1、 樣本空間與事件 排列與組合 機(jī)率概念與性質(zhì) 總機(jī)率法則與貝氏定理 13.1樣本空間與事件3.1.1 實(shí)驗(yàn)3.1.2 樣本空間 (一)有限樣本空間 (二)無限樣本空間3.1.3 事件 (一)簡(jiǎn)單事件 (simple event) (二)複合事件 (composite event)3.1.4 事件之集合運(yùn)算 (一)互斥事件 (二)餘事件2 3.1.1 實(shí)驗(yàn)機(jī)率的產(chǎn)生往往決定於蒐集資料的過程，而蒐集資料的過程稱之為實(shí)驗(yàn)(experiment)。更進(jìn)一步地，有許多的實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)未完成的時(shí)候，並不能預(yù)知其結(jié)果為何，而此實(shí)驗(yàn)的方式，我們稱之為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)(random experiment)。 33.1.2

2、 樣本空間(1/2)在實(shí)驗(yàn)中往往會(huì)產(chǎn)生許多不同的結(jié)果，而這些實(shí)驗(yàn) 可能產(chǎn)生的結(jié)果所成的集合，稱之為樣本空間 (sample space)。而每一個(gè)實(shí)驗(yàn)的可能的結(jié)果，稱之為樣本點(diǎn) (sample point)或出象(outcome)。 參見例3.1例題 3.1(1)擲一顆骰子的實(shí)驗(yàn)，其樣本空間為1, 2, 3, 4, 5, 6，而其 中的 1、2、3、4、5、6為樣本點(diǎn)。(2)擲二顆骰子的實(shí)驗(yàn)，其樣本空間為(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(6, 3)， (6, 4)， (6, 5)，(6, 6)，而(

3、2,3)為其中的一個(gè)樣本點(diǎn)。 43.1.2 樣本空間(2/2) 樣本空間依據(jù)樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)又可分為有限樣 本空間及無限樣本空間。 (一)有限樣本空間(finite sample space) 具有有限或無限但可數(shù)的樣本點(diǎn)之樣 本空間。 (二)無限樣本空間(infinite sample space) 具有無限且不可數(shù)的樣本點(diǎn)之樣本空間。 53.1.3 事件(1/2)所謂事件(event)，它是樣本空間之子集合，亦即某些樣本點(diǎn)所成的集合，也是我們所關(guān)心問題之主角。事件又可分為以下兩種： (一)簡(jiǎn)單事件 (simple event) 只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件。 (二)複合事件 (composite e

4、vent) 包含一個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件。 參見例3.463.1.3 事件( 2/2)例題 3.4(1)令A(yù)表投擲一顆骰子點(diǎn)數(shù)為5的事件，B表投擲一顆骰 子點(diǎn)數(shù)大於5的事件，則A=5，B=5, 6，A、B均為 樣本空間S1, 2, 3, 4, 5, 6之子集合，故A、B為不同 的兩個(gè)事件，且A為簡(jiǎn)單事件，B為複合事件。(2)令C表投擲二顆骰子點(diǎn)數(shù)總合為9的事件，則 C(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)為一複合事件。 73.1.4 事件之集合運(yùn)算(1/7) 衡量事件之機(jī)率時(shí)，常常會(huì)將事件加以分解，然後再以 某種組合的方式來處理。而常見的事件組合，主要有以 下兩種：事件的交集

5、(intersection)與事件的聯(lián)集(union)。令A(yù)、B為兩個(gè)事件，AB與AB可以圖3.1來表示。 83.1.4 事件之集合運(yùn)算(2/7)另外，若 (空集合)，則我們稱事件A與事件B為互斥事件(mutually exclusive events)。而事件A之互補(bǔ)事件稱為A之餘事件(complement of A)。 (一)互斥事件 對(duì)任何二個(gè)事件A、B，若 ，則稱A、B為 互斥事件。 (二)餘事件 不包含事件A之樣本點(diǎn)所形成的集合，稱之為事件A 之餘事件，記為 或 。 參見例3.59例題3.5 在連續(xù)投擲骰子二次的實(shí)驗(yàn)中，令A(yù)表示二次點(diǎn)數(shù)和為9的事 件，B表示第一次投擲時(shí)，點(diǎn)數(shù)大於等於

6、5的事件，C表示第 二次投擲時(shí)，點(diǎn)數(shù)恰為2的事件，試問： (1) 、 與 =？ (2)事件A、B是否為互斥事件？事件A、C是否為互斥事件？ 【解】 因?yàn)槭录嗀 = (3,6) , (4,5) , (5,4) , (6,3) 事件B = 事件C = (1,2) , (2,2) , (3,2) , (4,2) , (5,2) , (6,2) 3.1.4 事件之集合運(yùn)算(3/7)103.1.4 事件之集合運(yùn)算(4/7)承上頁所以(1) (2)因?yàn)?，所以事件A、B不為互斥事件， 又因?yàn)?，所以事件A、C彼此互斥。 113.1.4 事件之集合運(yùn)算(5/7) 定理3-1 狄摩根定理(de-Morgen

