1、2020-2021學(xué)年浙江省金華高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的模是（）A1B2CD4C【分析】根據(jù)模的定義計算可得正確的選項【詳解】，故選：C2對于空間任意兩個非零向量，“”是“為鈍角”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件B【分析】根據(jù)充分和必要條件的定義法，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，進(jìn)行推導(dǎo)即可得解.【詳解】根據(jù)向量的夾角范圍，若，可以為鈍角也可能為角，故推不出為鈍角，若為鈍角，則利用向量數(shù)量積公式可得，故為鈍角能推出，所以“”是“為鈍角”的必要不充分條件.故選：B3在中，為邊上的高，若，則（）A1BCDD【分析】根據(jù)題設(shè)條件先求出，再

2、利用向量的線性運算得到，由平面向量基本定理可求的值，從而可得正確的選項【詳解】如圖，因為，而為高，故，又，故，而不共線，故，所以，故選：D4在等腰三角形中，若P為邊上的動點，則（）A4B8CDB【分析】取的中點為，連接，可得及，利用數(shù)量積的運算律及中線向量公式可求【詳解】取的中點為，連接，因為，故，故，又，故選：B5所有棱長均相等的三棱錐構(gòu)成一個正四面體，則該正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（）ABCDA【分析】設(shè)正四面體的棱長為，結(jié)合勾股定理可求兩球的半徑，從而可得它們的體積之比【詳解】如圖，設(shè)為正三角形的中心，連接，根據(jù)對稱性可知正四面體的內(nèi)切球和外接球共球心且球心在線段上，連接，設(shè)正

3、四面體的棱長為，則，故設(shè)外接球的半徑為，則，故，解得，故內(nèi)切球的半徑為，所以，故內(nèi)切球與外接球的體積之比為，故選：A6在中，向量在上的投影向量為，則（）A5BCDC【分析】如圖，根據(jù)投影向量可得為鈍角，如圖，過作的垂線，垂足為，根據(jù)投影向量的定義和已知條件可求，利用面積求出，從而可求的長度【詳解】因為向量在上的投影向量為，故為鈍角，如圖，過作的垂線，垂足為，則在的延長線上，而向量在上的投影向量為，故，而，故，故，故，故選：C7在中，已知，D是邊上一點，如圖，則（）ABC2D3B【分析】在中利用余弦定理求得，在中由正弦定理可求得【詳解】 ，根據(jù)余弦定理，根據(jù)正弦定理，則故選：B8已知、是相互垂直

4、的單位向量，向量滿足，設(shè)，則隨著的增大，（）A一直增大B一直減小C先增大后減小D先減小后增大B【分析】分別以、的方向為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，根據(jù)，可求得向量的坐標(biāo)，可得出，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出的單調(diào)性.【詳解】分別以、的方向為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由可得，則，則，所以，令，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，隨著的增大，一直增大.由于余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，一直減小.故選：B.本題考查數(shù)列的單調(diào)性，同時也考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中等題.二、多選題9下列命題正確的（）A若復(fù)數(shù)，則B若，則

5、復(fù)數(shù)的虛部是C若，則的最小值為1D已知，若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則實根必為AC【分析】由復(fù)數(shù)模公式即可判斷A C；由復(fù)數(shù)虛部定義可判斷B；由復(fù)數(shù)相等定義可判斷D【詳解】對A選項，故，A正確；對B選項，故虛部為2，B錯誤；對C選項，設(shè)，且，則，所以因為，當(dāng)時最小值為1，故C正確；對D選項，關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則 解得，故D錯誤故選：AC10已知a，b，c表示不同的直線，表示平面，給出四個命題，其中正確的為（）A若，則或a，b相交或a，b異面；B若，則；C若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；D若，則a，b與c所成的角相等AD【分析】根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)可得AB的正誤，根據(jù)空間中直線的

