1、第4章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法現(xiàn) 代 控 制 理 論 本章結構第4章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義4.2 李雅普諾夫第一法4.3 李雅普諾夫第二法4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應用緒論4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義1 提出什么是穩(wěn)定性？我們已經(jīng)學習了那些穩(wěn)定性判據(jù),如何應用？ 一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。例如,電壓自動調解系統(tǒng)中保持電機電壓為恒定的能力;電機自動調速系統(tǒng)中保持電機轉速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義為：當系統(tǒng)受到外

2、界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義分析一個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一直是控制理論中所關注的最重要問題。對于簡單系統(tǒng)，常利用經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。在經(jīng)典控制理論中,借助于常微分方程穩(wěn)定性理論,產(chǎn)生了許多穩(wěn)定性判據(jù),如勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。但這些穩(wěn)定性判別方法僅限于討論SISO線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)關系,討論的是線性定常系統(tǒng)的有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性,未研究

3、系統(tǒng)的內部狀態(tài)變化的穩(wěn)定性。也不能推廣到時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等復雜系統(tǒng)。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義再則，對于非線性或時變系統(tǒng),雖然通過一些系統(tǒng)轉化方法,上述穩(wěn)定判據(jù)尚能在某些特定系統(tǒng)和范圍內應用,但是難以勝任一般系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制系統(tǒng)的結構比較復雜,大都存在非線性或時變因素,即使是系統(tǒng)結構本身, 往往也需要根據(jù)性能指標的要求而加以改變,才能適應新的情況,保證系統(tǒng)的正?；蜃罴堰\行狀態(tài)。在解決這類復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時,最通常的方法是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論,即李雅普諾夫穩(wěn)定性定理。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義實際上 ,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常有兩種定義方式：外部穩(wěn)定性：

4、是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài),即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關系所定義的外部穩(wěn)定性。經(jīng)典控制理論討論的確有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部穩(wěn)定性 。內部穩(wěn)定性：是關于動力學系統(tǒng)的內部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性,即系統(tǒng)的內部狀態(tài)穩(wěn)定性。本節(jié)討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性即為內部穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng),內部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)。對于同一個線性系統(tǒng),只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義早在1892年,俄國學者李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 1918) 發(fā)表題為“運動穩(wěn)定性一般問題

5、”的著名文獻,建立了關于運動穩(wěn)定性研究的一般理論。百余年來,李雅普諾夫理論得到極大發(fā)展,在數(shù)學、力學、控制理論、機械工程等領域得到廣泛應用。李雅普諾夫把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化,然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點)分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。這是一種較簡捷的方法,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法,亦稱為李雅普諾夫第一法。第二類方法不是通過解方程或求系統(tǒng)特征值來判別穩(wěn)定性,而是通過定義一個叫做李雅普諾夫函數(shù)的標量函數(shù)來分析判別穩(wěn)定性。由于不用解方程

6、就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,所以第二種方法稱為直接法,亦稱為李雅普諾夫第二法。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來分析線性定常系統(tǒng),而且也能用來研究時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、離散時間系統(tǒng)、離散事件動態(tài)系統(tǒng)、邏輯動力學系統(tǒng)等復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這正是其優(yōu)勢所在。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義可是在相當長的一段時間里,李雅普諾夫第二法并沒有引起研究動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的人們的重視,這是因為當時討論系統(tǒng)輸入輸出間關系的經(jīng)典控制理論占有絕對地位。隨著狀態(tài)空間分析法引入動態(tài)系統(tǒng)研究和現(xiàn)代控制理論的誕生,李雅普諾夫第二法又重新引起控制領域人們的注意,成為近40年來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的最主要方法

7、,并得到了進一步研究和發(fā)展。本章將詳細介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,李雅普諾夫第一法和第二法的理論及應用。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義本章需解決的問題:動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性理論-李雅普諾夫穩(wěn)定性基本概念: 平衡態(tài)、李雅普諾夫穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性基本方法:李雅普諾夫第一法、李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法在線性定常系統(tǒng)的應用-李雅普諾夫方程的求解重點喔！重點與難點！4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義2 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性定義 穩(wěn)定性指的是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)下受到擾動后，系統(tǒng)自由運動的性質。因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言的。對于線性定常系

8、統(tǒng)，由于通常只存在唯一的一個平衡狀態(tài)，所以，只有線性定常系統(tǒng)才能籠統(tǒng)地將平衡點的穩(wěn)定性視為整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于其他系統(tǒng)，平衡點不止一個，系統(tǒng)中不同的平衡點有著不同的穩(wěn)定性，我們只能討論某一平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。為此，首先給出關于平衡狀態(tài)的定義，然后再介紹李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義2 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性定義（1）平衡狀態(tài)由于穩(wěn)定性考察的是系統(tǒng)的自由運動，故令u = 0。此時設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為初始狀態(tài)為x(t0) = x0。對于上述系統(tǒng)，若對所有的t，狀態(tài)x滿足 ，則稱該狀態(tài)x為平衡狀態(tài)，記為xe。故有由平衡狀態(tài)xe在狀態(tài)空間中所確定的點，稱為平衡點4.1