7、rule) 對(duì)於事件A、B，下列等式成立。 (1) (2) 除了狄摩根定理外，其他常用重要之集合運(yùn)算法則如下： (1)交換律(commutative rule)： (2)結(jié)合律(associative rule)： (3)分配律(distributive rule)：123.1.4 事件之集合運(yùn)算(6/7)上述(3)式可由圖3.2及圖3.3得知。 133.1.4 事件之集合運(yùn)算(7/7)承上頁143.2 排列與組合 3.2.1 排列 3.2.2 組合3.3 機(jī)率概念與性質(zhì) 3.3.1 事件之機(jī)率 (一)古典機(jī)率方法 (二)相對(duì)次數(shù)法 (三)主觀方法 3.3.2 事件機(jī)率之基本性質(zhì) 3.3.3

8、條件機(jī)率 3.3.4 獨(dú)立事件 153.2.1 排列(1/2)在這一節(jié)中我們將介紹計(jì)算樣本空間大小及事件集合大小的兩種計(jì)算工具排列與組合。在此，先介紹一個(gè)符號(hào)階乘(factorial)。 階乘：當(dāng)n 為大於或等於1之整數(shù)，則n 階乘定義為 n！n(n1)(n2)321；而定義0！1。所謂排列(permutations) 便是將一些不同的物件作有順序的安排。因此若將n 個(gè)不同的物件取出 r 個(gè)物件作排列，則以 來代表其不同排列的方法數(shù)。 之公式如下： 其中 且 均為大於或等於1的整數(shù)。 參見例3.9163.2.1 排列(2/2)例題3.9假設(shè)有3份不同的禮物欲發(fā)給8位小朋友，且每人至多可得一份禮

9、物，請(qǐng)問共有幾種不同的發(fā)放方式？ 【解】 先將三份禮物標(biāo)示1、2、3記號(hào)，然後再從8位小朋友中取出3位1、2、3順序做排列，對(duì)應(yīng)禮物標(biāo)示發(fā)給此三份禮物，則其發(fā)放之方式共有 173.2.2 組合(1/2) 所謂組合(combinations) 便是不同的物件沒有順序的 選取。而當(dāng)我們由 n 個(gè)不同的物件中選取 r 個(gè)物件時(shí)， 我們將以 或 來代表其選取方式之個(gè)數(shù)。 組合數(shù) 其中 且 均為大於或等於 1 的整數(shù)。 參見例3.10183.2.2 組合(2/2)例題3.10(1)請(qǐng)問由52張牌隨機(jī)抽取5張牌之方法有多少？(2)請(qǐng)問由52張撲克牌中隨機(jī)抽取5張牌時(shí)，其中至少有2張為相同點(diǎn)數(shù)之情形有多少？

10、 【解】 (1) (2)首先從13種不同點(diǎn)數(shù)中選取一者，共 種，而任一 點(diǎn)數(shù)的牌各有4張，選取2張牌，共 種，因此兩張 相同之點(diǎn)數(shù)的牌之選取，共有 種可能，其餘3 張牌可由剩餘之50張牌中任意抽取，共有 種，因 此5張牌之組合共有 種。 193.3.1 事件之機(jī)率(1/5) 事件之機(jī)率可以從不同的角度取得，而其主要取得的方法有古典機(jī)率方法、相對(duì)次數(shù)法及主觀方法。 (一)古典機(jī)率方法 (classical probability method) 在一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，在每一個(gè)結(jié)果產(chǎn)生的可能性一致的 條件下，事件的機(jī)率為事件的元素個(gè)數(shù)除以樣本空間 之樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即事件E 的機(jī)率 其中#(E)、#(S)

11、分別代表事件E及樣本空間S的元素 個(gè)數(shù)。 參見例3.11203.3.1 事件之機(jī)率(2/5)例題3.11請(qǐng)問投擲一顆骰子兩次，點(diǎn)數(shù)和為5的機(jī)率為何？【解】 令E 表兩個(gè)產(chǎn)品均為不良品的事件，則 所以 而事件 所以 因此 213.3.1 事件之機(jī)率(3/5)(二)相對(duì)次數(shù)法 (relative frequency method) 重複N 次相同試驗(yàn)的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，若事件E 出現(xiàn) n 次，則事件E 的機(jī)率， 例題3.14 (1)重複投擲一個(gè)骰子600次後，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)數(shù)字1的次數(shù)為 100次，則我們可稱出現(xiàn)數(shù)字1的機(jī)率為 (2)重複檢驗(yàn)生產(chǎn)線中1000件相同之產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)10件為不 良品，則我們可稱此生產(chǎn)

