1、培優(yōu)點十六利用空間向量求夾角.利用面面垂直建系例1:在如圖所示的多面體中，平面 ABB1A1平面ABCD,四邊形 ABB1Al為邊長為2的菱形，ABCD為直角梯形，四邊形 BCGB為平行四邊形，且 AB/ CD, AB BC , CD 1.(1)若E, F分別為AG , BG的中點，求證：|EF 平面AB1C1；(2)若 AAB 60 , AC1與平面ABCD所成角的正弦值為 叵,求二面角 A AG D的5余弦值.【答案】（1）見解析；（2）8【解析】（1）連接AB, 四邊形 ABB1Al為菱形，A1B A0 .平面ABBA 平面ABCD,平面ABBBAI平面ABCD AB, BC 平面ABC

2、D,AB BC ,BC 平面 ABRA .又 AB 平面 ABB1A1,AB BC .BC/ B1C1,A1B B1C1. B1C1 I ABi B , AB 平面 ABG . E,F 分別為 AG, BC1 的中點，EF/AB, EF 平面 ABA .（2）設 BC1 a,由（1）得 BG 平面 ABBA,由 AAB 60 , BA 2,得 AB 2x.;3 , AC1 V12 a2 .過點C1作GM DC ,與DC的延長線交于點 M ,取AB的中點H ,連接AH , AM ,如圖所示,又 AAB 60 ,，4ABA為等邊三角形， A1H AB,又平面 ABRA 平面ABCD ,平面 ABR

3、A I平面ABCD AB , AH 平面ABB1A1, 故AH 平面ABCD. BCGBi 為平行四邊形， CG/BB,CG/平面 AABB .又. CD/ AB, . CD/平面 AABB1.CC1 I CD C, 平面 AABR/ 平面 DC1M .由（1）,得 BC 平面 AABB1,BC 平面 DCiM ,BC C1M . BCI DC C ,CiM 平面 ABCD, . CAM 是 AG 與平面 ABCD 所成角.AB/AB, GB/CB, . AB/平面 ABCD, BiCi/ 平面 ABCD , . AB IBi,平面 ABCD/ 平面 abg .AH CiM 超,sin CiA

4、M MC1忖Y5 ,解得 a 裝.ACii2 a25在梯形ABCD中，易證DE AB ,uuvuuvuuv分別以HA , HD , HA的正方向為軸，y軸,軸的正方向建立空間直角坐標系.則 A 1,0,0 , D 0, 3,0 , A 0,0, 3 , R 2,0, 3 ,B i,0,0 , C i, 3,0 ,uuvuuv uuv 由 B與 i,0,/3,v3 ,uuuvACi一 一 uuu3, .3, 3 , AD一 uuv-i,j3,0 , AAi,0,V3 .設平面ADCi的一個法向量為 m xi, yi, ziuuuvm ACi 0uuum AD 0yii ,得 m 3,i,2設平面

5、AAG的一個法向量為nX2,y2,z2 ,由uuiv n AC1 uuv n AA3X23y2 . 3z 0 x2 ,3z2 0令 Z21,得 n3,2,1m n3 2 277cos I m, n） ,r-m|n| *3 1 4，3 4 1 展 “用8又二面角 A AG D是鈍角，二面角 A AC1 D的余弦值是2.線段上的動點問題例2：如圖，在Y ABCD中，A 30的位置，使平面ABC 平面A BD |.(1)求證：A D 平面BCDAD 廄,AB 2 ,沿BD將 ABD翻折到、A BD一，,、uuuu uuu 一一- 一 (2)若在線段 AC上有一點M滿足AM AC,且二面角 M BD

6、C的大小為60 ,求的值.【答案】（1）見解析；（2）.2【解析】（1） 4ABD中，由余弦定理，可得 BD 1 .BD2 AD2 AB2 ,ADB 90 , DBC 90 .作 DF AB 于點 F ,平面 A BC 平面A BD ,平面A BC I平面ABD AB,，DF 平面A BC . CB 平面 A BC , :. DF BC .又 CB BD , BD I DF D ,CB 平面 A DB .又 A D 平面 ADB ,CB AD .又 AD BDBD I CB BAD 平面BCDuuv(2)由(1)知DA , DB , DA兩兩垂直，以|D為原點，以DA方向為x軸正方向建立如圖所

