1、八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題講解:幾何變換閱讀與思考幾何變換是指把一個(gè)兒何圖形片變換成另一個(gè)幾何圖形f2的方法，若僅改變圖形的位 置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換.圖11 .平移變換如圖1,如果把圖形G上的各點(diǎn)都按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F?后，則由E到F?的 變換叫平移變換.平移變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等且平行，對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致.2 .對(duì)稱變換如圖2,將平面圖形片變換到與它成軸對(duì)稱的圖形F?,這樣的兒何變換就叫做關(guān)于直線/（對(duì)稱軸）的對(duì)稱變換.對(duì)稱變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，其對(duì)稱軸是連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)線段的垂直平分線.3 .旋轉(zhuǎn)

2、變換如圖3,將平面圖形G繞這一平面內(nèi)一定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角a,得到圖形F?,這樣的變 換叫旋轉(zhuǎn)變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，a叫旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形是全等的，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn) 角.例題與求解【例1】如圖，NAO8=45,角內(nèi)有點(diǎn)P,P。二10,在角的兩邊上有兩點(diǎn)0, R （均不同于O）,（黃岡市競(jìng)則PQR的周長(zhǎng)的最小值為賽試題）解題思路:作尸點(diǎn)關(guān)于04, 08的對(duì)稱點(diǎn)，確定0, R的位置，化折線為直線，求PQR的最 小值.【例2】如圖，P是等邊ABC的內(nèi)部一點(diǎn)，NAPB,ZBPC, NCR1的大小之比是5:6:7,則以以，PB, PC為邊的三角形的三個(gè)角的大小之比（

3、從小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D .不能確定（全國通訊賽試題）解題思路:解本例的關(guān)鍵是如何構(gòu)造以雨，PB, PC為邊的三角形，若把以8, 尸8C, PC4 中的任一個(gè)，繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60,就可以把以，PB, PC有效地集中在一起.【例3】如圖，在A3C中，40,8c于。，NB=2NC,求證:48+8O=CD（天津市競(jìng)賽試題）解題思路:用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法證明，實(shí)質(zhì)都利用AD翻折造全等.A【例4】如圖，六邊開0A8COE/中，AB/DE, BC/FE, CD/AF,對(duì)邊之差 BC-FE=ED-AB=AF-CD 0 ,求證:該六邊形的各角都相等.（全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽

4、試題）解題思路:設(shè)法能將復(fù)雜的條件用一個(gè)基本圖形表示，題設(shè)條件 有平行條件，考慮實(shí)施平移變換.【例 5】已知 RtZkABC 中，AC=BC9 ZACB=90, NMCN=45 (1)如圖1,當(dāng)M、N在AB上時(shí)，求證:MNAMBN?（2）如圖2,將NMCN繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M在反4的延長(zhǎng)線時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立, 請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.（天津市中考試題）圖2解題思路:儲(chǔ)=4 + 8儲(chǔ)符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為直角三角形可將ACM沿直線（泰安市中考試題）CM對(duì)折，得OCM.連。N,只需證ON=8M NMDN=90；或?qū)CM（或BCM）旋轉(zhuǎn).【例 6】如圖，ZDAC= 12% ZDB

5、C= 24, NC4B=36, ZABD= 48 ,求NQC4 的度數(shù).（日本算術(shù)奧林匹克試題）解題思路:已知角的度數(shù)都是12的倍數(shù)，36+ 24 =60,這使我們想到構(gòu)作正三角形.能力訓(xùn)練.在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，將ABC向右.平移3個(gè)單位后得到AEU,則NBAA的度數(shù)是.（第1題）.如圖，尸是等邊 AABC 內(nèi)一點(diǎn)，PA=6, PB=8, PC=10, WOZAPB=. TOC o 1-5 h z 4k493 .如圖，直線為=與雙曲線刈=伙0）交于點(diǎn)A,將直線向右平移士個(gè)單位后，3 x32與雙曲線以 =上交于點(diǎn)8,與x軸交于點(diǎn)C.若迫=2,則攵=.（武漢市xBC中考試題）.如圖，48

6、C 中，NBAC=45, ADBC, DB=3, DC=2,則A8C 的面積是.如圖，尸為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若PA:PB:PC = 1:2:3,則NAP3的度數(shù)是（）.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形A8CO的對(duì)角線交于點(diǎn)O,把邊8A、CO分別繞點(diǎn)8、C同時(shí)逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)60,得四邊形488,下列結(jié)論:四邊形A88為菱形；與邊形.切=正方形他。； 線段OO的長(zhǎng)為6-1.其中正確的結(jié)論有（）.A.。個(gè)B. 1個(gè)C 2個(gè)D. 3個(gè).如圖，4, B兩個(gè)電話機(jī)離電話線/的距離分別是3米，5米，米，若ll上一點(diǎn)分別向A, 8連電話線，最短為（）.A.11米B. 10 米C.9米D.8米.如圖，在ABC 中，/84。=1

