1、PAGE PAGE 13數(shù)列的概念(第1課時(shí))素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.理解數(shù)列的概念，能根據(jù)所給的一列數(shù)，歸納總結(jié)數(shù)列的通項(xiàng)公式2理解數(shù)列的函數(shù)特性，會(huì)畫數(shù)列的圖象，會(huì)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)判斷數(shù)列的單調(diào)性.1.數(shù)學(xué)抽象；2數(shù)學(xué)運(yùn)算情境導(dǎo)學(xué)樹木的生長(zhǎng)，由于新生的枝條往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新的枝條所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝休息，老枝依舊萌發(fā)此后，老枝與“休息”過一年的枝條同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年 “休息”這樣，一株樹苗各個(gè)年份的枝數(shù)，便構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列你能寫出這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)嗎？1數(shù)列的概念及分類(1)定義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)項(xiàng)數(shù)

2、列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)表示a1，a2，a3，an，簡(jiǎn)記為an(2)分類項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列特別地，各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列(3)數(shù)列與函數(shù)數(shù)列an是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2，n)到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為anf(n

3、)另一方面，對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果f(n)(nN*)有意義，那么f(1)，f(2)，f(n)，構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列f(n)判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)數(shù)列中的項(xiàng)互換次序后還是原來的數(shù)列()(2)所有的數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類()(3)an與an的意義一樣，都表示數(shù)列()2數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，根據(jù)通項(xiàng)公式可以寫出數(shù)列的各項(xiàng)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n(n21)，則a6()A35 B11 C35 D11A解析：a6(1)6(621)35.故選A1

4、下列各項(xiàng)表示數(shù)列的是()Aa，b，c，x，y，zB2 008,2 009,2 010，2 017C銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形Dab，ab，ab，aB解析：數(shù)列必須由數(shù)組成，A，C，D中均不是數(shù)2數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq f(1,2)(n1)(n1)，則a5()A10 B12C14 D16B解析：由題意，通項(xiàng)公式為aneq f(1,2)(n1)(n1)，則a5eq f(1,2)(51)(51)12.故選B3數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann1，則an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D不能確定A解析：因?yàn)閍n1an10，即an1an，故an是遞增數(shù)列4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2(nN)

5、，則數(shù)列an的圖象是()A一條直線 B一條拋物線C一個(gè)圓 D一群孤立的點(diǎn)D解析：由于nN，所以ann2的圖象是一群孤立的點(diǎn)5已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an32n，則a2n_；eq f(a2,a3)_.34neq f(1,5)解析：an32n，a2n322n34n，eq f(a2,a3)eq f(322,323)eq f(1,5). 【例1】下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？(1)1,3,5,7,9；(2)4,3,2,1,0；(3)所有無理數(shù)；(4)1,2,3,4，；(5)2,2,2,2,2.解：(1)是集合，不是數(shù)列；(3)不能構(gòu)成數(shù)列，因?yàn)闊o法把所有的無理數(shù)按一定順

6、序排列起來；(2)(4)(5)是數(shù)列，其中(4)是無窮數(shù)列，(2)(5)是有窮數(shù)列數(shù)列及其分類的判定方法：(1)判斷所給的對(duì)象是否為數(shù)列，關(guān)鍵看它們是不是按一定次序排列的數(shù)；(2)判斷所給的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列含有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)，若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則是無窮數(shù)列下列說法正確的是()A1,2,3,4，n是無窮數(shù)列B數(shù)列3,5,7與數(shù)列7,5,3是相同數(shù)列C同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)D數(shù)列2n1的第6項(xiàng)是13D解析：A錯(cuò)誤，數(shù)列1,2，n，共n項(xiàng)，是有窮數(shù)列B錯(cuò)誤，數(shù)列是有次序的C錯(cuò)誤，數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)D正確，當(dāng)n6時(shí)，26113. 【例2】寫出下列數(shù)列an

7、的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq f(1,2)，2，eq f(9,2)，8，eq f(25,2)，；(2)1，3,5，7,9，；(3)9,99,999,9 999，；(4)eq f(221,1)，eq f(322,3)，eq f(423,5)，eq f(524,7)，；(5)eq f(1,12)，eq f(1,23)，eq f(1,34)，eq f(1,45)，；(6)4,0,4,0,4,0，.解：(1)先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：eq f(1,2)，eq f(4,2)，eq f(9,2)，eq f(16,2)，eq f(25,2)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為aneq f(n2,2).(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕

