1、第13講 數(shù)列最值問(wèn)題 一選擇題（共12小題）1設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則，中最大的項(xiàng)為ABCD【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因此若視為函數(shù)，則對(duì)稱軸在和之間，最大值是，故最大值為又，遞減，前8項(xiàng)中遞增，故最大且取最小正值時(shí)有最大值，最大故選：2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的前15項(xiàng)中最大的項(xiàng)是A第1項(xiàng)B第8項(xiàng)C第9項(xiàng)D第15項(xiàng)【解析】解：等差數(shù)列前項(xiàng)和，由，得，若視為函數(shù)則對(duì)稱軸在和之間，最大值是，分析，知為正值時(shí)有最大值，故為前8項(xiàng)，又，遞減，前8項(xiàng)中遞增，前8項(xiàng)中最大最小時(shí)有最大值，最大故選：3已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，成等比數(shù)列，則A，B，C，D，【解析】解：等差數(shù)列

2、的公差，若，成等比數(shù)列，可得，即，化為，由，可得，則，故選：4設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為A2B3C4D5【解析】解：，即：，兩式相加得：則的最大值為4故選：5設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值是A2B1C0D【解析】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，即，得，即，則，即最大值是，故選：6設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中且，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為ABCD【解析】解：，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，公差，解得，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，數(shù)列的前7項(xiàng)為正數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為故選：7設(shè)等差數(shù)列滿足，公差，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是A，B，C，D【解析】解：等差數(shù)列滿足，由對(duì)稱軸方程為，

3、由題意當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，解得：首項(xiàng)的取值范圍是故選：8設(shè)等差數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若數(shù)列也為等差數(shù)列，則的最大值是A310B212C180D121【解析】解：等差數(shù)列滿足，設(shè)公差為，則，其前項(xiàng)和為，數(shù)列也為等差數(shù)列，解得，由于為單調(diào)遞減數(shù)列，故選：9設(shè)等差數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若數(shù)列也為等差數(shù)列，則的最大值是A310B212C180D121【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，數(shù)列也為等差數(shù)列，化為，解得，數(shù)列單調(diào)遞減，的最大值是故選：10已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，且，若恒成立，則的最大值為ABC9D【解析】解：由令得，所以或（舍當(dāng)時(shí)，得即因?yàn)?，上式可化為故?shù)列是以3為首項(xiàng)，公差為

4、3的等差數(shù)列，所以所以所以因?yàn)?，隨著的增大而增大，故時(shí)最小，所以若恒成立，則的最大值為故選：11若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是ABCD【解析】解：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，由遞增，可得時(shí)，取得最小值，則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，由，可得，即，綜上可得，的取值范圍是，故選：12已知有窮數(shù)列中，2，3，729且從數(shù)列中依次取出，構(gòu)成新數(shù)列，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列記數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則ABCD與的大小關(guān)系不確定【解析】解：由，解得：，可取，故選：二多選題（共1小題）13已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，則下列結(jié)論一定正確的是A若，則公差B若，則最小CD【解析】

5、解：、當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，故正確 、當(dāng)，時(shí)，滿足，無(wú)最小值，故錯(cuò)誤、當(dāng)，且滿足時(shí)，此時(shí)，當(dāng)，且滿足時(shí)，的符號(hào)無(wú)法確定，故錯(cuò)誤、，故正確故選：三填空題（共10小題）14已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則的最大值為30【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，解得，令，解得則的最大值為故答案為：3015已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則當(dāng)25時(shí)，取得最大值【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)出等差數(shù)列的公差，若，則有，變形可得：，則，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，分析可得：當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，取得最大值；故答案為：2516在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為4【解析】解：在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，的最小值為4故

6、答案為：417若公差為的等差數(shù)列，滿足，則公差的取值范圍是，【解析】解：公差為的等差數(shù)列，滿足，即有，化為，由方程有解的條件可得，即，解得或，故答案為：，18設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，對(duì)任意、，都有，則的最小值為【解析】解：對(duì)任意、，都有，令，可得，則，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2則，令，則，可得，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增又（7），（8）（7）（8）的最小值為故答案為：19設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，對(duì)任意，都有，則且的最小值為32【解析】解：依題意，由，及，的任意性，可令，則，即為數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立且的最小值為32故答案為：3220已知數(shù)列與的前項(xiàng)

7、和分別為，且，若任意，恒成立，則的最小值為【解析】解：由于且，當(dāng)時(shí)，解得所以，得：，故（常數(shù)）所以故所以，由于，恒成立，所以的最小值為故答案為：21已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，【解析】解：由，因?yàn)?，且?duì)任意，故，特別地，于是，此時(shí)對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值為，最小值為，由題意，的最大值及最小值分別為和由及，解得綜上所述，的取值范圍為，故答案為：，22已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是2【解析】解：由，得，取，得，即，解得，由對(duì)任意恒成立，得對(duì)任意恒成立，可得對(duì)任意恒成立，即實(shí)數(shù)的最小值是2故答

8、案為：223已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，直線與圓交于，兩點(diǎn)，且若對(duì)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，【解析】解：圓的圓心為，半徑，可得圓心到直線的距離，則，所以，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，又，兩式相減可得，化為，則為首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，可得，設(shè)，則，上面兩式相減可得，可得，對(duì)成立，等價(jià)為，即恒成立，設(shè)，可得（1）（2）（3）（4）（5），所以的最大值為（2）（3），則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：，四解答題（共3小題）24在等差數(shù)列中，設(shè)為它的前項(xiàng)和，若，且點(diǎn)與都在斜率為的直線上（）求的取值范圍；（）指出中哪個(gè)值最大，并說(shuō)明理由【解析】解：（）由已知可得，則公差，；（）最大的值是，即最大又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減所以，最大25設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（1）求公差的取值范圍；（2）指出，中哪一個(gè)最大？說(shuō)明理由【解析】解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，代入上兩式得到，?）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以所以最大?2分）26已知數(shù)列的前項(xiàng)和是公差不為0的等差數(shù)列，其前三項(xiàng)和為3，且是，的等比中項(xiàng)（1）求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】解：（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)時(shí)，得，即，所以，由數(shù)列的前