1、學海無涯，志者同行灰色系統(tǒng)建模 1 灰色系統(tǒng)理論概述2 灰色GM(1.1)模型3 序列光滑度的理論分析4 灰色GM(1.1)優(yōu)化模型分析 5 灰色模型的應用1 灰色系統(tǒng)概述1.1 灰色系統(tǒng)理論的產生及發(fā)展動態(tài) 1.2 灰色系統(tǒng)的研究內容1.3 灰色系統(tǒng)理論在建模中的應用 1.1 灰色系統(tǒng)理論的產生及發(fā)展動態(tài)定義1.1 系統(tǒng)是客觀世界普遍存在的一種物質運動形式,它和運動性一樣,是物質存在的一種根本屬性.定義1.2 灰色系統(tǒng)是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小樣本”,“貧信息”的不確定性系統(tǒng),它通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)去了解、認識現實世界，實現對系統(tǒng)運行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述

2、.灰色系統(tǒng)模型的特點：對試驗觀測數據及其分布沒有特殊的要求和限制，是一種十分簡便的新理論，具有十分寬廣的應用領域。灰色系統(tǒng)理論，是在一般系統(tǒng)理論的基礎上產生的，它是系統(tǒng)科學思想發(fā)展的必然產物，是社會經濟深入發(fā)展對科學刺激和需要的產物。當我們認識與研究自然和社會時，要從系統(tǒng)的角度出發(fā)，從宏觀上對其進行深入的剖析和整體把握。在實際中，我們首先要對事物進行系統(tǒng)性認識，進而對已有的系統(tǒng)進行有效控制以及設計一些最優(yōu)系統(tǒng)來為人民服務。對系統(tǒng)進行控制就要通過系統(tǒng)內部和外部的信息和信息流來加以實施，通過對信息的控制進而達到對系統(tǒng)本身的控制。但是無論是現代控制理論還是經典控制理論，它們都要依賴正確而精確的數學模

3、型，否則，一切都很難取得滿意的結果。然而，在現實生活中，有許多情況不大可能求得精確的數學模型，如工業(yè)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經濟系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等。若得不出精確的數學模型，現代控制理論的方法和手段就無法施行，因而，現代控制理論對一些研究對象也鞭長莫及。 當人們對這些問題進行潛心研究時，查德于1965年首創(chuàng)模糊理論，第一次用精確的數學方式來分析和研究模糊量，取得了新的突破，隨后，模糊集合論迅速應用于控制領域，收到了良好的效果。模糊控制能夠對一些無法構造數學模型的系統(tǒng)進行控制，但模糊控制也表現出固有的弱點，即信息利用率低，控制粗糙、精度低等。因而，在要求高精度的情況下，這種控制難以勝任，并且它也未能對被控對

4、象的運動規(guī)律作深刻的闡明，故模糊控制有它的局限性，只適應于一些特有的模糊系統(tǒng)。 經典控制理論、現代控制理論和模糊控制理論都有一個共同點，那就是它們所研究的對象系統(tǒng)必須是白色系統(tǒng)（信息完全確知的系統(tǒng)），而事實上，無論是自然系統(tǒng)還是社會系統(tǒng)，宏觀系統(tǒng)還是微觀系統(tǒng)，無生命系統(tǒng)還是有生命系統(tǒng)，對我們認識的主體來說，總是信息不完全的，艱難說明一個系統(tǒng)的內部參數是完全的。毫無疑問，內部參數不完全的系統(tǒng)具有極為普遍的意義。就像模糊理論的誕生一樣，灰色系統(tǒng)理論也應運而生了。 灰色系統(tǒng)理論是我國學者鄧聚龍教授于19世紀80年代初創(chuàng)立并發(fā)展的理論，它把一般系統(tǒng)論，信息論和控制論的觀點和方法延伸到社會，經濟，生態(tài)等

5、抽象系統(tǒng)，結合運用數學方法發(fā)展的一套解決灰色系統(tǒng)的理論和方法，20多年來，灰色系統(tǒng)理論引起了國內外學者的廣泛關注。灰色系統(tǒng)理論已成功應用到工業(yè)，農業(yè)，社會，經濟等眾多領域，解決了生產，生活和科學研究中的大量實際問題。1.2 灰色系統(tǒng)理論研究的內容 灰色系統(tǒng)理論經過20年的發(fā)展，已基本建立起一門新興的結構體系，其研究內容主要包括：灰色系統(tǒng)建模理論、灰色系統(tǒng)控制理論、灰色關聯分析方法、灰色預測方法、灰色規(guī)劃方法、灰色決策方法等。 今天我們主要介紹灰色系統(tǒng)建模理論及灰色數列預測?；疑珨盗蓄A測是指利用動態(tài)GM模型，對系統(tǒng)的時間序列進行數量大小的預測，即對系統(tǒng)的主行為特征量或某項指標，發(fā)展變化到未來特定

