1、無(wú)限長(zhǎng)圓柱瞬態(tài)導(dǎo)熱溫度場(chǎng)的推導(dǎo)III張卓 1102610126市政學(xué)院建筑環(huán)境與設(shè)備工程摘要：對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱體，用分析推導(dǎo)無(wú)限大平壁在對(duì)流換熱邊界條件下的方法，來(lái)求得它 們的溫度分布的分析解，以前所討論的無(wú)限大平壁，無(wú)限長(zhǎng)圓柱體和球體的加熱和冷卻問題 都屬于一維瞬態(tài)導(dǎo)熱問題。利用這些一維問題的解，可以進(jìn)一步確定一些二維或三維瞬態(tài)導(dǎo) 熱問題的溫度場(chǎng)，像有限長(zhǎng)圓柱體，它可以看成是無(wú)限長(zhǎng)圓柱體與無(wú)限大平壁垂直相交形成。 Abstract : For an infinite long cylinder, with analysis of the Pacific Ocean is infinite wa

2、ll in the convective heat transfer boundary conditions method, to get their temperature distribution analysis solution, discussed before the infinite wall of the Pacific Ocean, an infinite long cylinder and spheres of heating and cooling problem all belong to one dimensional transient heat conductio

3、n problem. Use these a d of the solution of the problem, can determine some of 2-d or 3-d transient heat conduction problem of temperature field, like limited long cylinder, it can be regarded as an infinite long cylinder and infinite Pacific vertical wall intersection formation.關(guān)鍵字：無(wú)限長(zhǎng)圓柱體 有限長(zhǎng)圓柱體瞬態(tài)導(dǎo)

4、熱Key words： Infinite long cylinder Limited long cylinder Transient thermal引言：利用這些一維問題的解，可以進(jìn)一步確定一些二維或三維瞬態(tài)導(dǎo)熱問題的溫度場(chǎng)，像 有限長(zhǎng)圓柱體，它可以看成是無(wú)限長(zhǎng)圓柱體與無(wú)限大平壁垂直相交形成。我們對(duì)無(wú)限大平壁 在對(duì)流換熱的邊界條件下溫度的變化情況已十分熟悉，本文將以類似的方法對(duì)無(wú)限長(zhǎng)圓柱， 有限長(zhǎng)圓柱的瞬態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)行推導(dǎo)，也可以加深我們隊(duì)瞬態(tài)導(dǎo)熱的理解程度，及對(duì)畢渥準(zhǔn)則， 傅里葉準(zhǔn)則的理解。加熱或冷卻分析解法1無(wú)限長(zhǎng)圓柱設(shè)有一半徑為8的無(wú)限長(zhǎng)圓柱，圓柱的導(dǎo)熱系數(shù)A和熱擴(kuò)散率a均為已知常數(shù)， 初始

5、時(shí)圓柱各處與兩側(cè)介質(zhì)溫度均勻一致并等于t0,若突然把周圍介質(zhì)溫度降 全，并保持不變，使圓柱處于冷卻狀態(tài)。設(shè)此過程中圓柱表面與周圍介質(zhì)之間 /的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)均為h。圓柱的溫度分布是中心對(duì)稱的，分析中把坐標(biāo)軸x放在 圓柱的中心軸，采用柱坐標(biāo)推導(dǎo)。如圖所示，這是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，其導(dǎo)熱微分方程式為合 t1 aa ta(r )r a ra rt0, 0r8(1)相應(yīng)的初始條件為T = 0 , t =t 0 r 8（2）邊界條件為a t=0 , T0a rr =,8(3)_ X 6 ta r r = 8=h ( tr = 8-t f ), T0(4)引用新的變量R （ r具）=t （r具）-tf，稱為過

