1、-. z一空間直角坐標系如圖1，為了確定空間點的位置，我們建立空間直角坐標系：以正方體為載體，以O為原點，分別以射線OA，OC，OD的方向為正方向，以線段OA，OC，OD的長為單位長，建立三條數(shù)軸：*軸、y軸、z軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標系 ，其中點O叫做坐標原點，*軸、y軸、z軸叫做坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為*Oy平面、zO*平面、yOz平面，通常建立的坐標系為 右手直角坐標系 ，即 右手拇指 指向*軸的正方向，食指 指向y軸的正方向， 中指指向z軸的正方向二空間直角坐標系中的坐標空間一點M的坐標可用有序?qū)崝?shù)組(*，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(*，y，z)

2、叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(*，y，z)，其中*叫做點M的 橫坐標 ，y叫做點M的 縱坐標 ，z叫做點M的 豎坐標 例1在空間直角坐標系中，作出點M(6，2,4)例2長方體ABCDA1B1C1D1中，|AB|a，|BC|b，|CC1|c，將此長方體放到空間直角坐標系中的不同位置(如圖3)，分別寫出長方體各頂點的坐標變式1：棱長為2的正方體，將此正方體放到空間直角坐標系中的不同位置，分別寫出幾何體各頂點的坐標。2.底面為邊長為4的菱形，高為5的棱柱，將此幾何體放到空間直角坐標系中的不同位置分別寫出幾何體各頂點的坐標。3. 在棱長均為2a的正四棱錐PABCD中，建立恰當?shù)目臻g直角坐

3、標系，(1)寫出正四棱錐PABCD各頂點坐標；(2)寫出棱PB的中點M的坐標解：連接AC，BD交于點O，連接PO，PABCD為正四棱錐，且棱長均為2a.四邊形ABCD為正方形，且PO平面ABCD.OAeq r(2)a.POeq r(PA2OA2)eq r(2a2r(2)a2)eq r(2)a.以O點為坐標原點，OA，OB，OP所在的直線分別為*軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系1正四棱錐PABCD中各頂點坐標分別為A(eq r(2)a,0,0)，B(0，eq r(2)a,0)，C(eq r(2)a,0,0)，D(0，eq r(2)a,0)，P(0,0，eq r(2)a)(2)M為棱PB的中點，

4、由中點坐標公式，得M(eq f(00,2)，eq f(r(2)a0,2)，eq f(0r(2)a,2)，即M(0，eq f(r(2),2)a，eq f(r(2),2)a) 例3在空間直角坐標系中，點P(2,1,4)(1)求點P關(guān)于*軸的對稱點的坐標；(2)求點P關(guān)于*Oy平面的對稱點的坐標；(3)求點P關(guān)于點M(2，1，4)的對稱點的坐標解(1)由于點P關(guān)于*軸對稱后，它在*軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P1(2，1，4)(2)由于點P關(guān)于*Oy平面對稱后，它在*軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P2(2,1，4)(3)設對稱點為P3

5、(*，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得*22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)變式：1.寫出點P(6，2，7)在*Oy面，yOz面，*Oz面上的投影的坐標以及點P關(guān)于各坐標平面對稱的點的坐標解：設點P在*Oy平面、yOz平面、*Oz平面上的投影分別為點A，B，C，點P關(guān)于*Oy平面、yOz平面、*Oz平面的對稱點分別為點A，B，C，由PA平面*Oy，PB平面yOz，PC平面*Oz及坐標平面的特征知，點A(6，2,0)，點B(0，2，7)，點C(6,0，7)；根據(jù)點P關(guān)于各坐標平面對稱點的特征知，點A(6，2,7)，B(6，2，7)，C(

6、6,2，7)2.在棱長都為2的正三棱柱ABCA1B1C1中，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，并寫出正三棱柱ABCA1B1C1各頂點的坐標正解取BC，B1C1的中點分別為O，O1，連線OA，OO1，根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì)，OA，OB，OO1兩兩互相垂直，且|OA|eq f(r(3),2)2eq r(3)，以OA，OB，OO1所在的直線分別為*軸、y軸、z軸建立直角坐標系，如圖5所示，則正三棱柱ABCA1B1C1各頂點的坐標分別為A(eq r(3)，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(eq r(3)，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，1,2)三空間向量在立體幾何中的應用1. 直線的方向