7、示空間直角坐標系 D xyz ,則 B 0,1,0 , C73,1,0 , A 0,0,3 .設 M x,y,z ,x 3 uuuu uuu_則由 AM AC yM、3,33z 33設平面MDB的一個法向量為 m a, b,c ,則由uuvm DB 0uuuvm DM 0b 03 a b 3,3 c 0m 1,0,.平面CBD的一個法向量可取uuv _DA0,073 ,uuv 1cos DA ,m 一0,1 , 3.翻折類問題例3:如圖1,在邊長為2的正方形ABCD中，P為CD中點，分另ij將APAD , PBC沿PA ,PB所在直線折疊，使點C與點D重合于點O,如圖2.在三錐P OAB中，E

8、為PB中點.(1)求證：PO AB;(2)求直線BP與平面POA所成角的正弦值；(3)求二面角 P AO E的大小.【答案】（1）見解析；（2）些；（3） 一.53【解析】（1）在正方形 ABCD中，P為CD中點，|PD AD , | PC BC. 在三棱錐 P OAB 中，PO OA, PO OBOAI OB O , PO 平面 OAB. AB 平面 OAB , PO AB .PKnA|(2)取AB中點F ,連接OF ,取AO中點M ,連接BM .過點O作AB的平行線OG . PO 平面 OAB , :. PO OF , PO OG . OA OB, F 為 AB 的中點，OF AB. .

9、OF OG .如圖所示，建立空間直角坐標系 O xyz .A 1,3,0 , B 1,8,0 , P 0,0,1 , M La,02 2. BO BA, M 為 OA的中點，BM OA. PO 平面OAB, PO 平面POA, 平面POA 平面OAB.平面 POAI 平面 OAB OA, BM 平面 OAB,BM平面POA .uuuv BM32,23，0，平面POA的法向量m J3,1,0uuv BP1, 73,1 .設直線BP與平面POA所成角為，則sinuuv cos m, BPuw m BPuuvm BP直線BP與平面POA所成角的正弦值為遮5(3)由(2)知 E 1,立，2 2 2Ou

10、v 1巨1 , OA 173,0 2 2 2設平面OAE的法向量為uuv OA n uuvOE nz 23 .即 n 瓜 1,273 .cosm,n)m n f |m |n由題知二面角P AOE為銳角，它的大小為,對點增分集訓、單選題1.如圖，在所有棱長均為 a的直三棱柱 ABC ABG中，D, E分別為BB1AC1的中點,則異面直線AD , CE所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設AC的中點O,以Ouv, Oc1,uuvOE為y , z軸建立坐標系,則 A0,a,0 , D 3a0 a , C 0,a,0 , E 0,0, a , 2222uuu則AD3 a aa, 22

11、 2uuvCE0,2,a 5設AD與CE成的角為，則cos023 a3 2 a2a2a24a444a22.在三棱柱 ABC AB1cl中，底面是邊長為1的正三角形，側棱AA底面ABC ,棱BB上,且BD1,若AD與平面AAGC所成的角為,則sin 的值是322210464如圖，建立空間直角坐標系,易求點AOD 120 ,4i則空間中兩條直線 AD與BC所成的角為（)30【答案】B607590【解析】取AB中點E,以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角 坐標系，如圖所示,AOD 120 ,圓錐的底面直徑 AB 2 ,高OC J2 , D為底面圓周上的一點, .可得 A 0,

12、 1,0 , B 0,1,0 , C 0,0, v2 , D ,1,0 ,2 2uuu則AD3 3 uuv，一 ,0 , BC2 20, 1, 2 ,設空間兩條直線 AD與BC所成的角為uuu uuvi AD BC| uilVi .uiv ad| |bc60 ,即直線AD與BC所成的角為60 ,故選B.4 .已知四棱錐P ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA PD支5 ,平面ABCD平面PAD , M是PC的中點，O是AD的中點，則直線 BM與平面PCO所成角的正弦值是55 【答案】DD 8 8585【解析】由題可知 O 0,0,0 , P 0,0,2 , B 1,2,0 , C 1

13、,2,0 ,uuvuuu則 OP 0,0,2 , OC 1,2,0 ,1 uuv 3 M 是 PC 的中點，M -,1,1 , BM -, 1,1 22設平面PCO的法向量n x, y,z ,直線BM與平面PCO所成角為uuvsinuuiv uuv . I BM n cos： BM , n : 息u- ;l |BM| |n|型5,故選D.855.如圖，在直三棱柱 ABC ABC1中， BAC 90 , AB AC是AB和CC1的中點,點D與F分別是AC和AB上的動點.若GD2,點G與E分別EF ,則線段DF長度的最小值為（則 n 詼 2： 12y 0 可取2,10A. 2 55【答案】AD.

