shù)時,w=10(-x+20)=-10 x+200,w與x的關(guān)系式為w=或w=(3)當(dāng)1x8且x為整數(shù)時,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,當(dāng)x=8時,w有最大值,為144;當(dāng)9x10且x為整數(shù)時,w=x2-40 x+400=(x-20)2,當(dāng)x=9時,w有最大值,為121;當(dāng)11x12且x為整數(shù)時,w=-10 x+200,當(dāng)x=11時,w有最大值,為90.90121144,x=8時,w有最大值,為144.(或當(dāng)1x8且x為整數(shù)時,w有最大值144;當(dāng)x=9時,w=121;當(dāng)x=10時,w=100;當(dāng)x=11時,w=90;當(dāng)x=12時,w=80)11.(2018呼和

33、浩特,25,10分)某市計劃在十二年內(nèi)通過公租房建設(shè),解決低收入人群的住房問題.已知前7年,每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬平方米)與時間x(第x年)的關(guān)系構(gòu)成一次函數(shù)(1x7且x為整數(shù)),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面積分別為和百萬平方米;后5年每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬平方米)與時間x(第x年)的關(guān)系是y=-x+(7143.當(dāng)x=3時,年租金最大,Wmax=1.47億元.當(dāng)x=3時,m=23+36=42.5842=2 436元.老張這一年應(yīng)交租金2 436元.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要能從大量的文字信息中提取相關(guān)的已知條件,并能列出符合題意的表達(dá)式,進(jìn)而借助

34、二次函數(shù)的頂點式(配方法)求出相應(yīng)的最值.12.(2017安徽,22,12分)某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價不低于成本,且不高于80元.經(jīng)市場調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:售價x(元)506070銷售量y(千克)1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤=收入-成本);(3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況,并指出售價為多少元時獲得最大利潤,最大利潤是多少?解析(1)設(shè)y=kx+b(k0).由題意,得解得所求函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+20

35、0.(4分)(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280 x-8 000.(7分)(3)W=-2x2+280 x-8 000=-2(x-70)2+1 800,其中40 x80.-20,當(dāng)40 x70時,W隨x的增大而增大;當(dāng)700.每件的售價為18萬元,每件的成本y(萬元)是基礎(chǔ)價與浮動價的和,其中基礎(chǔ)價保持不變,浮動價與月需求量x(件)成反比,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),月需求量x與月份n(n為整數(shù),1n12)符合關(guān)系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k為常數(shù)),且得到了下表中的數(shù)據(jù).月份n(月)12成本y(萬元/件)1112需求量x(件/月)120100(1)求y與x滿足的關(guān)系式,請說

36、明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元;(2)求k,并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損;(3)在這一年12個月中,若第m個月和第(m+1)個月的利潤相差最大,求m.解析(1)由題意設(shè)y=a+,由表中數(shù)據(jù),得解得y=6+.(3分)由題意,若12=18-,則=0,x0,0.不可能.(5分)(2)將n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得120=2-2k+9k+27.解得k=13,將n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合.k=13.(6分)由題意,得18=6+,求得x=50.50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0.=(-13)2-41470,方程無實根.不

37、存在.(9分)(3)第m個月的利潤W=x(18-y)=18x-x=12(x-50)=24(m2-13m+47),第(m+1)個月的利潤W=24(m+1)2-13(m+1)+47=24(m2-11m+35).若WW,W-W=48(6-m),m取最小1,W-W=240最大.若W0,y1隨x的增大而增大.x200,當(dāng)x=200時,y1取得最大值1 180-200a.(4分)y2=-0.05x2+10 x-40=-0.05(x-100)2+460,而-0.050,當(dāng)x100時,y2隨x的增大而增大.(5分)x80,當(dāng)x=80時,y2取得最大值440.綜上,若產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品,最大年利潤為(1 180-20

38、0a)萬元,若產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品,最大年利潤為440萬元.(7分)(3)解法一:設(shè)w=1 180-200a-440=-200a+740.-2000,w隨a的增大而減小.由-200a+740=0,解得a=3.7.(9分)3a5,當(dāng)3a3.7時,選擇產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品;當(dāng)3.7a5時,選擇產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品.(10分)解法二:由1 180-200a3.7.(9分)3a5,當(dāng)3a3.7時,選擇產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品;當(dāng)3.7a5時,選擇產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品.(10分)16.(2015寧夏,25,10分)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價,將該產(chǎn)品按擬定的價格進(jìn)行試銷,通過對5天的試銷情況進(jìn)行統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):(1)計算這5天銷

39、售額的平均數(shù);(銷售額=單價銷量)(2)通過對上面表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)銷量y(件)與單價x(元/件)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍)(3)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然存在(2)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是20元/件.為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少?單價(元/件)3034384042銷量(件)4032242016解析(1)=934.4.(2分)(2)設(shè)所求一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k0),將(30,40)、(40,20)代入y=kx+b,得解得y=-2x+100.(5分)(3)設(shè)利潤為元,根據(jù)題意,得=(x-20)(-2