7、向量與平面的法向量(1) 直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量(2) 如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面，則稱向量n垂直于平面，記作n.此時把向量n叫做平面的法向量2. 線面關(guān)系的判定直線l1的方向向量為e1(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為e2(a2，b2，c2)，平面的法向量為n1(*1，y1，z1)，平面的法向量為n2(*2，y2，z2)(1) 如果l1l2，則e1e2e2e1a2a1，b2b1，c2c1(2) 如果l1l2，則e1e2e1e20a1a2b1b2c1c20(3) 假設l1，則e1n1e1n10a1*1b1y1c1z10(4) 假設l1

8、，則e1n1e1kn1a1k*1，b1ky1，c1kz1(5) 假設，則n1n2n1kn2*1k*2，y1ky2，z1kz2(6) 假設，則n1n2n1n20*1*2y1y2z1z203. 利用空間向量求空間角(1) 兩條異面直線所成的角圍：兩條異面直線所成的角的取值圍是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2).向量求法：設直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有cos|cos|.(2) 直線與平面所成的角圍：直線和平面所成的角的取值圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角

9、為，則有sin|cos|(3) 二面角二面角的取值圍是0，二面角的向量求法：() 假設AB、CD分別是二面角-l-的兩個面與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖)() 設n1、n2分別是二面角-l-的兩個面、的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖)題型1空間向量的根本運算例1空間三點A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)設aeq o(AB,sup6()，beq o(AC,sup6().(1) 求a和b的夾角；(2)假設向量kab與ka2b互相垂直，求k的值解：A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)

10、，aeq o(AB,sup6()，beq o(AC,sup6()，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)coseq f(ab,|a|b|)eq f(100,r(2)r(5)eq f(r(10),10)，a和b的夾角為arccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(r(10),10).(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，解得keq f(5,2)或2.題型2空間中的平行與垂直例2如下圖，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，ABeq

11、 r(2)，AF1，M是線段EF的中點求證：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.證明：(1) 建立如下圖的空間直角坐標系，設ACBDN，連結(jié)NE.則Neq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，0)，E(0，0，1)，A(eq r(2)，eq r(2)，0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1).eq o(NE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1)，eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),

12、2)，f(r(2),2)，1).eq o(NE,sup6()eq o(AM,sup6()且NE與AM不共線 NEAM. NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(2) 由(1)知eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1)， D(eq r(2)，0，0)，F(xiàn)(eq r(2)，eq r(2)，1)，eq o(DF,sup6()(0，eq r(2)，1)，eq o(AM,sup6()eq o(DF,sup6()0， AMDF.同理AMBF. 又DFBFF， AM平面BDF.題型3空間的角的計算例3(2013錫常鎮(zhèn)二模)

13、如圖，圓錐的高PO4，底面半徑OB2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F(xiàn)為底面圓周上一點，滿足EFDE.(1) 求異面直線EF與BD所成角的余弦值；(2) 求二面角F-OD-E的正弦值解：(1) 以O為原點，底面上過O點且垂直于OB的直線為*軸，OB所在的線為y軸，OP所在的線為z軸，建立空間直角坐標系，則B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)設F(*0，y0，0)(*00，y00)，且*eq oal(2,0)yeq oal(2,0)4，則eq o(EF,sup6()(*0，y01，2)，eq o(DE,sup6()(0，1，0)， EFDE，即eq o(E

14、F,sup6()eq o(DE,sup6()，則eq o(EF,sup6()eq o(DE,sup6()y010，故y01. F(eq r(3)，1，0)，eq o(EF,sup6()(eq r(3)，0，2)，eq o(BD,sup6()(0，2，2)設異面直線EF與BD所成角為，則coseq blc|rc|(avs4alco1(f(o(EF,sup6()o(BD,sup6(),|o(EF,sup6()|o(BD,sup6()|)eq f(4,r(7)2r(2)eq f(r(14),7).(2) 設平面ODF的法向量為n1(*1，y1，z1)，則eq blc(avs4alco1(n1o(OD

