1、生命是永恒不斷的制造,由于在它內(nèi)部包蘊著過剩的精力,它不斷流溢,越出時 間和空間的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來；泰戈爾難點 31 數(shù)學(xué)歸納法解題數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所表達(dá)的比較突出的思想,抽象與概括,從特別到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法 . 難點磁場 是否存在 a、 b、c 使得等式 1 22+232+ +nn+12=nn1an2+bn+c. 12 案例探究例 1試證明：不論正數(shù) a、b、c 是等差數(shù)列仍是等比數(shù)列,當(dāng) n 1,nN*且 a、b、c 互不相等時,均有：a n+c n2bn. 命題意圖：此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明

2、不等式,屬級題目 . 學(xué)問依靠：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟 . 錯解分析：應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立,不應(yīng)只證明一種情形 . 技巧與方法： 此題中使用到結(jié)論： akckac0 恒成立 a、b、c 為正數(shù) ,從而 a k+1+c k+1akc+cka. 證明： 1設(shè) a、 b、c 為等比數(shù)列, a=an+cn=bn+b nqn=bn1+q n2b nqnqnb ,c=bqq0 且 q 1 q2設(shè) a、b、c 為等差數(shù)列,就2b=a+c 猜想an2cna2c nn2 且 nN* 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：2當(dāng) n=2 時,由 2a2+c2a+c2,a22c

3、2a2c設(shè) n=k 時成立,即ak2c ka2ck,就當(dāng) n=k+1 時,ak12ck11ak+1+c k+1+ak+1+c k+1 41 a 4k+1+c k+1+ak c+cka=1 a 4k+cka+c a2ck a2c=a2c k+1例 2在數(shù)列 an 中, a1=1,當(dāng) n2 時, an,Sn,Sn1求 a2,a3,a4,并推出 an 的表達(dá)式；2用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；3求數(shù)列 an 全部項的和 . 1 成等比數(shù)列 . 2命題意圖：此題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)學(xué)問 . 104 / 7 學(xué)問依靠：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采納的方法是歸納、猜想、證明.

4、錯解分析： 2中, Sk=213應(yīng)舍去,這一點往往簡單被忽視. k技巧與方法：求通項可證明1 是以 1 為首項,1 為公差的等差數(shù)列,進(jìn)而求得 2S nS 1通項公式 . 解： an,Sn,Sn1 成等比數(shù)列,2Sn2=anSn1 n2 2nn1 1 * 1由 a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入 *式得 :a2=2 3由 a1=1,a2=2 ,S3= 31 +a3 代入 3*式得： a3=215同理可得： a4=2 ,由此可推出： an= 3512 n22 n13 2當(dāng) n=1,2,3,4 時,由 *知猜想成立 . 假設(shè) n=kk2時, ak=2 k21 成立3 2 k故 Sk 2=2

5、k322k1Sk1 22k32k1Sk2+2Sk 1=0 Sk= 1 , S k 1舍 2 k 1 2 k 3由 Sk+1 2=ak+1Sk+11 ,得Sk+ak+1 2=ak+1ak+1+Sk1 2 2 2 k 11 2 a k 1 22 2k a k 11 a k 1 22 ak k 11 12 a k 1a k 1 2 , 即 n k 1 命題也成立 . 2 k 1 3 2 k 1 11 n 1 由知, an= 2 n 2 對一切 nN 成立 . 2 n 3 2 n 1 13由2 得數(shù)列前 n 項和 Sn= ,S= lim Sn=0. 2 n 1 n 錦囊妙記1數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè) P

6、n是關(guān)于自然數(shù) n 的命題,如1 Pn0成立 奠基 2 假設(shè) Pk成立 kn0,可以推出Pk+1成立 歸納 ,就 Pn對一切大于等于n0的自然數(shù) n 都成立 . 105 / 7 2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用詳細(xì)常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式,不等式,數(shù)的整除性,幾何中運算問題,數(shù)列的通項與和等 . 消滅難點訓(xùn)練一、挑選題1. 已知 fn=2n+7 3 n+9,存在自然數(shù) m,使得對任意 nN,都能使 m 整除fn,就最大的 m 的值為 A.30 B.26 C.36 D.6 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 3 kn3n3,nN第一步應(yīng)驗證 A. n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空題3. 觀看以下式子

7、：1131,115, 11117 就可歸2222323223 2424納出 _. 4. 已知a1=1 ,an+1= 2a3 an3,就 a2,a3,a4,a5 的值分別為 _ ,由此猜想nan=_. 三、解答題5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n1+3n+2 能被 13 整除,其中nN*. . 6. 如 n 為大于 1 的自然數(shù),求證：n11n121132n247. 已知數(shù)列 bn 是等差數(shù)列, b1=1,b1+b2+ +b10=145. 1求數(shù)列 bn 的通項公式 bn; 12設(shè)數(shù)列 an 的通項 an=log a1+ 其中 a0 且 a 1記 Sn 是數(shù)列 an 的前 n 項和,b n試比較 Sn

