1、溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 黃忠裕2012年12月16日浙江省中小學(xué)教師專業(yè)發(fā)展培訓(xùn)項目高中數(shù)學(xué)知識拓展指導(dǎo) 選修3-1：數(shù)學(xué)史選講 選修3-2：信息安全與密碼 選修3-3：球面上的幾何 選修3-4：對稱與群 選修3-5：歐拉公式與閉曲面分類 選修3-6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充 選修4-1：幾何證明選講 選修4-6：初等數(shù)論初步 選修4-2：矩陣與變換 選修4-7：優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步 選修4-3：數(shù)列與差分 選修4-8：統(tǒng)籌法與圖論初步 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 選修4-9：風(fēng)險與決策 選修4-5：不等式選講 選修4-10：開關(guān)電路與布爾代數(shù) 浙江普通高中知識拓展類選修課程實施方案必修拓展課

2、程從國家課程選修模塊中選用：數(shù)學(xué)1-1，數(shù)學(xué)1-2，數(shù)學(xué)2-1、數(shù)學(xué)2-2、數(shù)學(xué)2-3大學(xué)初級課程：微積分、線性代數(shù)、空間解析幾何 介紹學(xué)科最新成果的課程：現(xiàn)代數(shù)學(xué)概覽、分形幾何 學(xué)科應(yīng)用性課程：數(shù)學(xué)史選講、信息安全與密碼、球面上的幾何、幾何證明選講、矩陣與變換、數(shù)列與差分、坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步、風(fēng)險與決策、開關(guān)電路與布爾代數(shù)、生活中的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì) 最優(yōu)化思想黃金分割和優(yōu)選法斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用斐波那契計算之書兔子問題（1202年）如果每1對成兔每月生1對幼兔，幼兔經(jīng)過2個月后成為成兔，即開始繁殖，問年初的1對幼兔經(jīng)過1年后能繁殖成多少對兔子？假

3、定這一過程兔子不發(fā)生任何死亡。 由兔子問題抽象得遞推關(guān)系本月底幼兔總對數(shù)=上上個月底兔子總對數(shù)所以：本月底兔子總對數(shù)=上月底兔子總對數(shù)+上上個月底兔子總對數(shù)。用un表示第n個月底兔子的總對數(shù) ，則有斐波那契數(shù)列。(A.Girard,1634) 為方便，補(bǔ)充定義u0=1?！白邩翘荨眴栴} 某人要走一架n個臺階的樓梯，某人每步向上走1個臺階或2個臺階。un表示該人從地面向上走到第n個臺階時所有不同的走法種數(shù)，求un。 n階樓梯的所有走法un1(1)12(11),(2)23(111),(21),(12)34(1111),(211),(121),(112),(22)55(11111),(2111),(1

4、211),(1121),(1112),(221),(212),(122)86n按第一步的走法分類un=un-1+un-2(n3)；u1=1,u2=2。斐波那契數(shù)列解法1：n階樓梯的所有走法un1(1)12(11)； (2)23(111)；(21),(12)34(1111)；(211),(121),(112)；(22)55(11111);(2111),(1211),(1121),(1112)(221),(212),(122)8n賈憲三角形表達(dá)式E.Piccioli，1916 De Moivre提出，J.P.M.Binet 1843年證明，世稱Binet公式黃金分割率，它是美的標(biāo)準(zhǔn)之一，也是優(yōu)選法

5、的理論基礎(chǔ)。該數(shù)列極限為該數(shù)列相鄰兩項之比構(gòu)成的“比值”數(shù)列通項公式黃金分割的美（黃金比0.618）人體各部分的比 肚 臍 ： （頭腳） 印堂穴： （口頭頂） 肘關(guān)節(jié)： （肩中指尖） 膝 蓋： （髖關(guān)節(jié)足尖）著名建筑物中各部分的比 埃及的金字塔，高（137米）與底邊長（227米）之比為0.629.古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高之比為3405530.615風(fēng)景照片中 地平線的位置美觀矩形正五角星中的線段比（正五角星很美） 舞臺報幕者的最佳站位 在整個舞臺寬度的0.618處較美 小說、戲劇、戰(zhàn)爭的高潮出現(xiàn)：在整個作品的0.618處較好華羅庚先生證明了：黃金分割點具有再生性。 黃金分割點的再生性

6、，是“黃金分割”之所以美的數(shù)學(xué)依據(jù)。黃金分割為什么美為什么不是0.5的分割點讓人感覺愉悅，而是0.618的分割點讓人感覺愉悅呢？因為0.618的分割點反映了“恰到好處的和諧”。 即： 如果是 的黃金分割點， 是 的黃金分割點， 與 當(dāng)然關(guān)于中點 對稱。特殊的是， 又恰是 的黃金分割點。同樣，如果 是 的黃金分割點，則 又恰是 的黃金分割點，等等，一直延續(xù)下去 。（再生）0.618優(yōu)選法（黃金分割法）問題：做2千克大米的干飯，放多少水最好吃？（1000g-2000g)“飯好吃f(x)”是“放水量x”的函數(shù)；但不知其具體表達(dá)式，或即使知道但太復(fù)雜；函數(shù)f(x)有何特點？單峰（谷）函數(shù)不能用數(shù)學(xué)方法

