1、3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義3.9 稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)ab,cd，有 paXb,cYd=paXbpcYd 即事件aXb與事件cYd獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立。定理3.1：隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立的充分必要條件是F(x,y)=FX(x)FY(y) 定理3.2 設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理3.3 設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意i,j，Pi,j=Pi.Pj 。由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性，只需求出它

2、們各自的邊緣分布，再看是否對(duì)(X,Y)的每一對(duì)可能取值點(diǎn),邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可。例1 已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為(1)求邊緣概率密度f(wàn)X(x)與fY(y);(2)問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立.解X的邊緣概率密度為Y的邊緣概率密度為顯然所以X,Y不相互獨(dú)立.例2例3.已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為且知X與Y獨(dú)立，求a、b的值。Y解 X的邊緣分布律為P(X=0)=0.3, P(X=1)=a+b,Y的邊緣分布律為P(Y=1)=0.15+a, P(Y=2)=0.15+b,因?yàn)閄與Y獨(dú)立，所以P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)從而0.15=0.3（0.15+a)得 a=0.

3、35又 a+b=0.7所以 b=0.35例4 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為XY2580.40.80.150.300.350.050.120.03求(1)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律?(2)X,Y是否相互獨(dú)立解關(guān)于X的邊緣分布律是Xp2580.20.420.38關(guān)于Y的邊緣分布律Yp0.40.80.80.2因?yàn)镻(X=2,Y=0.4)=0.15而P(X=2)P(Y=0.4)=0.20.8=0.16P(X=2,Y=0.4) P(X=2)P(Y=0.4)所以X,Y不相互獨(dú)立. 例13 （不講） 一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 p，(0p1)， 射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止. 以表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù). 試求和的聯(lián)合分布及條件分布.解：依題意， =n 表示在第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo),且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo). =m表示首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊了m次n次射擊擊中2nn-11.m擊中 n=2,3, ; m=1,2, , n-1由此得和的聯(lián)合概率函數(shù)為 不論m(mn)是多少，P( =m, =n)都應(yīng)等于n次射擊擊中2nn-11.m擊中每次擊中目標(biāo)的概率為 pP( =m, =n)=？ 為求條件分布，先求邊緣分布. 的邊緣概率函數(shù)是：m=1,2, 的邊緣概率函數(shù)是：n=2