9、李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義（1）平衡狀態(tài)4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義（1）平衡狀態(tài)對于非線性系統(tǒng)，方程f ( xe,t) = 0的解可能有多個，即可能有多個平衡狀態(tài)。如因此該系統(tǒng)有三個平衡狀態(tài)4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義（2）范數(shù)的定義2 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性定義李雅普諾夫穩(wěn)定性定義中采用了范數(shù)的概念。 范數(shù)的定義：在n維狀態(tài)空間中，向量x的長度稱為向量x的范數(shù)，用x表示，則向量（x xe）范數(shù)可寫成通常又將x xe稱為x與 xe的距離。當向量（x xe）的范數(shù)限定在某一范圍之內時，則記為 x xe 0幾何意義為，在狀態(tài)空間中以xe為球心，以為半徑的一個球域，記為S( )。4.1

10、 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義（3）李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性定義2 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性定義第一種：穩(wěn)定和一致穩(wěn)定第二種：漸近穩(wěn)定第三種：大范圍漸近穩(wěn)定第四種：不穩(wěn)定4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義第一種：穩(wěn)定和一致穩(wěn)定定義: 對于系統(tǒng) ，若對任意給定的實數(shù) 0，都對應存在另一個實數(shù)(, t0)0，使得一切滿足x0 xe ( , t0)的任意初始狀態(tài)x0所對應的解x，在所有時間內都滿足 x xe （t t0） 則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe穩(wěn)定的。若與t0無關，則稱平衡狀態(tài)xe是一致穩(wěn)定的。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義第一種：穩(wěn)定和一致穩(wěn)定S( )x2x1S( )xxex04.1 李雅普諾夫關于

11、穩(wěn)定性的定義第二種：漸近穩(wěn)定定義: 對于系統(tǒng) ，若對任意給定的實數(shù) 0，都對應存在另一個實數(shù)(, t0)0，使得一切滿足x0 xe ( , t0)的任意初始狀態(tài)x0所對應的解x，對于任意小量 0，總有 則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe漸近穩(wěn)定的。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義第二種：漸近穩(wěn)定S( )x2x1S( )xxex0經(jīng)典理論中的穩(wěn)定就是這里所說的漸近穩(wěn)定4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義第三種：大范圍漸近穩(wěn)定定義: 如果系統(tǒng) 對對整個狀態(tài)空間中的任意初始狀態(tài)x0的每一個解，當t，都收斂到xe，稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe大范圍漸近穩(wěn)定。 顯然，由于從狀態(tài)空間中的所有點出發(fā)的軌跡都要收斂于xe，因此這

12、類系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)，這也是大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件。對于線性定常系統(tǒng)，當A為非奇異的，系統(tǒng)只有一個唯一的平衡狀態(tài)xe = 0。所以若線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。而對于非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)通常有多個平衡點，因此非線性系統(tǒng)通常只能在小范圍內漸近穩(wěn)定。在實際工程問題中，人們總是希望系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義第四種：不穩(wěn)定定義: 對于系統(tǒng) ，若對某個給定的實數(shù) 0和任意實數(shù)(, t0)0，不論這兩個實數(shù)有多么小，在球域S( )內總存在一個初始狀態(tài)x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終將超超出球域，則稱平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。S( )x2x1S(

13、 )xex04.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義 本章結構第4章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義4.2 李雅普諾夫第一法4.3 李雅普諾夫第二法4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應用緒論4.2 李雅普諾夫第一法1 基本原理 李雅普諾夫第一法的基本思想是利用系統(tǒng)的特征值或微分方程及狀態(tài)方程的解的性質來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通常又稱為間接法。它適用于線性定常系統(tǒng)、線性時變系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)可以線性化的情況。2 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)定理4.2-1 線性定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定的充要條件是A的特征值均具有負實部，即 Re(i) 0。這樣就可以根據(jù)

14、的定號性來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，若v(x) 0，并且 0。若隨系統(tǒng)的運動，能量在連續(xù)地減小，則 。當能量最終耗盡，此時系統(tǒng)又回到平衡狀態(tài)。符合漸近穩(wěn)定的定義，所以是漸近穩(wěn)定的。幾何意義x1x20c1c2x04.3 李雅普諾夫第二法 該定理給出地是漸近穩(wěn)定的充分條件，即如果能找到滿足定理條件的v(x)，則系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。但如果找不到這樣的v(x)，并不意味著系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 該定理本身并沒有指明v(x)的建立方法。一般情況下，v(x)不是唯一的。許多情況下，李雅普諾夫函數(shù)可以取為二次型函數(shù)，即v(x) = xTPx的形式，其中P陣的元素可以是時變的，也可以是定常的。但在一般情況下，v(x