7、尋找單峰函數(shù)的最優(yōu)點，怎么辦？.通過作試驗的方法來尋找最佳點。優(yōu)選法是以最少的試驗次數(shù)迅速找到最佳點的試驗方法。這是最優(yōu)化一種新的思維方法！問題：做2千克大米的干飯，放多少水最好吃？（1000g-2000g)最“笨”的方法是分別加入1001克，1002克，2000克，做1千次試驗，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。華羅庚證明了，每次取試驗區(qū)間的0.618處去做試驗的方法，才是最好的，這種優(yōu)選法稱為“黃金分割法”或“0.618法”。18黃金分割法步驟：用一有刻度的紙條表達(dá)1000克2000克。 在這紙條長度的0.618的地方C劃一條線，也就是按1618克做第一次試驗。然后把紙條對折，前一條線落在下一層紙的地方C

8、/，再劃一條線（1382克處），再按1382克做第二次試驗。 把兩次試驗結(jié)果比較，如果1618克的效果較差（壞點），就把1618克以外的一段紙條剪去，反之就把1382克以外的一段剪去。 再把剩下的紙條對折，紙條上剩下的那條線落在下一層紙的地方C/，再劃一條線（黃金分割點），這條線在 1236克處。按1236克C/做第三次試驗。把1236克處C/和1382克C/的試驗效果比較，如果1236克C/的效果較差，就把1236克C/以外的短的一段紙條剪去。再對折剩下的紙條，找出第四次試驗點1472克。按1472克做試驗后，與1382克C/的效果比較，再剪去效果較差點以外的短的一段紙條。再對折尋找下一次試

9、驗點，一次比一次接近我們的需要，直到達(dá)到我們滿意的精確度。 注意，每次剪掉的都是效果較差點以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長度是上次長度的0.618倍。因此，紙條的長度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點。 事實上，當(dāng)紙條長度已經(jīng)很小時，紙條上的任一個點都可以作為“滿意”的點了，因為最優(yōu)點就在紙條上，你取的點與最優(yōu)點的誤差一定小于紙條的長。1985年6月12日華羅庚先生在日本的最后一場演講（75歲）“工作到人生的最后一刻”歸納：0.618優(yōu)選法（黃金分割法）問題：做2千克大米的干飯，應(yīng)該放多少水？（10

10、00g-2000g)尋找單峰（谷）函數(shù)（不知其具體表達(dá)式或太復(fù)雜）的最優(yōu)點.通過作試驗的方法尋找最佳點優(yōu)選法是以最少的試驗次數(shù)迅速找到最佳點的試驗方法。操作過程：第一個試驗點x1=a+(b-a)0.618，第二個試驗點x2=a+b-x1；對比x1,x2處結(jié)果，裁去“壞點”外邊的部分；以此類推；在確定第n個試點xn時，如果存優(yōu)范圍內(nèi)相應(yīng)的好點是xm，那么有xn=小+大-xm.稱“加兩頭，減中間”來確定下1個試點。經(jīng)過n次試驗后留下的區(qū)間長為原區(qū)間長的0.618n-1（精度）。0.618法試點為什么這樣選擇？第一、第二次試點選擇的原則：1、公平原則；使兩個試點關(guān)于區(qū)間a,b的中點對稱2、繼承原則每

11、次舍去的區(qū)間占舍去前的區(qū)間的比例數(shù)相同。據(jù)上述原則求出第1、第2次試點的位置線段a,b的黃金分割點0.618法（黃金分割法）25 0.618這個“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。由此再反觀0.618的分割點為什么在許多場合都反映了“恰到好處的和諧”。其數(shù)學(xué)依據(jù)就是“黃金分割點的再生性”。數(shù)學(xué)的美，在于數(shù)學(xué)思想深刻之美。分?jǐn)?shù)法例：在配置某種清洗液時，需要加入某種材料。經(jīng)驗表明，加入量大于130ml肯定不好。用150ml的錐形量杯計量加入量，該量杯的量程分為15格，每格代表10ml。用試驗法找出這種材料的最優(yōu)加入量。能用0.618法嗎？如果用0.61

12、8法，算出的試點不是10ml的整數(shù)倍，此法不能用。采用分?jǐn)?shù)法，借助Fibonacci數(shù)列來處理。分?jǐn)?shù)法的操作 把實驗區(qū)間0,130分成13等分，分點依次設(shè)為1,2,3,12。選分?jǐn)?shù)8/13作為黃金分割數(shù)的近似值。第一個試點為8，第二個為5，若8好，則去掉0,5，剩下5，13；8已試過，在10處做第3個試驗，若還是8好，去掉10,13，剩下5，10；在7處做第四個試驗，若7比8好，去掉8，10，剩下5，8；在6做第五個試驗，如6比7好，則6為最佳點。五次試驗后，精度為1/13。 分?jǐn)?shù)法現(xiàn)實中，由于受時間、人力等影響，往往使試驗次數(shù)受到限制，此時采用分?jǐn)?shù)法可以達(dá)到較好的效果。分?jǐn)?shù)法與0.618法的本質(zhì)是相同的。有兩種情況：1.可能的試點總數(shù)正好是某一個(Fn+1-1)；2.可能的試點總數(shù)大于某一(Fn-1)，而小于(F