15、,sup6()，,n1o(OF,sup6()，)即eq blc(avs4alco1(z10，,r(3)*1y10.)令*11，得y1eq r(3)，平面ODF的一個法向量為n1(1，eq r(3)，0)設平面DEF的法向量為n2(*2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一個法向量為n2eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(r(3),2).設二面角F-OD-E的平面角為，則|cos|eq blc|rc|(avs4alco1(f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,r(7)eq f(r(7),7). sineq f(r(42),7).翻折問題例4. (2013第二次調(diào)研)如圖甲

16、，在平面四邊形ABCD中，A45，C90，ADC105，ABBD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如圖乙)，設點E、F分別為棱AC、AD的中點(1) 求證： DC平面ABC；(2) 求BF與平面ABC所成角的正弦值；(3) 求二面角BEFA的余弦值解：(1) 平面ABD平面BDC，又 ABBD， AB平面BDC，故ABDC，又 C90， DCBC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC平面ABC.(2) 如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為*軸建立空間直角坐標系如下列圖示，設CDa，則BDAB2a，BCeq r(3)a，AD2eq r(2)a，可得B(0，0，0)

17、，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a，f(r(3),2)a，0)，F(xiàn)(a，0，a)，eq o(CD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a，f(r(3),2)a，0)，eq o(BF,sup6()(a，0，a)設BF與平面ABC所成的角為，由(1)知DC平面ABC， coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(o(CD,sup6()o(BF,sup6(),|o(CD,sup6()|o(BF,sup6()|)eq f(f(1,2)a2,ar(2)a)eq f(r(2),4)， s

18、ineq f(r(2),4).(3) 由(2)知 FE平面ABC, 又 BE平面ABC，AE平面ABC， FEBE，F(xiàn)EAE，AEB為二面角BEFA的平面角 .在AEB中，AEBEeq f(1,2)ACeq f(1,2)eq r(AB2BC2)eq f(r(7),2)a， cosAEBeq f(AE2BE2AB2,2AEBE)eq f(1,7)，即所求二面角BEFA的余弦為eq f(1,7).課后穩(wěn)固練習：1.(2013卷)如下圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點(1) 求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1與平面ABA1

19、所成二面角的正弦值解：(1) 以A為坐標原點，建立如下圖的空間直角坐標系A*yz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以eq o(A1B,sup6()(2，0，4)，eq o(C1D,sup6()(1，1，4)因為coseq o(A1B,sup6()，eq o(C1D,sup6()eq f(o(A1B,sup6()o(C1D,sup6(),|o(A1B,sup6()|o(C1D,sup6()|)eq f(18,r(20)r(18)eq f(3r(10),10)，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為eq f(3

20、r(10),10).(2) 設平面ADC1的法向量為n1(*，y，z)，因為eq o(AD,sup6()(1，1，0)，eq o(AC1,sup6()(0，2，4)，所以n1eq o(AD,sup6()0，n1eq o(AC1,sup6()0，即*y0且y2z0，取z1，得*2，y2，所以，n1(2，2，1)是平面ADC1的一個法向量取平面AA1B的一個法向量為n2(0，1，0)，設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos|eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(2,r(9)r(1)eq f(2,3)，得sineq f(r(5),3).因此，平面ADC1與平面ABA1所成

21、二面角的正弦值為eq f(r(5),3).2. (2013新課標全國卷)如下圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點，AA1ACCBeq f(r(2),2)AB.(1) 證明：BC1平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值(1) 證明：連結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2) 由ACCBeq f(r(2),2)AB得ACBC. 以C為坐標原點，eq o(CA,sup6()的方向為*軸正方向，建立如下圖的空間直角坐標系C*yz.設CA2，則D(1，1，

22、0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，eq o(CD,sup6()(1，1，0)，eq o(CE,sup6()(0，2，1)，eq o(CA1,sup6()(2，0，2)設n(*1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則eq blc(avs4alco1(no(CD,sup6()0，,no(CA1,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(*1y10，,2*12z10.)可取n(1，1，1)同理，設m為平面A1CE的法向量，則eq blc(avs4alco1(mo(CE,sup6()0，,mo(CA1,sup6()0.)可取m(2，1，2)從而cosn，meq f(nm,|n|

