1、關(guān)于拋物線焦點弦的弦長公式補(bǔ)充(1)已知：拋物線的方程為2 = 2px (p 0),過焦點F的弦AB交拋物線于A B兩點， 且弦AB的傾斜角為，求弦AB的長。 p兀、解：由題意可設(shè)直線AB的方程為y = k(x-%) ( -)將其代入拋物線方程整理得：4 k 2 X2 - (4 pk 2 + 8 p) X + P2 k 2 = 0 ，且 k = tan 設(shè) A,B 兩點的坐標(biāo)為(X， )，( X， )貝 0： x + X = Pk2+ 2 p，XX1122人i 人2 k 212=(sin )2I AB 1= 1 + k2.、;(X1 + X2)c 兀當(dāng) =-時，斜率不存在，sin=1, IAB

2、I=2p.即為通徑而如果拋物線的焦點位置發(fā)生變化，則以上弦長公式成立嗎？這只能代表開口向右時的 弦長計算公式，其他幾種情況不盡相同?，F(xiàn)在我們來探討這個問題。(2)已知：拋物線的方程為X2 = 2py(p 0)，過焦點的弦AB交拋物線于A,B兩點，直線AB傾斜角為，求弦AB的長。解：設(shè)A,B的坐標(biāo)為(工，y),(X ,y )，斜率為k(k = tan0 )，而焦點坐標(biāo)為(0,p)，11222 p故AB的方程為y - 5 = kX，將其代入拋物線的方程整理得：X2 - 2 pkX - p2 = 0,從而 X + X = 2 pk, XX =-p2,弦長為：1 AB|=X1+X2)2-4X X2 =

3、0 = 0, cos 0 = 1,I AB I= 2p，即為通徑。而y2 = -2pX與(1)的結(jié)果一樣，X2 = -2py與(2)的結(jié)果一樣，但是(1)與(2) 的兩種表達(dá)式不一樣，為了統(tǒng)一這兩種不同的表達(dá)式，只須作很小的改動即可。現(xiàn)將改動陳 述于下：(3)已知：拋物線的方程為y2 = 2pX (p 0)，過焦點F的弦AB交拋物線于A，B 兩點，且弦AB與拋物線的對稱軸的夾角為，求弦AB的長。 p兀、解：由題意可設(shè)直線AB的方程為y = k(X -專)( -)將其代入拋物線方程整理得:4 k2 X2 - (4pk2 + 8p)x + p2 k2 = 0冗若傾斜角 a ，則 a =n 9, k

4、 = tan a = tan(兀9)。2設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)為(x ,y),(x ,y)1122則：x + x = A 2+ 2 p，x x =匚12k 21 2 4x 1 + x 2) 2 4 x. XJ1 + (tan 以)2(p k 2 + 2 p )2 p 2 k 42 p(sin a ) 22p而 sin 9 = sin a ,sin(兀一9) = sin a，故 I AB I= .；(sin9 )2八 兀當(dāng)。=一時，sin9 = 1, IABI=2p.即為通徑。2而y2 = -2px與(3)的結(jié)果一樣同理：(4)已知：拋物線的方程為x 2 = 2py(p 0)，過焦點的弦AB交拋物線

5、于A,B兩點，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角為9，求弦AB的長。解：設(shè)A,B的坐標(biāo)為(工,y ),(x ,y )，若傾斜角為a，斜率為k，1122p則k = tana，而焦點坐標(biāo)為(0-)， p故AB的萬程為y 5 = kx，將其代入拋物線的萬程整理得:x2 2 pkx p2 = 0,從而 x + x = 2 pk, xx = p2， TOC o 1-5 h z 1212弦長為：| AB 1=板口2k(x1+x2)2-4x1 x2 = (cosa )2兀兀 八兀當(dāng)傾斜角a ，則a = +9,cosa = cos( +9) = sin9222所以1 AB|=（sin/e）2恒成立。兀.當(dāng)e=時，sine = 1, IABI=2p.即為通徑。2而% 2 =-2py與（4）的結(jié)果一樣。故只要直線AB與拋物線的對稱軸的夾角為e，那么不論拋物線的開口向上，向下，向左還是向右，過焦點的弦的弦長都可以用一個公式表示，即I AB