40、x+100)(7分)=-2x2+140 x-2 000=-2(x-35)2+450,(9分)則當(dāng)x=35時,取最大值.即當(dāng)該產(chǎn)品的單價為35元/件時,工廠獲得最大利潤450元.(10分)考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)三年模擬A組 20162018年模擬基礎(chǔ)題組1.(2018北京東城一模,2)當(dāng)函數(shù)y=(x-1)2-2的函數(shù)值y隨著x的增大而減小時,x的取值范圍是()A.x0B.x1D.x為任意實數(shù)答案B因為二次項系數(shù)為1,所以拋物線開口向上,因為y隨著x的增大而減小,且拋物線的對稱軸為直線x=1,所以x0,b0B.a0,b0,b0D.a0答案D由題目中給出的三個點,可以畫出拋物線的示意圖,如圖所示

41、.所以a0.故選D. 3.(2017北京順義一模,9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如果拋物線y=2x2不動,而把x軸、y軸分別向下、向左平移2個單位,則在新坐標(biāo)系下拋物線的表達(dá)式為()A.y=2(x+2)2-2B.y=2(x+2)2+2C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x-2)2+2答案D若把x軸、y軸分別向下、向左平移2個單位,則拋物線的頂點坐標(biāo)變?yōu)?2,2),則拋物線的表達(dá)式為y=2(x-2)2+2.故選D.4.(2018北京大興一模,11)請寫出一個開口向下,并且對稱軸為直線x=1的拋物線的表達(dá)式.答案y=-x2+2x-1(答案不唯一)解析設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,因為拋

42、物線開口向下,所以a0,由與y軸的交點坐標(biāo)為(0,1),可知c=1.所以解析式可以是y=x2+1.答案不唯一.7.(2016北京海淀一模,14)在下列函數(shù):y=2x+1;y=x2+2x;y=;y=-3x中,與眾不同的一個是(填序號),你的理由是 .答案;只有中函數(shù)的自變量取值范圍不是全體實數(shù)(答案不唯一)解析所寫理由只要能夠支撐填寫的結(jié)論即可.如:,只有是從左到右上升的直線;,只有的圖象是從左到右先下降后上升;,只有中函數(shù)的自變量取值范圍不是全體實數(shù);,只有是從左到右下降的直線.8.(2018北京豐臺二模,20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2-4x+2m-1與x軸交于點A,B(點

43、A在點B的左側(cè)).(1)求m的取值范圍;(2)當(dāng)m取最大整數(shù)時,求點A、B的坐標(biāo).解析(1)拋物線y=x2-4x+2m-1與x軸有兩個交點,方程x2-4x+2m-1=0有兩個不等的實數(shù)根,=(-4)2-4(2m-1)0,m2.5.(2)m2或-1+2m+12,m1.10.(2017北京東城一模,27)二次函數(shù)y=(m+2)x2-2(m+2)x-m+5,其中m+20.(1)求該二次函數(shù)的對稱軸方程;(2)過動點C(0,n)作直線ly軸.當(dāng)直線l與拋物線只有一個公共點時,求n與m的函數(shù)關(guān)系;若拋物線與x軸有兩個交點,將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個新的圖象,當(dāng)n

44、=7時,直線l與新的圖象恰好有三個公共點,求此時m的值;(3)若對于每一個給定的x的值,它所對應(yīng)的函數(shù)值都不小于1,求m的取值范圍. 解析(1)對稱軸方程為x=-=1.(2)直線l與拋物線只有一個公共點,n=-2m+3.依題意可知:當(dāng)-2m+3=-7時,直線l與新的圖象恰好有三個公共點.m=5.(3)拋物線y=(m+2)x2-2(m+2)x-m+5的頂點坐標(biāo)是(1,-2m+3).依題意可得解得m的取值范圍是-20時,拋物線的頂點為(2,1),且過點(4,4),拋物線的解析式為y=x2-3x+4.當(dāng)a0時,拋物線的頂點為(2,4),且過點(4,1),拋物線的解析式為y=-x2+3x+1.綜上,拋

45、物線的解析式為y=x2-3x+4或y=-x2+3x+1.考點二二次函數(shù)的實際應(yīng)用1.(2017北京懷柔二模,26)某商品的進(jìn)價為每件40元,當(dāng)售價為每件60元時,每星期可賣出300件,現(xiàn)需降價處理,且經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),每降價1元,每星期可多賣出20件,在確保盈利的前提下,解答下列問題:(1)若設(shè)每件降價x(x為整數(shù))元,每星期售出商品的利潤為y元,請寫出x與y之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量x的取值范圍;(2)請畫出上述函數(shù)的大致圖象;(3)當(dāng)降價多少元時,每星期的利潤最大?最大利潤是多少?小麗的解答過程如下:解:(1)根據(jù)題意,可列出表達(dá)式:y=(60-x)(300+20 x)-40(300+2