23、m|)eq f(r(3),3)，故sinn，meq f(r(6),3).即二面角D-A1C-E的正弦值為eq f(r(6),3).3. (2013)如下圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACDeq f(,3)，F(xiàn)為PC的中點，AFPB.(1) 求PA的長；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值解：(1) 如圖，連結(jié)BD交AC于O，因為BCCD，即BCD為等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O為坐標原點，eq o(OB,sup6()、eq o(OC,sup6()、eq o(AP,sup6()的方向分別為*軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O*yz，

24、則OCCDcoseq f(,3)1，而AC4，得AOACOC3.又ODCDsineq f(,3)eq r(3)，故A(0，3，0)，B(eq r(3)，0，0)，C(0，1，0)，D(eq r(3)，0，0)因為PA底面ABCD，可設P(0，3，z)，由F為PC邊中點，得Feq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(z,2)，又eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，2，f(z,2)，eq o(PB,sup6()(eq r(3)，3，z)，因AFPB，故eq o(AF,sup6()eq o(PB,sup6()0，即6eq f(z2,2)0，z2eq

25、r(3)(舍去2eq r(3)，所以|eq o(PA,sup6()|2eq r(3).(2) 由(1)知eq o(AD,sup6()(eq r(3)，3，0)，eq o(AB,sup6()(eq r(3)，3，0)，eq o(AF,sup6()(0，2，eq r(3)設平面FAD的法向量為n1(*1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2(*2，y2，z2)由n1eq o(AD,sup6()0，n1eq o(AF,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(r(3)*13y10，,2y1r(3)z10，)因此可取n1(3，eq r(3)，2)由n2eq o(AB,sup6()0，n2e

26、q o(AF,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(r(3)*23y20，,2y2r(3)z20，)故可取n2(3，eq r(3)，2)從而向量n1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,8).故二面角B-AF-D的正弦值為eq f(3r(7),8).4. (2013調(diào)研)在三棱錐SABC中，底面是邊長為2eq r(3)的正三角形，點S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點，側(cè)棱SB和底面成45角(1) 假設D為側(cè)棱SB上一點，當eq f(SD,DB)為何值時，CDAB；(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小解：以O點為原點，OB為

27、*軸，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標系O-*yz.由題意知SBO45，SO3.O(0，0，0)，C(0，eq r(3)，0)，A(0，eq r(3)，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)(1) 設eq o(BD,sup6()eq o(BS,sup6()(01)，則eq o(OD,sup6()(1)eq o(OB,sup6()eq o(OS,sup6()(3(1)，0，3)，所以eq o(CD,sup6()(3(1)，eq r(3)，3)因為eq o(AB,sup6()(3，eq r(3)，0)，CDAB，所以eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()9(1)30，解得

28、eq f(2,3).故eq f(SD,DB)eq f(1,2)時， CDAB.(2) 平面ACB的法向量為n1(0，0，1)，設平面SBC的法向量n2(*，y，z)，則n2eq o(SB,sup6()0，n2eq o(SC,sup6()0，則eq blc(avs4alco1(3*3z0，,r(3)y3z0，)解得eq blc(avs4alco1(*z，,yr(3)z，)取n2(1，eq r(3)，1)，所以cosn1，n2eq f(r(3)01011,r(1212r(3)2)1)eq f(r(5),5).又顯然所求二面角的平面角為銳角，故所求二面角的余弦值的大小為eq f(r(5),5).5.

29、 在直四棱柱ABCDeq avs4al()-A1B1C1D1中，AA12，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點(1) 求二面角D1eq avs4al()-AE-eq avs4al()C的大小；(2) 求證：直線BF平面AD1E.(1) 解：以D為坐標原點，DA、DC、DD1分別為*、y、z軸建立空間直角坐標系如圖則相應點的坐標分別為D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，eq o(ED1,sup6()(0，0，2)(1，1，1)(1，1，1)，eq o(AE,sup6()(1，1，1)(1，0，0)(0，1，1)，eq o(AC,sup6(