7、20。，尸是ABC 內(nèi)一點(diǎn)，若記x = R4 + P8 + PC, y = AB + AC9B. x=v1C. xyD. x與y的大小關(guān)系不確A第7題圖9.如圖，已知。是ABC中8c邊的中點(diǎn),過。作QEJ_OF,分別交AB于E,交4c于F,（天津市競(jìng)賽試題）.如圖，48C, ABU 其各邊交成六邊形。石FGHK,且 EFKH, GH/DE, FG/KD, KH-EF = FG-KD = DE-GHQ.求證:ABC, ABC均為為正三角形.（“縉云杯”邀請(qǐng)賽試題）Cl V b,A.如圖，已知ABC 中，AB=ACf P,。分別為 AC, AB 上的點(diǎn)，Q. AP=PQ=QB=BC.求N PCQ.

8、(北京市競(jìng)賽試題).如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，4, 8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3), 8(4,-1).(1)若P(x,O)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)用B的周長(zhǎng)最短時(shí)，求尤的值；(2)若。3,0),。( + 3,0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形A8CO的周長(zhǎng)最短時(shí)，求。的值；(3)設(shè)M, N分別為x軸，)，軸上的動(dòng)點(diǎn)，問:是否存在這樣的點(diǎn)M(?,0)和N(0,)，使四邊 形48WN的周長(zhǎng)最短？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.(浙江省湖州市中考試題)kyoBA.如圖，梯形ABC。中，AD/BC,分別以兩腰48,為邊向兩邊作正方形月質(zhì)芯和正方形DCHF,設(shè)線段力。的垂直平分線J交線段Eb于

9、點(diǎn)，EPJJ于尸，/QJJ于。，求證:碇=尸。.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.如圖所示，已知放ABC中，AB=BC,在用 AAOE中，AD=DE,連結(jié)EC,取EC中點(diǎn)M,連結(jié)DM和BM.（1）若點(diǎn)。在邊AC上，點(diǎn)上在邊A8上且與點(diǎn)B不重合，如圖1,求證且DM；（2）如圖2中的AOE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45的角，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明.（廣州市中考試題）圖1圖2.如圖，在ABC 中，N8AC=45, 8c 于。，若 80=3, C=2,求ABC 的面積.（山東省競(jìng)賽試題）3 D 2aap/.則 /APD = N ACD. / 尸 40=4 OW =

10、12、/MB = 60。.八P =AU AC. PB,則為正二例形，得ZPBf= 12I ZDAH - 120 + 36- - 13=NDBA,；Nrj 三片口,.-.PADAPBD,故N,WD=/8CD=3比,./Am=/APD 30能力訓(xùn)球J. 45“2. 15003.12提樂,如圖設(shè)A（,1.丑八 I作A。軸，交于點(diǎn)。.過W 作班工r黜改于點(diǎn)E. 由21Ao-小收七.AO.反勰售=2.則CE一疊.M=（3則ZX/+梟看女；A.U都在雙曲線上, a -T +解得g-3Q =僅舍人 A4- 3X4=12.& ：5提示，分別以.M,AU為對(duì)稱鈾作D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) E.E連結(jié)FC.EN相交-G.iE

11、明四邊形AFGE為訐 方形.專題29幾何變換例 1。疙例2 A於示:用公人P繞H點(diǎn)明時(shí)的榮轉(zhuǎn)婚得C“D,則八AfJTNACBD/KPD為等邊三角形.例3 提示：延技DB至E.使BE = AB,連結(jié)AE, ZABC=2ZE.勺收提示:過E作ER/CD過作CTV，八B.過八作 AQEE則FQR為等邊三角形.例5 CD如圖 &,由DCgAACM,則 DCAC DM =AM.乙力CM /K.M，NCIW=NA.又由 CA = CB,得 CD = CB,由 /DCN = 45u - N !CM. / RCN=歸一/ACM 得 / D( ：N=/ B(：N. 又 CN = CN,加J ADCM 9 境N,

12、有 DN = BN. NCDN/B.工 /MDNk/CDM+NCDN=NH4NR-SK工 MV Mlf - DN 即 MM hAjW BM.C2)關(guān)系式:M、 =AVf十BM仍成立.方法同L加 圖b.例6如圖丁作AACD關(guān)于AD所在在線曲軸對(duì)稱圖形5. B 6 C 7, B 8. D9我延長(zhǎng)F。至必位r*i=FD,注結(jié)歷.-提右作皮必陽尸勿K,kR/”e,交成等或角 形PQEIL提示:作加/BQ連PD.CO:四邊形QfiCD為菱形，8 QJi 由八F Q* = CnAQ = PC，NA = PCD.珥DCPtAPAQ. PD=/*Q=QU = QD.Q尸U為等邊三角形.又丁/CPD=/A NPQA,乙QC= ZZA. NQFf） = 3/A = 501，ZA 二 2G，/B=乙,ACb-