15、)不一定都是這種簡單的二次型的形式。 該定理對于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)及定常系統(tǒng)都是適用的，是一個最基本的穩(wěn)定性判別定理。4.3 李雅普諾夫第二法例4.3-2 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：平衡點方程得解得唯一的平衡點為x1 = 0，x2 = 0，即xe = 0，為坐標原點4.3 李雅普諾夫第二法選取李氏函數(shù)為二次型函數(shù)，即 v(x) = x12 + x22顯然v(x)是正定的。v(x)的一階全導數(shù)為因此 是負定的。又當x時，有v(x) ，故由定理5-4，平衡點xe = 0是大范圍漸近穩(wěn)定的。 4.3 李雅普諾夫第二法（2）漸近穩(wěn)定的判別定理二設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其平衡狀

16、態(tài)為xe = 0，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)v(x，t)，并且滿足條件 v(x，t)是正定的， 是負半定的， 在x0時不恒等于零，則在平衡點xe = 0處是漸近穩(wěn)定的。4.3 李雅普諾夫第二法 以二維狀態(tài)空間，并且以v(x) = x12 + x22為例加以說明。 恒等于零，即v(x) = x12 + x22 C，表示系統(tǒng)的能量是個常數(shù)，不會再減小。另外又表示系統(tǒng)的狀態(tài)x距原點的距離也是一個常數(shù)，不會再減小而趨向原點。顯然，此時系統(tǒng)一定不是漸近穩(wěn)定的。非線性系統(tǒng)中的極限環(huán)便屬于這種情況。 不恒等于零，即只在某個時刻暫時為零，而其他時刻均為負值。這表示能量的衰減不會終止。另一方面也表

17、示狀態(tài)x到原點的距離的平方也不會停留在某一定值v(x) = x12 + x22 = C上，其他時刻這個距離的變化率均為負值。因此狀態(tài)x必然要趨向原點，所以系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。4.3 李雅普諾夫第二法例4.3-3 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：v(x) = x12 + x22 0當 0時，x2 = 0， x1 = 0。 所以，當x1=任意值，x2 = 0時， =0，但不會恒等于零（只出現(xiàn)在某個時刻）。按照定理，系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。又當x時，v(x)，故xe=0也是大范圍漸近穩(wěn)定的。4.3 李雅普諾夫第二法（3）穩(wěn)定的判別定理一設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其平衡狀態(tài)為xe = 0

18、，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)v(x，t)，并且滿足條件 v(x，t)是正定的， 是負半定的， 在x0時不存在某一x值使 恒為零，則系統(tǒng)在平衡點xe = 0處是穩(wěn)定的。4.3 李雅普諾夫第二法例4.3-4 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選取李氏函數(shù)為下面的二次型函數(shù)，即v(x) = x12 + x22 0可見， 在任意的x值上均保持為零。因此，系統(tǒng)在xe = 0處是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。4.3 李雅普諾夫第二法（4）不穩(wěn)定的判別定理一設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其平衡狀態(tài)為xe = 0，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)v(x，t)，并且

19、滿足條件 v(x，t)是正定的， 是正定的，則系統(tǒng)在平衡點處是不穩(wěn)定的。4.3 李雅普諾夫第二法例4.3-5 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選取李氏函數(shù)為下面的二次型函數(shù)，即v(x) = x12 + x22 0系統(tǒng)在xe = 0處是不穩(wěn)定的。4.3 李雅普諾夫第二法（5）不穩(wěn)定的判別定理二設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其平衡狀態(tài)為xe = 0，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)v(x，t)，并且滿足條件 v(x，t)是正定的， 是正半定的， 在x0時不恒等于零則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。4.3 李雅普諾夫第二法例4.3-6 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定

20、其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選取李氏函數(shù)為下面的二次型函數(shù)，即v(x) = x12 + x22 0當 0時，x2 = 0， x1 = 0。系統(tǒng)在xe = 0處是不穩(wěn)定的。 本章結構第4章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4.1 李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義4.2 李雅普諾夫第一法4.3 李雅普諾夫第二法4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應用緒論4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)式中，x是n維狀態(tài)矢量，A是nn常數(shù)陣，且是非奇異的。在平衡狀態(tài)xe = 0處，漸近穩(wěn)定的充要條件是：對任意給定的一個正定對稱矩陣Q，存在一個正定對稱矩陣P，