1、PAGE PAGE 15專題強化練2空間向量與立體幾何的綜合應(yīng)用解答題1.(2020陜西西安中學(xué)高二月考,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,BAD=60.(1)求證:BD平面PAC;(2)若PA=AB,求PB與AC所成角的余弦值.2.(2020安徽合肥六中高二上期末,)如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ACAB,AC=AB=4,AA1=6,點E、F分別為CA1、AB的中點.(1)證明:EF平面BCC1B1;(2)求B1F與平面AEF所成角的正弦值.3.()如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長均為4,N是CC1的中點.(1)求點N到直線

2、AB的距離;(2)求點C1到平面ABN的距離.4.(2020山東煙臺第一中學(xué)高三上聯(lián)考,)如圖所示的幾何體中,BEBC,EAAC,BC=2,AC=22,ACB=45,ADBC,BC=2AD.(1)求證:AE平面ABCD;(2)若ABE=60,點F在EC上,且滿足EF=2FC,求平面FAD與平面ADC的夾角的余弦值.5.()如圖,一個正三角形ABC和一個平行四邊形ABDE在同一個平面內(nèi),其中AB=8,BD=AD=43,AB,DE的中點分別為F,G.現(xiàn)沿直線AB將ABC翻折成ABC,使二面角C-AB-D為120,設(shè)CE的中點為H.(1)求證:平面CDF平面AGH;(2)求異面直線AB與CE所成角的

3、正切值;(3)求平面CDE與平面DEF的夾角的余弦值.6.(2020重慶西南大學(xué)附中高二上期末,)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)面PAD為正三角形,AD=2,AB=3,平面PAD平面ABCD,E為棱PB上一點(不與P、B重合),平面ADE交棱PC于點F.(1)求證:ADEF;(2)若平面BAC與平面ACE夾角的余弦值為33020,求點B到平面AEC的距離.7.()如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E為PD的中點.(1)求異面直線AC與PB間的距離;(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NE平面PAC,并求出N到A

4、B和AP的距離.8.(2020河南河大附中高二上期末,)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求平面DAE與平面AEC夾角的余弦值.深度解析答案全解全析解答題1.解析(1)證明:因為四邊形ABCD是菱形,所以ACBD.因為PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又因為ACPA=A,所以BD平面PAC.(2)設(shè)ACBD=O.因為BAD=60,AB=2,所以BO=1,AO=CO=3.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,直線OB,OC分別

5、為x軸,y軸,過點O平行于PA的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則P(0,-3,2),A(0,-3,0),B(1,0,0),C(0,3,0),所以PB=(1,3,-2),AC=(0,23,0).設(shè)PB與AC所成角為,則cos=|PBAC|PB|AC|=62223=64,即PB與AC所成角的余弦值為64.2.解析(1)證明:如圖,連接EC1、BC1,因為三棱柱A1B1C1-ABC為直三棱柱,所以E為AC1的中點.又因為F為AB的中點,所以EFBC1.又EF平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,所以EF平面BCC1B1.(2)以A1為原點,A1C1、A1B1、A1A所在直線分別為x、y

6、、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1xyz,則A(0,0,6),B1(0,4,0),E(2,0,3),F(0,2,6),所以B1F=(0,-2,6),AE=(2,0,-3),AF=(0,2,0),設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則nAE=2x-3z=0,nAF=2y=0,令x=3,得n=(3,0,2),記B1F與平面AEF所成角為,則sin=|cos|=|B1Fn|B1F|n|=313065.3.解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),N是CC1的中點,N(0,4,2).(1)AN=(0,4,2),AB=(2

7、3,2,0),則|AN|=25,|AB|=4.設(shè)點N到直線AB的距離為d1,則d1=|AN|2-ANAB|AB|2=20-4=4.(2)設(shè)平面ABN的法向量為n=(x,y,z),則由nAB,nAN,得nAB=23x+2y=0,nAN=4y+2z=0,令z=2,則y=-1,x=33,即n=33,-1,2.易知C1N=(0,0,-2),設(shè)點C1到平面ABN的距離為d2,則d2=C1Nn|n|=-4433=3.4.解析(1)證明:在ABC中,BC=2,AC=22,ACB=45,由余弦定理可得AB2=BC2+AC2-2BCACcos45=4,所以AB=2(負(fù)值舍去),因為AC2=AB2+BC2,所以A

8、BC是直角三角形,ABBC.又BEBC,ABBE=B,所以BC平面ABE.因為AE平面ABE,所以BCAE,因為EAAC,ACBC=C,所以AE平面ABCD.(2)由題易得EB=2AB=4,由(1)知,BC平面ABE,所以平面BEC平面ABE,如圖,以B為原點,過點B且垂直于平面BEC的直線為z軸,BE,BC所在直線分別為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則C(0,2,0),E(4,0,0),A(1,0,3),D(1,1,3),因為EF=2FC,所以F43,43,0,易知AD=(0,1,0),AF=13,43,-3,設(shè)平面FAD的法向量為n=(x,y,z),則ADn=0,AFn=0,即y=

