1、5.1.1變化率問題 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二第四章數(shù)列，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)變化率問題本節(jié)內(nèi)容通過分析 高臺(tái)跳水問題、曲線上某點(diǎn)處切線斜率的問題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念和瞬時(shí)變化率的概念，在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握函數(shù)平均變化率和瞬時(shí)變化率解法的一般步驟。平均變化率是個(gè)核心概念，它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，是研究瞬時(shí)變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)。在這個(gè)過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在具體時(shí)刻的瞬時(shí)速度，體會(huì)求瞬時(shí)速度的一般方法.B.通過求曲線處某點(diǎn)處切線斜率的過程，體會(huì)求切線斜率的一般方法.C.理

2、解函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率的概念1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)的變化率 2.邏輯推理： 平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求解瞬時(shí)速度與切線斜率 4.數(shù)學(xué)建模： 函數(shù)的變化率重點(diǎn)：理解瞬時(shí)速度和曲線上某點(diǎn)處切線斜率的概念及算法難點(diǎn)：理解函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率的概念多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)導(dǎo)語 在必修第一冊(cè)中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)，定性的研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，知道“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)” 是越來越慢的，“指數(shù)爆炸” 比“直線上升” 快得多，進(jìn)一步的能否精確定量的刻畫變化速度的快慢呢，下面我們就來研究這個(gè)問題。新知探究問題1 高臺(tái)跳水運(yùn)

3、動(dòng)員的速度高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t24.8t11.如何描述用運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？直覺告訴我們，運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中，在上升階段運(yùn)動(dòng)的越來越慢，在下降階段運(yùn)動(dòng)的越來越快，我們可以把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段分成許多小段，用運(yùn)動(dòng)員在每段時(shí)間內(nèi)的平均速度v近似的描述它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。例如,在 0 t 0.5這段時(shí)間里，v=h0.5-h(0)0.5-0=2.35(m/s)在 1 t 2這段時(shí)間里，v=h2-h(1)2-1=-9.9(m/s)一般地，在 t1 t t2這段時(shí)間里，v=ht2

4、-h(t1)t2-t1=-4.9t1+t2+4.8探究1： 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0 t 4849這段時(shí)間內(nèi)的平均速度你發(fā)現(xiàn)了什么？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？ 為了精確刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念。我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。探究2：瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=1是的瞬時(shí)速度嗎？1平均變化率對(duì)于函數(shù)yf (x)，從x1到x2的平均變化率：(1)自變量的改變量：x_.(2)函數(shù)值的改變量：y_(3)平均變化率eq f(y,x) .x2x1；f (x2)f (x1)；eq f(fx2fx1,x2x1)；eq f(fx1xfx

5、1,x)2.瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率(1)物體在_的速度稱為瞬時(shí)速度(2)函數(shù)f (x)在xx0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f (x)從x0到x0 x的平均變化率在x0時(shí)的極限，即eq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x) .某一時(shí)刻； eq o(lim,sdo14(x0) eq f(fx0 xfx0,x)問題2. 拋物線的切線的斜率 我們知道，如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切，對(duì)于一般的曲線C，如何確定它的切線呢？下面我們以拋物線f(x)=x2為例進(jìn)行研究.探究3. 你認(rèn)為應(yīng)該如何定義拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線？ 與研究瞬時(shí)速度類似為了研究拋

6、物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線，我們通常在點(diǎn)P0(1,1)的附近取一點(diǎn)Px,x2，考察拋物線f(x)=x2的割線 P0 P的變化情況。探究4.我們知道斜率是確定直線的一個(gè)要素，如何求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線P0T的斜率呢？從上述切線的定義可見，拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有內(nèi)在的聯(lián)系，記x=x-1,點(diǎn)P的坐標(biāo)(1+x,(1+x)2)，于是割線P0P的斜率k=fx-h(1)x-1=(1+x)2-1(1+x)-1=x+2 利用計(jì)算工具計(jì)算更多割線P0P的斜率k的值，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，割線P0P的斜率有什么變化趨勢(shì)？

7、 從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔x無限變小時(shí)，點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0，于是割線P0P無限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T，這時(shí)，割線P0P的斜率k無限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T的斜率k0，因此，切線P0T的斜率k0=2.3曲線的切線斜率(1)設(shè)P0(x0，f (x0)，P(x，f (x)是曲線yf (x)上任意不同兩點(diǎn)，則平均變化率eq f(fxfx0,xx0)eq f(fx0 xfx0,x)為割線P0P的_ (2)當(dāng)P點(diǎn)逐漸靠近P0點(diǎn)，即x逐漸變小，當(dāng)x0時(shí)，瞬時(shí)變化率 就是yf (x)在x0處的_的斜率即k .斜率；切線 ；eq o(lim,sdo14(x0) eq f(fx0 xfx0,x)；eq