6、位置關(guān)系是否具有傳遞性可判斷C的正誤，根據(jù)異面直線的定義可判斷D的正誤【詳解】對于A，同平行于一個平面的兩條直線，可以平行、相交或異面，故A正確.對于B，若，則或，故B錯誤.對于C，若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面、平行或相交，故C錯誤.對于D，根據(jù)異面直線所成的角的定義可證該結(jié)論正確，故D正確，故選：AD11在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹揭环N用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓直徑長）兩個指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法正

7、確的是（）A斗笠軸截面（過頂點和底面中心的截面圖形）的頂角為B過斗笠頂點和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為平方厘米C若此斗笠頂點和底面圓上所有點都在同一個球上，則該球的表面積為平方厘米D此斗笠放在平面上，可以蓋住的球（保持斗笠不變形）的最大半徑為厘米ACD【分析】根據(jù)母線長與底面半徑用正弦可求頂角；當(dāng)頂角為是面積最大；根據(jù)頂角與母線長即可求外接球半徑；根據(jù)三角形內(nèi)切圓幾何關(guān)系即可求解半徑【詳解】對A選項，設(shè)頂角為，則，得，所以頂角為，A正確；對B選項，因為頂角為，則截面三角形的最大面積為平方厘米，B錯誤；對C選項，因為頂角為，則，所以外接球半徑等于圓錐母線長，即則該球的表面積為平方

8、厘米，C正確；對D選項，設(shè)球的最大半徑為，因為頂角為，則，所以，D正確故選：ACD12如圖，正方體的棱長為1，分別是棱，的中點，過的平面與棱，分別交于點，設(shè)，以下結(jié)論正確的是（）A四邊形一定是菱形；B平面；C四邊形的面積在區(qū)間上具有單調(diào)性；D四棱錐的體積為定值A(chǔ)BD【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷A，根據(jù)即可判斷B，根據(jù)菱形的面積公式及對稱性判斷C，根據(jù)錐體的體積公式判斷D；【詳解】解：對于A，由正方體的性質(zhì)及面面平行的性質(zhì)定理可得，所以四邊形為平行四邊形，又直角梯形和直角梯形全等，可得，即有四邊形為菱形，故A正確；對于B，由四邊形為平行四邊形，可得，平面，平面，可得平面，故B正確；對于C，由菱

9、形可得，四邊形的對角線是固定的，根據(jù)對稱性， 可得四邊形的面積在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上不是單調(diào)函數(shù)，故C不正確；對于D，因為四棱錐的體積為為常數(shù)，所以D正確；故選：ABD三、雙空題13如圖，-輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到處時測得公路北側(cè)一山頂在北偏西的方向上，仰角為，行駛米后到達(dá)處，測得此山頂在北偏西的方向上，仰角為，若，則此山的高度_米，仰角的正切值為_. 【分析】設(shè)山的高度（米），由題可得：,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）, （米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，問題得解.【詳解】設(shè)山的高度（米），由題可得：,（米）, 在中，可得：，利用正弦定理可得：

10、，解得：（米）, （米）在中，由可得：（米）在中，可得：本題主要考查了利用正弦定理解三角形，還考查了空間思維能力及識圖能力，考查轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題四、填空題14等腰梯形，上底，腰，下底，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為_【詳解】試題分析：如上圖， ， ， ，因為 ，所以 ，所以，在直觀圖中 ，斜二測畫法15在中，內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，若，則的最小值為_由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的正弦公式， 可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)和角的范圍，即可求出的最小值.【詳解】解：因為所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最小值為，故答案為

11、:.關(guān)鍵點點睛：本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，解決問題的關(guān)鍵將所求的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角的三角函數(shù)，運用三角函數(shù)的性質(zhì)求得所求的最值.16已知非零向量，若與的夾角為，與的夾角為，且，則的最大值為_.【分析】設(shè)，根據(jù)與的夾角為，與的夾角為可知四點共圓，再結(jié)合余弦定理建立關(guān)系，通過不等式即可求解的最大值.【詳解】設(shè)，.則，.又，此時，、四點共圓.如圖，在三角形中，由正弦定理得，即，可得，由那么可得在中，由余弦定理可得，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）則故21本題考查了向量的加減運算和夾角公式的應(yīng)用，基本不等式求解最值問題，屬于中檔題.五、解答題17已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，是虛數(shù)單位，且滿