30、)(0，1，0)(1，0，0)(1，1，0)設平面AED1、平面AEC的法向量分別為m(a，b，1)，n(c，d，1)由eq blc(avs4alco1(o(ED1,sup6()m0，,o(AE,sup6()m0)eq blc(avs4alco1(ab10，,b10)eq blc(avs4alco1(a2，,b1，)由eq blc(avs4alco1(o(AC,sup6()n0，,o(AE,sup6()n0)eq blc(avs4alco1(cd0，,d10)eq blc(avs4alco1(c1，,d1，)m(2，1，1)，n(1，1，1)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(

31、211,r(6)r(3)0，二面角D1eq avs4al()AEeq avs4al()C的大小為90.(2) 證明：取DD1的中點G，連結(jié)GB、GF.E、F分別是棱BB1、AD的中點，GFAD1，BED1G且BED1G，四邊形BED1G為平行四邊形，D1EBG.又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF平面AD1E，BG平面AD1E，GF平面AD1E.GF、GB平面BGF，平面BGF平面AD1E.BF平面AD1E，直線BF平面AD1E.(或者：建立空間直角坐標系，用空間向量來證明直線BF平面AD1E，亦可)6. (2013調(diào)研)三棱柱ABCA1B1C1在如下圖的空間直角坐標系中，AB2，AC4，

32、A1A3.D是BC的中點(1) 求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值解：(1) 由題意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).eq o(A1D,sup6()(1，2，3)，eq o(A1C1,sup6()(0，4，0). 設平面A1C1D的一個法向量為n(*，y，z)neq o(A1D,sup6()*2y3z0，neq o(A1C1,sup6()4y0. *3z，y0.令z1，得*3.n(3，0，1)設直線DB1與平面A1C1D所成角為，eq o(DB

33、1,sup6()(1，2，3)， sin|coseq o(DB1,sup6()n|eq f(310213,r(10)r(14)eq f(3r(35),35).(2) 設平面A1B1D的一個法向量為m(a，b，c)eq o(A1B1,sup6()(2，0，0)，meq o(A1D,sup6()a2b3c0，meq o(A1B1,sup6()2a0， a0，2b3c.令c2，得b3.m(0，3，2)設二面角B1A1DC1的大小為， |cos|cos|m，n|eq f(|mn|,|m|m|)eq f(|033021|,r(13)r(10)eq f(r(2),r(65)，則sineq f(3r(7),

34、r(65)eq f(3r(455),65). 二面角B1A1DC1的正弦值為eq f(3r(455),65). 7. (2013二模)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1與BC所成的角的大??；(2) 在棱B1C1上確定一點P，使二面角PABA1的平面角的余弦值為eq f(2r(5),5).解：(1) 如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，eq o(AA1,sup6()(0，2，2)，eq o(BC,sup6()eq o(B1C1,sup6()(2，2，0

35、)coseq o(AA1,sup6()，eq o(BC,sup6()eq f(o(AA1,sup6()o(BC,sup6(),|o(AA1,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(4,r(8)r(8)eq f(1,2)，故AA1與棱BC所成的角是eq f(,3).(2) P為棱B1C1中點，設eq o(B1P,sup6()eq o(B1C1,sup6()(2，2，0)，則P(2，42，2)設平面PAB的法向量為n1(*，y，z)，eq o(AP,sup6()(2，42，2)，則eq blc(avs4alco1(n1o(AP,sup6()0，,n1o(AB,sup6()0.)eq bl

36、c(avs4alco1(*2yyz0，,2y0.)eq blc(avs4alco1(z*，,y0.)故n1(1，0，)，而平面ABA1的法向量是n2(1，0，0)，則cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,r(12)eq f(2r(5),5)，解得eq f(1,2)，即P為棱B1C1中點，其坐標為P(1，3，2)近六年高考題1. 【2010高考理第16題】(14分)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE；(3)求二面角A-BE-D的大小【答案】設AC與BD交與點G。因為EF/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF/平面EG， 因為平面BDE，AF平面BDE， 所以AF/平面BDE.II因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD. 如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-.則C0，0，0，A，0，B0，0.所以，.所以,所以,.所以BDE.(III) 由II知，是平面BDE的一個法向量.設平面ABE的法向量,則，. 即所以且 令則. 所以. 從而。 因為二面角為銳角， 所以二面角的大小為.2【2011高考理第16題】共14