14、2 2【解析】 建立如圖所示的空間直角坐標系,則 A(0,0,0), E(0,2,1), G(1,0,2), F(x,0,0), D(0,y,0),uuuuuv則 GD 1,y, 2 , EF x, 2, 1 ,uuu uuv由于 GD EF , GD EFx 2y 2 0, . x 2y 2,故 DFx2 y2 2y 2 2 y25y2 8y 45(y -)2 4 ,5542，當y -時，線段DF長度取得最小值，且最小值為 一行.故選A. 556.如圖，點 A R C分別在空間直角坐標系 O xyz的三條坐標軸上，uuuOC 0,0,2 ,平面ABC的法向量為n 2,1,2 ,設二面角C A

15、B O的大小為，則cos ()AT Vh rtf Th iWV Ml3 43【答案】C532323uuu【解析】由題意可知，平面 ABO的一個法向量為： OC0,0,2由空間向量的結論可得：cosuuuOC n 4 uuuC.OC n.如圖所示，五面體 ABCDE中，正 ABC的邊長為1,AE平面 ABC, CD/ AE ,且八 1 cd Lae.2設CE與平面ABE所成的角為，AEk(k 0),若式汽6,4,則當k取最大值時，平面BDE與平面ABC所成角的正切值為（. 1.2D.【解析】如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,k則 A 0,1,0 , D 0,0,取AB的中點M ,則

16、Muuiv CM2 TOC o 1-5 h z uuv uuiv_由題意sinCE CM3uuuv-uuuv- -，CE CM |27lk2又由-,-,1 sin -JL= 更，解得叵 k 貶，k的最大值為22 , 6 422 1 k222當k y2時，設平面BDE的法向量為nx, y, z ,uuu n DE 則uiv n BEz 22z2取n 3, 1J2 ,由平面ABC的法向量為m 0,0,1 ,設平面BDE和平面ABC所成的角為，則 cos n m ，二 sin , /. tan 2 ,故選 C. n m 338 .已知三棱柱 ABC A B1C1的側棱與底面邊長都相等， A在底面AB

17、C內的射影為 4ABC的 中心，則ABi與底面ABC所成角的正弦值等于（）bT cTA.【解析】如圖，設A在平面ABC內的射影為O,以O為坐標原點,z軸建立空間直角坐標系如圖.設 ABC邊長為1,則A ,0,033，B1一2D.OA、OA分別為x軸、盟 5 3 16AB16,2, 3.又平面 ABC的法向量為n 0,0,1 .設AB與底面ABC所成角為，則sinuuv t cos AB1, n)uuvAB n 2uuuvAB1 n故直線AB與底面ABC所成角的正弦值為.故選B.9.如圖，四棱錐 P ABCD中,PB 平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD II BC ,AB BC , AB

18、 AD PB 3,點E在菱PA上，且PE 2EA,則平面|ABE與平面BED的夾角的余弦值為（C.A.B.【解析】 以B為坐標原點，以 BC、BA、BP所在直線為D.建立空間直角坐標系,D則 B 0,0,0 , A 0,3,0 , P 0,0,3 , D 3,3,0 ,E 0,2,1uuvBE設平面BED的一個法向量為 n x, y,zuuv BE uuv BD2y3x3y 0z軸,1 uuv0,2,1 , BD 3,3,011,一,1 ,平面ABE的法向重為m 1,0,0 , 22cos n, m126 12.，平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為.故選B.10.在正方體ABCDABCiD

19、,中，直線BCi與平面A, BD所成角的余弦值為（A.B.C.D.【解析】分別以DA ,DC, DDi為x, y, z軸建立如圖所示空間直角坐標系:設正方體的棱長為1,息可得 D 0,0,0 , B1,1,0 , Ci 0,1,1 , A 1,0,1 ,uumBC11, 1,0 ，uumuuu1,0,1 , A1D1,0, 1 , BD設n x, y,z是平面ABD的一個法向量，uuiv AD uuv BDn 1, 1, 1 ,取x 1,得y z 1,，平面ABD的一個法向量為設直線BC1與平面ABD所成角為 ，.二sinuuucos BC1 ,nuuuBC1 n2uuuBC1n石Q3BG與平