8、對(duì)值分別為1,3,5,7,9，是連續(xù)的正奇數(shù)，其通項(xiàng)公式為An2n1.考慮(1)n1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用，所以數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n1(2n1)(3)各項(xiàng)加1后，分別變?yōu)?0,100,1 000，10 000，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為An10n，可得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an10n1.(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，其通項(xiàng)公式為An2n1；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，其通項(xiàng)公式為Bn(n1)2，分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，其通項(xiàng)公式為Cnn，綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為aneq f(n12n,2n1).(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加

9、1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an(1)neq f(1,nn1).(6)由于該數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)全部都是4，偶數(shù)項(xiàng)全部都是0，因此可用分段函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式，即aneq blcrc (avs4alco1(4，n為奇數(shù)，,0，n為偶數(shù).)該數(shù)列也可改寫為22,22,22,22,22,22，因此其通項(xiàng)公式又可表示為an22(1)n1.【例3】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是aneq blcrc (avs4alco1(3n1n是奇數(shù)，,2n2n是偶數(shù)，)寫出這個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng)，并判斷該數(shù)列的單調(diào)性解：因?yàn)閍neq blcrc (avs4alco1(3n1n是奇數(shù)，,2n2n是偶數(shù)，

10、)所以a13114，a22222，a333110.因?yàn)閍1a2，a3a2，所以數(shù)列an不具有單調(diào)性(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住分式中分子、分母的特征，相鄰項(xiàng)的變化特征，拆項(xiàng)后的特征，各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想由不完全歸納得出的結(jié)果不一定是可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(1)n或(1)n1來調(diào)整寫出下列數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)是下列各數(shù)：(1)1，eq f(1,2)，eq f(1,3)，eq f(1,4)，；(2)eq r(3)，3，e

11、q r(15)，eq r(21)，；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，；(4)3,5,3,5，.解：(1)任何一個(gè)整數(shù)都可以看成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所以此數(shù)列可以看作是自然數(shù)數(shù)列的倒數(shù)，故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)neq f(1,n).(2)數(shù)列可化為eq r(3)，eq r(9)，eq r(15)，eq r(21)，即eq r(31)，eq r(33)，eq r(35)，eq r(37)，每個(gè)根號(hào)里面可分解成兩數(shù)之積，前一個(gè)因數(shù)為常數(shù)3，后一個(gè)因數(shù)的通項(xiàng)公式為 An2n1，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為aneq r(32n1)eq r(6n3).(3)原數(shù)列可變形為1eq f(1,1

12、0)，1eq f(1,102)，1eq f(1,103)，1eq f(1,104)，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an1eq f(1,10n).(4)數(shù)列給出前4項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式的一種表示方法為aneq blcrc (avs4alco1(3，n為奇數(shù)，,5，n為偶數(shù).)此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為eq f(35,2)4,415，413，因此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式又可以寫為an4(1)n. 【例4】在數(shù)列an中，ann28n.(1)畫出an的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出數(shù)列an的增減性解：(1)列表：n123456789an71215161512709描點(diǎn)：在平

13、面直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)即得數(shù)列an的圖象：(1，7)，(2，12)，(3，15)，(4，16)，(5，15)，(6，12)，(7，7)，(8,0)，(9,9)，.圖象如圖所示(2)數(shù)列an在n1,2,3,4時(shí)是遞減的，在n5,6,7，時(shí)是遞增的【例5】數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(2n,3n1)是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C擺動(dòng)數(shù)列 D常數(shù)列A解析：數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(2n,3n1)中，aneq f(2n,3n1)，an1aneq f(2n2,3n4)eq f(2n,3n1)eq f(2,3n13n4)0，所以anan1，數(shù)列eq blcrc(avs