8、 o(lim,sdo14(x0) eq f(fx0 xfx0,x)1判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)x趨近于零時(shí)表示x0()(2)平均變化率與瞬時(shí)變化率可能相等()(3)瞬時(shí)變化率刻畫某函數(shù)在某點(diǎn)處變化快慢的情況()(4)函數(shù)yf (x)在某xx0的切線斜率可寫成keq o(lim,sdo14(x0) eq f(fx0 xfx0,x)()答案(1)(2)(3)(4)2函數(shù)yf (x)，自變量x由x0改變到x0 x時(shí)，函數(shù)的改變量y為()Af (x0 x) Bf (x0)xCf (x0)x Df (x0 x)f (x0)Dyf (x0 x)f (x0)，故選D.3若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s8t

9、2運(yùn)動(dòng)，則在一小段時(shí)間2，2.1內(nèi)的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D1.1Beq xto(v)eq f(s,t)eq f(s2.1s2,2.12)eq f(2.1222,0.1)4.1，故選B.三、典例解析例1某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)t2t1表示，求物體在t1 s時(shí)的瞬時(shí)速度思路探究eq x(計(jì)算物體在1，1t內(nèi)的平均速度f(s,t)eq o(,sup18(令t0)eq x(計(jì)算o(lim,sdo14(t0) f(s,t)eq x(得t1 s時(shí)的瞬時(shí)速度)解eq f(s,t)eq f(s1ts1,t)eq f(1t21t11211,t

10、)3t，eq o(lim,sdo14(t0) eq f(s,t)eq o(lim,sdo14(t0) (3t)3.物體在t1處的瞬時(shí)變化率為3.即物體在t1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為3 m/s.求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟設(shè)非勻速直線運(yùn)動(dòng)中物體的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)為sst，則求物體在tt0時(shí)刻的瞬時(shí)速度的步驟如下：1寫出時(shí)間改變量t，位移改變量ssst0tst0.2求平均速度：eq xto(v)eq f(s,t).3求瞬時(shí)速度v：當(dāng)t0時(shí)，eq f(s,t)v常數(shù).跟蹤訓(xùn)練1在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度解求物體的初速度，即求物體在t0時(shí)的瞬時(shí)速度eq f(s,t)eq f(s0ts0,t

11、)eq f(0t20t11,t)1t，eq o(lim,sdo14(t0) (1t)1.物體在t0時(shí)的瞬時(shí)變化率為1，即物體的初速度為1 m/s.跟蹤訓(xùn)練2在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s.解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s.又eq f(s,t)eq f(st0tst0,t)(2t01)t.eq o(lim,sdo14(t0) eq f(s,t)eq o(lim,sdo14(t0) (2t01t)2t01.則2t019，t04.則物體在4 s時(shí)的瞬時(shí)速度為9 m/s.例2.已知函數(shù)yxeq f(1,x)，則該函數(shù)在點(diǎn)x1處的切線斜率為?解析：y(1x)eq

12、 f(1,1x)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,1)x1eq f(1,1x)xeq f(x,1x)，eq f(y,x)eq f(xf(x,1x),x)1eq f(1,1x)，斜率keq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x)eq o(lim,sdo14(x0) eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,1x)112.通過導(dǎo)語，通過對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感受不同函數(shù)變化快慢的問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出平均速度與瞬時(shí)速度的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

13、通過物體運(yùn)動(dòng)問題，抽象出函數(shù)平均變化率、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過曲線上某點(diǎn)出割線與切線斜率的問題，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)平均變化率與瞬時(shí)變化率的理解，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生掌握平均速度與瞬時(shí)速度的算法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)eq f(1,2)gt2，g9.8 m/s2，若veq o(lim,sdo14(t0) eq f(s1ts1,t)9.8 m/s，那么下列說法中正確的是()A9.8 m

14、/s是物體從0 s到1 s這段時(shí)間內(nèi)的速率B9.8 m/s是1 s到(1t)s這段時(shí)間內(nèi)的速率C9.8 m/s是物體在t1 s這一時(shí)刻的速率D9.8 m/s是物體從1 s到(1t)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速率C結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率可知選項(xiàng)C正確2已知函數(shù)f (x)2x21的圖象上一點(diǎn)(1，1)及其附近一點(diǎn)(1x，f (1x)，則eq f(y,x)等于_42xyf (1x)f (1)2(1x)21(2121)4x2(x)2，eq f(y,x)2x4.3已知函數(shù)f (x)3x25，求f (x)：(1)從0.1到0.2的平均變化率；(2)在區(qū)間x0，x0 x上的平均變化率解(1)因?yàn)閒 (x)3x2

15、5，所以從0.1到0.2的平均變化率為eq f(30.22530.125,0.20.1)0.9.(2)f (x0 x)f (x0)3(x0 x)25(3xeq oal(sup5(2),sdo5(0)5)=3xeq oal(sup5(2),sdo5(0)6x0 x3(x)253xeq oal(sup5(2),sdo5(0)56x0 x3(x)2.函數(shù)f (x)在區(qū)間x0，x0 x上的平均變化率為eq f(6x0 x3x2,x)6x03x.4求函數(shù)yeq f(4,x2)在x2處的切線的斜率解yeq f(4,x22)eq f(4,22)eq f(4,x22)1eq f(x24x,x22)，eq f(y,x)eq f(x4,x22)，keq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(x4,x22)eq f(4,4)1.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)