6、時刻出現的數值進行預測。1.3 灰色系統(tǒng)理論在建模中的應用 灰色系統(tǒng)理論在建模中被廣泛用來處理數據。與插值擬合相比，利用灰色模型處理數據不僅對數據沒有很強的限制，而且精度更高，計算更簡便。2 灰色GM(1.1)模型2.1 灰色生成 2.2 GM（1.1）模型建模機理2.3 GM(1.1)模型的精度檢驗 2.1 灰色生成 將原始數據列中的數據,按某種要求作數據處理稱為生成. 客觀世界盡管復雜,表述其行為的數據可能是雜亂無章的,然而它必然是有序的,都存在著某種內在規(guī)律,不過這些規(guī)律被紛繁復雜的現象所掩蓋,人們很難直接從原始數據中找到某種內在的規(guī)律.對原始數據的生成就是企圖從雜亂無章的現象中去發(fā)現內

7、在規(guī)律. 常用的灰色系統(tǒng)生成方式有: 累加生成,累減生成,均值生成,級比生成等,下面對這幾種生成做簡單介紹.2.1.1 累加生成 累加生成,即通過數列間各時刻數據的依個累加以得到新的數據與數列.累加前的數列稱原始數列,累加后的數列稱為生成數列.累加生成是使灰色過程由灰變白的一種方法,它在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要地位,通過累加生成可以看出灰量積累過程的發(fā)展態(tài)勢,使離亂的原始數據中蘊含的積分特性或規(guī)律加以顯化.累加生成是對原始數據列中各時刻的數據依次累加,從而生成新的序列的一種手段.2.1.2 累減生成 累減生成,即對數列求相鄰兩數據的差,累減生成是累加生成的逆運算,常簡記為IAGO(Inver

8、 se Accumulated Generating Operation), 累減生成可將累加生成還原為非生成數列,在建模過程中用來獲得增量信息,其運算符號為. 2.1.3 均值生成2.1.4 級比生成GM(1,1)的符號含義：G M ( 1, 1 )Grey灰色Model模型1階方程1個變量級比生成算子定義 設序列 ，則稱為序列 的級比。檢驗準則 設序列 的級比滿足時，序列 可做GM(1,1)建模。2.2 GM(1.1)模型建模機理 關于GM(1,1)模型 的參數a和u如何確定？若 為參數列，且則其最小二乘估計參數列滿足問題1 關于GM(1,1)模型 的解如何確定？問題2(白化方程)解得其時

9、間響應函數為： 通過對一般微分方程的深刻剖析定義了系列的灰導數，從而使我們能夠利用離散數據系列建立近似的微分方程模型：1.解得時間響應序列為：2. 原始數據序列 的預測值：注意：1.是原始數據序列的擬合值。2.是原始數據序列預測值。注意：原始序列必是非負的，其中 ， 。若原始序列 不是非負的，則需要對 中的元素做平移變換，即令 其中 ， 。 顯然，由此得到的累加生成序列 和均值生成序列 都是非負的。 2.3 GM(1.1)模型的精度檢驗2.3.1 相對誤差檢驗法2.3.2 后驗差檢驗法模型精度等級均方差比值C小誤差概率p1級（好）C=0.350.95=p2級（合格）0.35C=0.50.80=

10、p0.953級（勉強）0.5C=0.650.70=p0.804級（不合格）0.65CP0.702.3.3 關聯度檢驗法3 序列光滑度的理論分析3.1 序列的光滑性 3.2 提高數據序列光滑度的方法3.3 基于函數sinx變換的改進GM(1.1)模型 3.1 序列的光滑性3.2 提高數據序列光滑度的方法3.2.1 基于函數lnx變換提高數據序列的光滑度3.3 基于函數sinx變換的改進GM(1,1)模型基于sinx變換的GM(1,1)的建模過程:4 灰色GM(1.1)優(yōu)化模型分析4.1 傳統(tǒng)GM(1.1)模型背景值對預測精度的影響 4.2 基于積分背景值構造法的改進GM(1.1)模型4.1 傳統(tǒng)

11、GM(1,1)模型背景值的影響4.2 基于背景值優(yōu)化的改進GM(1,1)模型灰建模實例：北方某城市1986-1992年交通噪聲平均聲級數據序號 年份 Leq序號 年份 Leq 1 1986 71.1 2 1987 72.4 3 1988 72.4 4 1989 72.1 5 1990 71.4 6 1991 72.0 7 1992 71.6表：某城市近年來交通噪聲數據dB(A) 第一步：級比檢驗，建?？尚行苑治?。1.建立交通噪聲平均聲級數據時間序列：2. 求級比：3. 級比判斷：由于所有的 ，故可以用 作滿意的GM(1, 1)建模。 第二步： 用GM(1,1)建模。1. 對原始數據 作一次累加：得：2. 構造數據矩陣B及數據向量Y ：于是得到：3.最小二乘估計求參數列 ：于是得到 。4. 建立模型：解得時間響應序列為：（） 5. 求生成數列值 及模型還原值 ：令 代入時間響應函數可算得 ，其中取 。由累減生成 ，得還原值： 第三步： 模型檢驗。序號 年份 原始值模型值 殘差 相對誤差 1 1986 71.1 2 1987 72.4 3 1988