14、4alco1(f(2n,3n1)是遞增數(shù)列1畫數(shù)列的圖象的方法數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，因此也可以用圖象來表示，以位置序號(hào)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即坐標(biāo)為(n，an)描點(diǎn)畫圖，就可以得到數(shù)列的圖象因?yàn)樗亩x域是正整數(shù)集N(或它的有限子集1,2，3，n)，所以其圖象是一群孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以是有限的，也可以是無限的2判斷數(shù)列增減性的方法(1)作差比較法：若an1an0恒成立，則數(shù)列an是遞增數(shù)列；若an1an0恒成立，則數(shù)列an是遞減數(shù)列；若an1an0恒成立，則數(shù)列an是常數(shù)列(2)作商比較法：若an0，則當(dāng)eq f(an1,an)1時(shí)，數(shù)列an是遞增數(shù)列；當(dāng)eq f(an1,an)

15、1時(shí)，數(shù)列an是遞減數(shù)列；當(dāng)eq f(an1,an)1時(shí)，數(shù)列an是常數(shù)列若an0，則當(dāng)eq f(an1,an)1時(shí)，數(shù)列an是遞增數(shù)列；當(dāng)eq f(an1,an)1時(shí)，數(shù)列an是遞減數(shù)列；當(dāng)eq f(an1,an)1時(shí)，數(shù)列an是常數(shù)列1若數(shù)列an是遞減數(shù)列，則其通項(xiàng)公式可能是()Aan2n Bann2Caneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n Danlog2nC解析：由于函數(shù)f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x是減函數(shù)，故數(shù)列aneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n是遞減數(shù)列，選CB解析：令n4，a4427466，故選B2

16、若通項(xiàng)公式為ann2bn的數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_(3，)解析：由題意知an1an(n1)2b(n1)(n2bn)2n1b0恒成立，即2n1b0，b2n1恒成立，而nN時(shí)，2n1的最大值為3(n1時(shí))，所以b3，即b的取值范圍為(3，)1數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann27n6，則a4()A2 B6C2 D1B解析：令n4，a4427466，故選B2下列說法正確的是()A數(shù)列1，2，3，4，是一個(gè)遞減數(shù)列B數(shù)列2,3,6,8可以表示為2,3,6,8Can和an是相同的概念D每一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式都是唯一確定的A解析：A正確；數(shù)列2,3,6,8 不能表示為集合2,3,6,8，數(shù)列有

17、次序，集合和元素順序無關(guān)，故B錯(cuò)誤；an表示數(shù)列的全部的項(xiàng)，而an表示數(shù)列的第n項(xiàng)，不是同一個(gè)概念，故C錯(cuò)誤；數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有多個(gè)，故D錯(cuò)誤故選A3若數(shù)列an滿足an2n，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D擺動(dòng)數(shù)列A解析：an1an2n12n2n0，an1an，即an是遞增數(shù)列故選A1判斷所給對(duì)象是否為一個(gè)數(shù)列，關(guān)鍵看它們是不是按照一定次序排列的數(shù)2數(shù)列按項(xiàng)數(shù)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列，按單調(diào)性可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列3已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，按“從特殊到一般”進(jìn)行歸納4已知一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需將項(xiàng)數(shù)n代入即可求出其中的任意一項(xiàng)課時(shí)分層作業(yè)(一)數(shù)列的概念(第1課時(shí))(

18、60分鐘100分)eq f(基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練,基礎(chǔ)考點(diǎn)分組訓(xùn)練)知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的概念1(5分)有下面四個(gè)結(jié)論：數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的；每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；數(shù)列可以看作一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)；數(shù)列的圖象是坐標(biāo)平面上有限或無限個(gè)離散的點(diǎn)其中真命題的個(gè)數(shù)為()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)B解析：對(duì)，數(shù)列1，1,1，1，其通項(xiàng)公式an(1)n1，也可以是an(1)n3，故錯(cuò)誤；對(duì)，數(shù)列的項(xiàng)與n具備一定的規(guī)律性，才可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以有的數(shù)列是無通項(xiàng)公式的，故錯(cuò)誤；對(duì)，數(shù)列可以看作一個(gè)定義在正整數(shù)集上或正整數(shù)集的子集上的函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)，由數(shù)列的定義知命題正確故選B2(5分)(多選)下列關(guān)于數(shù)列的