12、足.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，則，代入足，整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得，值，則可求；（2）由（1）得，再由實部與虛部都大于0列不等式組求解【詳解】解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)，則，于是，即，解得，故；（2）由（1）得，由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，解得.實數(shù)的取值范圍是.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題18（1）已知向量，且，求的值（2）如圖所示，在中，D，F(xiàn)分別為線段，上一點，且，和相交于點E，若，分別求出與的值（1）；（2）【分析】（1）利用

13、向量平行可求，利用向量垂直可求，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式可求（2）以為基底向量表示，根據(jù)平面向量基本定理可得關(guān)于的方程組，求解后可得與的值【詳解】（1）因為，故，故因為，故，故，故（2）因為且F分別為線段上一點，故，所以即而，故，而不共線，故，解得 思路點睛：平面向量中與向量系數(shù)有關(guān)系的計算，可以利用基底法來處理，即選定一組不共線的向量，其他向量可以用前者來表示，再利用平面向量基本定理把系數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組問題.19在；，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_（1）求的值； （2）若，求b的值（1）；（2

14、）；（1）若選擇條件，由正弦定理得，整理得：，再利用余弦定理有求解.若選擇條件因為，根據(jù)正弦定理得，即求解.（2）由（1）知，再根據(jù)，利用正弦定理解得，再將代入求解.【詳解】（1）選擇條件，所以，整理得：即.整理可得，又所以，所以.選擇條件因為，由正弦定理得，即，在中，所以，所以.（2）由，得，又，則，解得.將代入中，得，解得本題主要考查正弦定理，余弦定理和兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20如圖所示，在四棱錐中，平面，是的中點.（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若是線段上一動點，則線段上是否存在點，使平面？說明理由.（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

15、.【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）取的中點，連接，利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行的判斷定理即可證明；（3）取中點，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可證明【詳解】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，（2）取的中點，連接，是的中點，又由（1）可得，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面（3）取中點，連接，分別為，的中點，平面，平面，平面，又由（2）可得平面，平面平面，是上的動點，平面，平面，線段存在點，使得平面21在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求角A的大??；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍；（3）若，D是邊上的中點，求（

16、1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用正弦定理可把邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為，從而可得.（2）先根據(jù)銳角三角形可得，再利用三角變換公式可得，從而可求的取值范圍；（3）在和中分別用余弦定理可得關(guān)于的方程，求解后可得為直角三角形，從而可求的值.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，而為三角形內(nèi)角，故，故即.（2）由（1）可得，因為為銳角三角形，故，故.又，因為，故，故.（3）中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，整理得到，解得，故，故，故，故.方法點睛：在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.另外，在解三角形中，我們有時需要找出不同三角形之間相關(guān)聯(lián)的邊或角，由它們溝通分散在不同三角形的幾何量22如圖，某大型景區(qū)有兩條直線型觀光路線，點D位于的平分線上，且與頂點A相距1公里現(xiàn)準(zhǔn)備過點D安裝一直線型隔離網(wǎng)（B，C分別在和上），圍出三角形區(qū)域，且和都不超過5公里，設(shè)（單位：公里）（1）求x，y的關(guān)系式；（2）求邊長的最小值；（3）景區(qū)需要對兩個三角形區(qū)域，進(jìn)行綠化經(jīng)測算，區(qū)域每平方公里的綠化費用是區(qū)域的兩倍，試確定x，y的值，使得所需的總費用最少（1） (其中 )；（2） ；（3）.【分析】（1）依題意得，利用面積公式及條件可得 (其中)；（2）由（1）知，則. 由余