20、面ABD所成角的余弦值是C.11.已知四邊形 ABCD, AB BDDA 2 , BC CD 圾,現將4ABD沿BD折起，使面角5A BD C的大小在 -, 內，則直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是（ 6 6A.0582C.25 22 5 20, U ,1 D.,8888【答案】A【解析】取BD中點O ,連結AO , CO , AB BD DA 2 , BC CD 2 ,CO BD , AO BD ,且 CO 1 , AO 3 ,AOC是二面角 A BD C的平面角，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系,B(0, 1,0), C(1,0,0

21、), D(0,1,0),設二面角A BD C的平面角為，則56,6連 AO、BO,則 AOC , A 3 cos ,0, 1任當x 1時，cos 取取小值 一，.23 BG), BP與A)所成角的取值范圍是,一故選D.6 3二、填空題2, AC 23 , m是AC的中點,則異面直線CB與G M所成角的余弦值為13.如圖，在直三棱柱 ABC AB1C1中，AB BC CG1428【解析】在直三棱柱 ABC ABG中，AB BC CC1 2, AC 2向，M是AC的中點, BM以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作AC的垂線為z軸, 建立空間直角坐標系,3,0,2 , M 0,0,0 ,uuv

22、CB1uuuu3,1,2 , MC13,0,2 ,設異面直線CB與CiM所成角為，則cosuuv uuuuCBi MCi wu-uuuu CBi MCi1428則 C 3,0,0 , B1 0,1,2 , C1.異面直線CB,與CM所成角的余弦值為14.已知四棱錐 P ABCD的底面是菱形,色.28BAD 60 , PD |平面 ABCD,且 |PD AB ,點E是棱AD的中點，| F在PC上，若PF:FC 1:2,則直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為.【答案】4麻35【解析】 以D點建立如圖所示的空間直角坐標系D xyz,設菱形ABCD的邊長為2,uuv EFr, 3312 4則 D 0

23、,0,0 , E , ,0 , F 0, ,223 3平面ABCD的一個法向量為n0,0,1 ,uuvcos EF,n4 3535即直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為4 3535.設a,b是直線，是平面，a ,b ，向量a1在a上，向量b1在b上，a11,1,1,bi (3,4,0),則 ，所成二面角中較小的一個的余弦值為 .15【解析】由題意,1,1,1 , b1( 3,4,0),15cos a1,bi- a , b ,向量a1在a上，向量b1在b上，,所成二面角中較小的一個余弦值為正，故答案為41 .1515.在四B隹P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA 平面ABCD , A

24、B 2 , AD 3 ,BAD 120 , PA x,則當x變化時，直線PD與平面PBC所成角的取值范圍是【答案】0, 6【解析】如圖建立空間直角坐標系，得 B 0,2,0 , C 3,23,0 ， D 3,3,0 ，2222P 0,0,x ,1 uuv33 uuv設平面 PBC 的法向量 m x,y,z , BC-, ,0 , PB 0,2, x ,uuvBCuw，得 m 1, 3,2 3PB照2 3cos PD, m 12-2：42，3 x2xsin2 34 123 x2sin三、解答題17.如圖所示：四棱錐平面PAC 平面PBD0, -6P ABCD,底面ABCD為四邊形,AC 2 3,

25、 PCA 30 , PC(1)求證：PA 平面ABCD;(2)若四邊形ABCD中,BAD 120 ,AB BC是否在與平面PBD所成的角的正弦值為 3 5738【答案】(1)見解析；(2)十大 PM存在，MCAC BD , BC CD , PB4,PC上存在一點M ,使得直線PM的值，若不存在，請說明理由.MCBM【解析】(1)設ACI BD O ,連接POQ BC CD, AC BD, O 為 BD 中點又 Q PB PD , PO BD平面PAC 平面PBD ,平面PAC I平面PBD POBD 平面PAC ,而PA 平面PAC PA BD在 APCA 中，由余弦定理得 PAuuuvBM1 ,11 PC2 AC2 2PC ACcos30 ,O3222PA2 16 12 2 4 2A/3 4,而 PA2 AC2 PC2 2PA ACPA BD PA 平面 ABCD.BD I AC O(2)過A作AB垂線記為y軸，AB為x軸，AP為z軸建立空間直角坐標系:3 3A 0,0,0 , P 0,0,2 , B 3,0,0 , D ,-,0 , C。3,3,02 2uuivuuvPM MCuuvuuvPB 3,0, 2 , PDuuiv