19、說法正確的是()A按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列B若an表示數(shù)列，則an表示數(shù)列的第n項(xiàng)，anf(n)表示數(shù)列的通項(xiàng)公式C同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一D同一個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同ABC解析：因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)的值是可以相同的，比如說常數(shù)列，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤，A，B，C均正確3(5分)下列說法錯(cuò)誤的是()A數(shù)列4,7,3,4的首項(xiàng)是4B數(shù)列an中，若a13，則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3C數(shù)列1,2,3，就是數(shù)列nD數(shù)列中的項(xiàng)不能是代數(shù)式B解析：根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念，可知數(shù)列4,7,3,4的第1項(xiàng)就是首項(xiàng)，即4，故A正確；同一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念可知

20、C正確；數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù)，不能是其他形式，故D正確故選B知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的通項(xiàng)公式4(5分)數(shù)列1,3，7,15，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是()Aan(1)n(2n1)Ban(1)n(2n1)Ca1(1)n1(2n1)Dan(1)n1(2n1)A解析：將n1代入四個(gè)選項(xiàng)，可知C中a11，D中，a11.排除C，D當(dāng)n3時(shí)，代入B項(xiàng)可得a35，排除B故選A5(5分)數(shù)列8n1的最小項(xiàng)等于()A1 B7C8 D不存在B解析：數(shù)列8n1的最小項(xiàng)為a18117.故選B6(5分)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是aneq f(n,n28)(nN*)，則數(shù)列的第4項(xiàng)為()Aeq f(1,10) Beq f(1,6) Ceq

21、f(1,4) Deq f(1,3)B解析：由題意，根據(jù)數(shù)列an的通項(xiàng)公式，得a4eq f(4,428)eq f(1,6).知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的函數(shù)特性7(5分)已知數(shù)列an滿足a10，對(duì)一切nN，eq f(an1,an)eq f(1,2)，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C擺動(dòng)數(shù)列 D不確定B解析：因?yàn)閑q f(an1,an)eq f(1,2)，所以數(shù)列an為等比數(shù)列，ana1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1.又a10，則an0，所以eq f(an1,an)eq f(1,2)1，an10.因此數(shù)列an是遞增數(shù)列故選A9(5分)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann24n21(nN

22、*)，這個(gè)數(shù)列最大的項(xiàng)是(B)A第1項(xiàng) B第2項(xiàng)C第3項(xiàng) D第4項(xiàng)eq f(能力提升練,能力考點(diǎn)拓展提升)10.(5分)已知an1an30，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C先遞增后遞減數(shù)列 D常數(shù)列A解析：由已知得an1an30，故an為遞增數(shù)列11(5分)數(shù)列0，eq f(1,3)，eq f(1,2)，eq f(3,5)，eq f(2,3)，的通項(xiàng)公式為()Aaneq f(n2,n) Baneq f(n1,n)Caneq f(n1,n1) Daneq f(n2,n2)C解析：原數(shù)列可變形為eq f(0,2)，eq f(1,3)，eq f(2,4)，eq f(3,5)，eq f(4,6

23、)，aneq f(n1,n1).12(5分)在數(shù)列an中每相鄰兩項(xiàng)間插入3個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則新數(shù)列的第41項(xiàng)()A不是原數(shù)列的項(xiàng)B是原數(shù)列的第10項(xiàng)C是原數(shù)列的第11項(xiàng)D是原數(shù)列的第12項(xiàng)C解析：由于每相鄰兩項(xiàng)間插入3個(gè)數(shù)，因此原數(shù)列中的第n項(xiàng)在新數(shù)列中是第14(n1)4n3項(xiàng)由4n341，得n11，即第41項(xiàng)是原數(shù)列的第11項(xiàng)故選C13(5分)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq f(11n1,2)，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()A1,0,1,0 B0,1,0,1Ceq f(1,2)，0，eq f(1,2)，0 D2,0,0A解析：a1eq f(1111,2)eq f(11,2)1；a2eq f(1121,2)eq f(11,2)0；a3eq f(1131,2)eq f(11,2)1；a4eq f(1141,2)eq f(11,2)0.故選A14.(5分)已知數(shù)列an，ananm(a0，nN*)，滿足a12，a24，則a3_.2解析：由題意得eq blcr