9、0,13x+43y-3z=0,令z=3,則x=9,所以n=(9,0,3).由(1)知EA平面ABCD,所以EA=(-3,0,3)為平面ABCD的一個法向量.設(shè)平面FAD與平面ADC的夾角為,則cos=|EAn|EA|n|=2423221=277,所以平面FAD與平面ADC的夾角的余弦值為277.5.解析(1)證明:因為四邊形ABDE為平行四邊形,F、G分別為AB、DE的中點,所以四邊形FDGA為平行四邊形,所以FDAG.又H、G分別為CE、DE的中點,所以HGCD.因為FD、CD平面AGH,AG、HG平面AGH,所以FD平面AGH,CD平面AGH,因為FD、CD平面CDF,FDCD=D,所以平

10、面CDF平面AGH.(2)因為三角形ABC為正三角形,BD=AD,F為AB的中點,所以ABCF,ABDF,所以CFD為二面角C-AB-D的平面角,又CFDF=F,所以AB平面CFD,因為AB平面ABDE,所以平面CFD平面ABDE.作CO平面ABDE于O,則O在直線DF上.又二面角C-AB-D的平面角為CFD=120,所以O(shè)在線段DF的延長線上.易知CF=43,則FO=23,CO=6.以F為原點,FD、FA所在直線分別為x軸、y軸,過點F平行于OC的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,4,0),B(0,-4,0),D(33,0,0),E(33,8,0),C(-23,0,6),所以A

11、B=(0,-8,0),CE=(53,8,-6).所以異面直線AB與CE所成角的余弦值為|cos|=|ABCE|AB|CE|=64857=8735,從而其正切值為1-873528735=1118.(3)由(2)知CD=(53,0,-6),DE=(0,8,0),設(shè)平面CDE的法向量為n1=(x,y,z),則由n1CD,n1DE得53x-6z=0,8y=0,令z=53,得n1=(6,0,53).易知平面DEF的一個法向量n2=(0,0,1),所以平面CDE與平面DEF的夾角的余弦值為|cos|=|n1n2|n1|n2|=53737.6.解析(1)證明:底面ABCD為矩形,ADBC,又AD平面PBC,

12、BC平面PBC,AD平面PBC.又AD平面ADE,平面ADE平面PBC=EF,ADEF.(2)如圖,取AD的中點O,連接PO,過點O作OHAB交BC于點H.側(cè)面PAD為正三角形,POAD,平面PAD平面ABCD,且交線為AD,PO平面ABCD,底面ABCD為矩形,ABAD,OHAD.以O(shè)為原點,OA,OH,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則O(0,0,0),P(0,0,3),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),PB=(1,3,-3),AC=(-2,3,0).設(shè)PE=PB(01),則E(,3,3-3),AE=(-1,3,3-3).設(shè)平面AEC的法

13、向量為n=(x1,y1,z1),則nAC=0,nAE=0-2x1+3y1=0,(-1)x1+3y1+(3-3)z1=0,令x1=3,則y1=2,z1=3(3-1)-1.平面AEC的一個法向量為n=3,2,3(3-1)-1.易知OP=(0,0,3)是平面ABC的一個法向量.|cos|=|OPn|OP|n|=9-3-1313+3(3-1)2(-1)2=33020,解得=23,E23,2,33,BE=-13,-1,33.又平面AEC的一個法向量n=(3,2,-33),點B到平面AEC的距離為|BEn|n|=6210=31010.7.解析(1)由題意得ABAD,PAAD,PAAB.以A為原點,AB所在

14、直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),B(3,0,0),AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2),AP=(0,0,2),設(shè)異面直線AC、PB的公垂線的方向向量為n=(x,y,z),則nAC,nPB,nAC=3x+y=0,nPB=3x-2z=0,令x=1,則y=-3,z=32,即n=1,-3,32.設(shè)異面直線AC、PB之間的距離為d,則d=|APn|n|=31+3+34=25719.(2)設(shè)在側(cè)面PAB內(nèi)存在一點N(a,0,c),使NE平面PAC,由(1)知E0,12,1,NE=-a,12,1-c

15、,NEAP=2(1-c)=0,NEAC=-3a+12=0,解得a=36,c=1,N36,0,1,N到AB的距離為1,N 到AP的距離為36.8.解析(1)證明:由題意可得,ABDCBD,從而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.如圖,取AC的中點O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO.又ABC是正三角形,所以BOAC.所以DOB為二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA,OB,OD的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向,|OA|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的12,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的12,即E為DB的中點,得E0,32,12.故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=-1,32,12.設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,則nAD=