6、余溫度，這樣式（1）（4） 可以改寫為a r1-= a ra a r-(ra r ) a r（3-1）a tt = 0, R = R。,。 r 8aR= 0,T0 dr（3-2）（3-3）r=o.a0人ar=hOtr =8,0（3-4）r =8應(yīng)用分離變量法，假定R（r 具）=X （r ）”）將式（5）帶入式（3-1），進(jìn)過整理得到(5)對(duì)式（7）X、a 1 a (r .。. d)dTr drdrX d a ,dXd 2 X、= (+ r ) dT r drdr 21 d1 1 dX d 2 X、=(+)a dTX r dr dr2(6)1 d1 ,dx 1 d 2 X、展 A(7)和 X(

7、drr 7（8）積分 = ex pz（i t ）上式中cl是積分常數(shù)。分析式（9）可知，常數(shù)若為正值，將隨著的增大而（9）急劇增大，當(dāng)?shù)闹岛艽髸r(shí)，趨于無(wú)限大，實(shí)際上這是不可能的；常數(shù)若為零，將等于常數(shù)，這意味著。3具）將不隨著時(shí)間發(fā)生變化，這也是不符合實(shí)際的。因此只能是負(fù)值，表為日=Y2。于是，式（9）和式（8）可以改寫為（10）1 dX 1 d 2 X、 (+) = -e 2X dr r dr 2（11）d 2 XdXr 2+ rdr 2dr+ s 2 Xr 2 =0該方程為零階貝塞爾方程，其一般解為:X = C 2 J 0（新）+ C 3y （r）其中J 0（r ）和丫 0（r）分別是第一

8、類與第二類的零階貝賽爾方程R = A1J0（r） e x p-（z8 瓦）+e x p-（z8 瓦）其中，根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)：0, 丫0（） 函數(shù)的值不可能無(wú)限增大A2 = 0R(r,T) = A】(次)e x p-s 21)i dRAdr對(duì)于邊界條件（4）得：等式左邊為:=XA1J0(r) e x p(Q 2t )根據(jù)被塞爾函數(shù)性質(zhì)有：J o&）=-禮（新）:.X_h = 8 = 人sA(p r) n=1其中J 0(er )和丫 0(er)分別是第一類與第二類的零階貝賽爾方程即f (r) 是一個(gè)貝塞爾級(jí)數(shù)的和。以rJ 0( Pm )而乘式的兩邊同時(shí)在(0,5 )區(qū)域 (00 )區(qū)域內(nèi)對(duì)

9、j進(jìn)行積分，若級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可積則有f rf ( r ) J 0( Pm 5)dr = E An5 rJ 0( Pn 5J 0( Pm 5)0n=10根據(jù)貝塞爾函數(shù)帶全正交的性質(zhì)：f5 rJ0( Pn 5) J0(Pm 5)dr = 002( p n ) + J12( p n) I(m n)f5 rJ (p r) J (p r)dr = 52 00 n 50 m 52(m = n)-r一 0 - n 5，12(p ) + J 2(p U0 n 1 n則A為I5 rf (r) J (p :)dr2f*rf (r) J (p : )dr(13)A廣 f5 rJ 2； ；dr =52 0 0 n 5將(1

10、3)式帶入(12)式得aT57)R S)= R E52n=125rf (r) J (p r)drr-5J (p -)exp(-p 22(p ) + J 2(p ) 0 n 5 n2有限長(zhǎng)圓柱類似的對(duì)長(zhǎng)度為21和半徑為8的有限長(zhǎng)圓柱體，把他看成是半徑為8的無(wú)線 長(zhǎng)圓柱體和厚度為21的無(wú)限大平壁垂直相交得到。F =其溫度分布可以表述 為：R(r,尤其)=R(r,T) R(尤其)R RRaT、 2)5 2)R(X,T)文 2sin A a cos(P X)exp(邛R P + sin P cos P n 50n=1 nnnR(r ,tR0)=2 切!exp(-Pn=1 nJ (P r/5)J (p )J2(p ) + J 2(pn)0 n 1 n.R(r,x,T) =2工. R0