12、線之不良率為參見例3.14223.3.1 事件之機(jī)率(4/5)(三)主觀方法 (subjective method) 利用任何可參考的資料，經(jīng)由經(jīng)驗(yàn)或直覺，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 的相信程度表示成機(jī)率值。利用主觀方法分派實(shí)驗(yàn)結(jié)果 的機(jī)率仍須滿足以下條件： (1)對(duì)樣本空間 S 之任意事件E， 。 (2)對(duì)樣本空間 S， 。也就是說全部實(shí)驗(yàn)結(jié)果之機(jī)率 的總和等於1。例題3.15 假設(shè)事件E1及E2分別代表John統(tǒng)計(jì)學(xué)及格與不及格事件。如 果John預(yù)測(cè)其及格的機(jī)率為0.9，則P(E1)=0.9 且 P(E2)=0.1。 參見例3.15233.3.1 事件之機(jī)率(5/5) 由以上三種方法得到的事件機(jī)率，雖然

13、代表的意義不盡相同，但它們皆需遵守以下事件機(jī)率的公設(shè)。 (1)對(duì)於樣本空間中的任意事件E， 。 (2)對(duì)於不可能的事件 ， 。 (3)對(duì)於樣本空間S， 。其中， 代表S中的樣本 點(diǎn)，且 。 (4)在樣本空間S 中，若事件 彼此互斥(即 ，對(duì)於 )，則 243.3.2 事件機(jī)率之基本性質(zhì)定理 3-2 (1)互補(bǔ)法則：對(duì)於事件A， (2)加法法則：若A、B為兩事件，則AB之事件機(jī)率，例題3.16若P(A)0.2，P(B)0.3，P(AB)0.1試求P(Ac)、P(Bc)、P(AB)、P(AcBc)及P(ABc) 。 【解】 (1) (2) (3) (4) (5)參見例3.16253.3.3 條件機(jī)

14、率(1/4) 所謂條件機(jī)率(conditional probability)是指在某一特定事件A已發(fā)生的狀況下，另一個(gè)事件B會(huì)發(fā)生的機(jī)率 。 條件機(jī)率：參見例3.18263.3.3 條件機(jī)率(2/4)例題3.18 已知某公司有A、B兩條生產(chǎn)線，且兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)之良品與不良品個(gè)數(shù)如表3.1： 試問，(1)任選一件產(chǎn)品為A產(chǎn)品的機(jī)率為何？ (2)任選一件產(chǎn)品為 A 產(chǎn)品且不良品的機(jī)率為何？ (3)隨機(jī)抽取一件A產(chǎn)品，其結(jié)果為不良品的機(jī)率為何？ 生產(chǎn)線產(chǎn)品狀態(tài)AB良品480450不良品2050273.3.3 條件機(jī)率(3/4)承上頁【解】 令樣本空間S代表所有產(chǎn)品所成的集合，事件F 表不良品事件，

15、則 (1) (2) (3) 283.3.3 條件機(jī)率(4/4) 定理3-4 (1) (2) 例題3.19由一副撲克牌中抽三張牌，令A(yù)表第一張是Ace，B表第二張是10或J，C表第三張是大於3且小於7，試求P(ABC)？【解】 參見例3.19293.3.4 獨(dú)立事件(1/2)在條件機(jī)率中，我們探討一個(gè)事件B在另一個(gè)事件A發(fā)生之前題下發(fā)生的機(jī)率。然而，當(dāng)事件B的發(fā)生與事件A的發(fā)生無關(guān)時(shí)，我們稱A、B為獨(dú)立事件(independent events)。因此，若 或 ，則稱A、B為獨(dú)立事件。 參見例3.20303.3.4 獨(dú)立事件(2/2)例題3.20承例3.18，請(qǐng)問事件A與事件F是否為獨(dú)立事件？

16、【解】 已知 因此， 所以，A、F不獨(dú)立，即產(chǎn)品之不良率受不同之生產(chǎn)線所 影響。 313.4 總機(jī)率法則與貝氏定理3.4.1 總機(jī)率法則3.4.2 貝氏定理323.4.1 總機(jī)率法則(1/3) 定理3-6 總機(jī)率法則 若為樣本空間S之分割集合，且A為S中的一個(gè)事件，則例題3.23 已知工管系一年級(jí)男生近視之人數(shù)佔(zhàn)全班的1/3，女生近視之 人數(shù)佔(zhàn)全班的1/2，試問若隨機(jī)抽取一位工管系一年級(jí)學(xué)生， 他為近視者之機(jī)率為何？【解】 令S 表示工管系一年級(jí)學(xué)生，A 表示近視的事件，B1表示男 生的事件， B2表示女生的事件，則SB1B2，且參見例3.23333.4.1 總機(jī)率法則(2/3)定理3-7 條件機(jī)率之總機(jī)率法則 若 為樣本空間S之分割集合，且A為S 中的一個(gè)事件，則 參見例3.24343.4.1 總機(jī)率法則(3/3)例題3.24已知工管系一年級(jí)男生與女生之比例相同，且男生中有1/3近視，女生中1/2近視，試問若隨機(jī)抽取一位工管系一年級(jí)學(xué)生，其近視者之機(jī)率為何？【解】 令S表示工管系一年級(jí)學(xué)生，A表示近視的事件，B1表示男生的事件， B2表示女生的事件，則 353.4.2 貝氏定理(1/4) 定理3-8 貝氏定理 若事件 為樣本空間的分割集合，則