1、圖的嵌入分布單峰點(diǎn)位置的探討什么是圖的嵌入 閉曲面一個(gè)緊的，連通的，2-維無界的閉流形 圖的嵌入的定義 一個(gè)圖G在曲面S上的一個(gè)嵌入是指存在一個(gè)1-1連續(xù)映射 ，使得 的每一個(gè)連通分支均為一個(gè)2-胞腔 。自然的問題(1)圖所能嵌入的曲面是多少,有什么樣的性質(zhì)？ (2)圖在所給定的曲面上有多少不同的嵌入？問題一的回答圖能嵌入到最小虧格至最大虧格的任意一個(gè)曲面上. Edmons, 可定向情形Saul Stahl, Ringel et. 不可定向情形圖的最大虧格已經(jīng)完美的解決劉彥佩-R. Ringel -Saul Stahl (不可定向最大虧格示性定理) Xuong 劉彥佩-Jugerman (可定

2、向最大虧格示性定理)陳建二，黃元秋,李德明,任韓 等 圖的平均虧格的概念 如果我們令離散型隨機(jī)變量X的取值為最小虧格到最大虧格之間的整數(shù)，它的概率為所嵌入曲面數(shù)除以總的嵌入數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望就稱為圖的平均虧格. 其中不可定向平均虧格的最優(yōu)界已經(jīng)得到目前可定向平均虧格的界仍然值得研究序列的單峰性及單峰點(diǎn)如果存在一個(gè)整數(shù) ,使當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng) 時(shí)，有 , 則非負(fù)序列 稱為單峰的.如果有 使 及 成立，則稱 為 的單峰點(diǎn)。 是強(qiáng)單峰的，當(dāng)且僅當(dāng) 是單峰的而且對(duì)所有 總成立1987年，Gross, Furst等得到了梯圖等的嵌入分布，并且證明了它們的單峰性. 圖的嵌入分布單峰性質(zhì)表明圖在不同曲面上的嵌入

3、數(shù)目存在著一定的規(guī)律。 1994年Stahl 對(duì)可定向情形提出比強(qiáng)單峰性更強(qiáng)的猜想:虧格多項(xiàng)式的根是實(shí)根.劉莉,王毅等作為一個(gè)附帶的應(yīng)用利用Stahl文中一個(gè)計(jì)算錯(cuò)誤的例子否定了上述猜想,后來我們對(duì)這進(jìn)行了更正,之后我們找到了一系列的反例.于是我們進(jìn)一步的提出下一個(gè)問題如果嵌入分布的單峰性猜想成立的話,那么它的單峰點(diǎn)的位置究竟在那里.下面介紹我所做的工作. 仙人掌圖的單峰點(diǎn)位置定理: (Y. Chen Y. Liu T.Wang)仙人掌圖的不可定向嵌入多項(xiàng)式為:仙人掌圖的不可定向平均虧格仙人掌圖的嵌入分布的單峰點(diǎn)位置 定理二: (J. Chen J. Gross)項(xiàng)鏈圖的嵌入分布序列 為強(qiáng)單峰的,其中 滿足如下的關(guān)系：項(xiàng)鏈圖的平均虧格項(xiàng)鏈圖的單峰性證明 因此:下面證明所以項(xiàng)鏈圖為強(qiáng)單峰的.單峰點(diǎn)的位置由于序列 具有單峰性，故一定存在N ,使得 且 。其中 就是該序列的單峰點(diǎn)。利用這一性質(zhì),可以計(jì)算得如下結(jié)果： 項(xiàng)鏈圖的嵌入分布的單