46、0 x),即y=-20 x2+100 x+6 000.降價要確保盈利,4060-x60.解得0 x20.(2)上述表達(dá)式的圖象是拋物線的一部分,函數(shù)的大致圖象如圖:(3)a=-200,當(dāng)x=-=2.5時,y有最大值,y最大值=6 125.所以,當(dāng)降價2.5元時,每星期的利潤最大,最大利潤為6 125 元.老師看了小麗的解題過程,說小麗第(1)問的表達(dá)式是正確的,但自變量x的取值范圍不準(zhǔn)確.第(2)(3)問的答案,也都存在問題.請你就老師說的問題,進(jìn)行探究,寫出你認(rèn)為(1)(2)(3)中正確的答案,或說明錯誤原因.解析(1)自變量x的取值范圍是0 x20,且x為整數(shù).(2)函數(shù)圖象不能為實線,是

47、圖象中,當(dāng)x=0,1,2,3,4,5,19時,對應(yīng)的20個點.如圖:(3)若x只取正整數(shù),則x不能取2.5,結(jié)果就不是6 125元,顯然,只有當(dāng)x=2或3時,y有最大值,y最大值=6 120,即當(dāng)降價2元或3元時,每星期的利潤最大,最大利潤為6 120元.2.(2016北京石景山二模,22)為了促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展,某市新建一座景觀橋.橋的拱肋ADB可視為拋物線的一部分,橋面AB可視為水平線段,橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接,拱肋的跨度AB為40米,橋拱的最大高度CD為16米(不考慮燈桿和拱肋的粗細(xì)),求與CD的距離為5米的景觀燈桿MN的高度. 解析建立如圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的表達(dá)式為

48、y=ax2+16(a0),由題意可知,B的坐標(biāo)為(20,0),400a+16=0,a=-,y=-x2+16.當(dāng)x=5時,y=15.答:與CD的距離為5米的景觀燈桿MN的高度為15米.思路分析建立平面直角坐標(biāo)系,將線段長轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo),借助二次函數(shù)的相關(guān)知識解決.B組20162018年模擬提升題組(時間:30分鐘分值:35分)一、填空題(共3分)1.(2018北京東城二模,12)拋物線y=mx2+2mx+1(m為非零實數(shù))的頂點坐標(biāo)為.答案(-1,1-m)解析y=mx2+2mx+1=m(x2+2x+1-1)+1=m(x+1)2+1-m,所以頂點坐標(biāo)為(-1,1-m).二、解答題(共32分)2.(

49、2018北京順義一模,26)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若拋物線y=x2+bx+c的頂點A的橫坐標(biāo)是-1,且與y軸交于點B(0,-1),點P為拋物線上一點.(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)若將拋物線y=x2+bx+c向下平移4個單位長度,點P平移后對應(yīng)的點為Q.如果OP=OQ,求點Q的坐標(biāo).解析(1)依題意得-=-1,b=2,由拋物線過點B(0,-1),得c=-1,拋物線的表達(dá)式是y=x2+2x-1.(2)向下平移4個單位長度得到拋物線y=x2+2x-5,由OP=OQ及平移的性質(zhì)可知,P、Q兩點橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù).令x2+2x-1+x2+2x-5=0,得x1=-3,x2=1.把x1=-3

50、,x2=1分別代入y=x2+2x-5,得y1=-2,y2=-2,點Q的坐標(biāo)為(-3,-2)或(1,-2).3.(2018北京豐臺二模,26)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=x2-2hx+h的圖象的頂點為點D.(1)當(dāng)h=-1時,求點D的坐標(biāo);(2)當(dāng)-1x1時,求函數(shù)的最小值m.(用含h的代數(shù)式表示)解析(1)y=x2-2hx+h=(x-h)2+h-h2,拋物線的頂點D的坐標(biāo)為(h,h-h2),當(dāng)h=-1時,點D的坐標(biāo)是(-1,-2).(2)當(dāng)x=-1時,y=3h+1,當(dāng)x=1時,y=-h+1.因為拋物線y=x2-2hx+h的對稱軸為直線y=h,所以當(dāng)h1時,函數(shù)的最小值m=-h+1.思路分析因為h的值不確定,所以需要分類討論.4.(2017北京海淀一模,27)平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=mx2-2m2x+2(m0)交y軸于A點,交直線x=4于B點.(1)拋物線的對稱軸為直線x=(用含m的代數(shù)式表示);(2)若ABx軸,求拋物線的表達(dá)式;(3)記拋物線在A,B之間的部分為圖象G(包含A,B兩點),