8、 與 1 logabn+1 的大小,并證明你的結(jié)論 . 38. 設(shè)實數(shù) q 滿意 |q|1,數(shù)列 an滿意：a1=2,a2 0,an an+1=q n,求 an 表達(dá)式,又假如 lim nS2n3,求 q 的取值范疇 . 參考答案難點磁場4解 ： 假 設(shè) 存 在a 、 b 、 c使 題 設(shè) 的 等 式 成 立 , 這 時 令n=1,2,3, 有1abc a362214a2bc b11270c109 a3 bc于是,對 n=1,2,3 下面等式成立106 / 7 122+232+ +nn+12= n n 1 3 n 211 n 10 12記 Sn=122+232+ +nn+12設(shè) n=k 時上式

9、成立,即 Sk= k k 13k 2+11k+10 12那么 Sk+1=Sk+k+1k+22= k k 1 k+23 k+5+ k+1 k+222= k 1 k 2 3k2+5k+12k+24 12= k 1 k 2 3k+12+11k+1+10 12也就是說,等式對 n=k+1 也成立 . 綜上所述,當(dāng) a=3,b=11,c=10 時,題設(shè)對一切自然數(shù) n 均成立 . 消滅難點訓(xùn)練一、 1.解析： f1=36,f2=108=3 36,f3=360=10 36 f1, f2,f3能被 36 整除,猜想 fn能被 36 整除 . 證明： n=1,2 時,由上得證,設(shè) n=kk2時,fk=2k+7

10、3 k+9 能被 36 整除,就 n=k+1 時,fk+1 fk=2 k+93 k+12k+73k=6k+273 k2k+73k=4k+203 k=36k+53 k2 k2 fk+1能被 36 整除f1不能被大于36 的數(shù)整除,所求最大的m 值等于 36. 答案： C 2.解析：由題意知n 3,應(yīng)驗證n=3. 答案： C 二、 3.解析：1133即 1121135,猜想ann35222 1121111115,即 1122122323 11 221221歸納為11111 22 n1nN* 22323nn1答案:1111122n1n N* n2232n11.4 解析:a 23 a 123235同理

11、,a 131732a 33 a2335,a43435,a 535a283910107 / 7 答案 : 3、3 、3 、3 37 8 9 10 n 5三、 5.證明： 1當(dāng) n=1 時, 42 1+1+31+2=91 能被 13 整除1k11b 11,bn=3n2假設(shè)當(dāng) n=k 時, 42k+1+3k+2 能被 13 整除,就當(dāng)n=k+1 時,4 2k+1+1+3k+3=42k+142+3k+23 42k+1 3+42k+13 =42k+113+342k+1+3k+2 k+2 能被 13 整除42k+113 能被 13 整除, 42k+1+3當(dāng) n=k+1 時也成立 . 由知,當(dāng)n N*時,

12、42n+1+3n+2 能被 13 整除 . 6.證明： 1當(dāng) n=2 時,21121271312242假設(shè)當(dāng) n=k 時成立,即k11k121132k24就當(dāng)nk1 時,k12k131211212k12kkk131111311242k12k2k1242k12k2131132422k1 k124b 117.1解：設(shè)數(shù)列 bn 的公差為 d,由題意得10 b 110 101 d145d322 1+2證明：由bn=3n2 知的大小比較 1+11+1 4Sn=log a1+1+log a1+1 + +log a1+ 43n12 =log a1+11+1 1+ 43 n12而1 log abn+1=lo

13、g a 3 33n1,于是,比較Sn 與1 logabn+1 3312與33n1的大小 . n取 n=1,有 1+1=38343311取 n=2,有 1+11+1383733214估計： 1+11+1 1+ 41233n1* 3 n當(dāng) n=1 時,已驗證 *式成立 . 假設(shè) n=kk1時*式成立,即 1+11+1 1+ 41233k11113k就當(dāng) n=k+1 時, 11 11 131213 k1233k 14k13 k108 / 7 3 k 2 3 3 k 13 k 1 3 k 2 3 3 k 1 3 3 3 k 4 33 k 1 3 k 2 3 3 k 3 k1 42 3 k 1 2 3

14、9k k1 4 2 03 3 k 1 3 k 2 3 3 k 4 3 3 k 1 13 k 1從而 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 k 1 1 ,即當(dāng) n=k+1 時, *式成立4 3 k 2 3 k 1由知, *式對任意正整數(shù) n 都成立 . 于是,當(dāng) a1 時, Sn1 log abn+1 ,當(dāng) 0a1 時, Sn1 logabn+13 38.解： a1a2=q,a1=2,a2 0, q 0,a2=9 , 2anan+1= q n,an+1an+2=q n+1兩式相除,得 a n 1,即 an+2=q ana n 2 q于是, a1=2,a3=2q,a5=2 q n 猜想： a2n

15、+1=1 q nn=1,2,3, 22 q k 1n 2 k 1 時 k N 綜合,猜想通項公式為 an= 1 q kn 2 k 時 k N 2下證： 1當(dāng) n=1,2 時猜想成立2設(shè) n=2k1 時, a2k1=2q k1 就 n=2k+1 時,由于 a2k+1=qa2k1a2k+1=2q k 即 n=2k1 成立 . 可推知 n=2k+1 也成立 . 設(shè) n=2k 時, a2k=1 q k,就 n=2k+2 時,由于 a2k+2=qa2k , 2所以 a2k+2=1 q k+1,這說明 n=2k 成立,可推知 n=2k+2 也成立 . 2綜上所述,對一切自然數(shù) n,猜想都成立 . 2 q k 1 當(dāng) n 2 k 1 時 k N 這樣所求通項公式為 a