1、第3章 MATLAB的數(shù)值計算矩陣的構建矩陣元素矩陣運算矩陣的關系運算和邏輯運算多項式運算第1頁，共52頁。3.1 矩陣的構建3.1.1 直接輸入創(chuàng)建矩陣 創(chuàng)建矩陣最簡單的方法就是直接輸入矩陣元素，輸入格式有以下的要求：整個矩陣以“ ”作為首尾；行與行之間用分號“;”或回車鍵分隔；每行中的元素用“,”或空格分隔；矩陣中的元素可以是數(shù)字或者表達式；如果矩陣中沒有元素，這樣的矩陣稱為空陣（Empty Matrix）。第2頁，共52頁?！纠?】矩陣的分行輸入A=1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9 顯示結果如下：A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a=1； b=2； c=3；x=5

2、 b c； a*b a+c c/bx= 5.000 2.000 3.000 2.000 4.000 1.500【例2】命令窗口中輸入y=2 4 5；3 6 8 y= 2 4 5 3 6 8第3頁，共52頁。 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b=1 sin(pi/6) sqrt(9)3+5 6 0b = 1.0000 0.5000 3.0000 8.0000 6.0000 0第4頁，共52頁。3.1.2 利用內(nèi)部函數(shù)產(chǎn)生矩陣 1. 利用內(nèi)部函數(shù)可以很容易生成一些常見的特殊矩陣，常用函數(shù)如下：eye(m,n)產(chǎn)生單位矩陣zeros(m,n)產(chǎn)生元素

3、全為0的矩陣ones(m,n)產(chǎn)生元素全為1的矩陣rand(m,n)產(chǎn)生均勻分布的隨機元素矩陣，范圍01randn(m,n)產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機元素矩陣diag(x)產(chǎn)生矩陣x的對角陣說明：當eye、zeros、ones、rand、randn函數(shù)只有一個參數(shù)n時，則產(chǎn)生nn的方陣。第5頁，共52頁。 eye(3)ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 eye(3,4)ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 zeros(3)ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ones(3,4)ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a=magic(3)a

4、 = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 diag(a)ans = 8 5 2第6頁，共52頁。例如：eye(2，3)ans= 1 0 0 0 1 0zeros(2，3)ans= 0 0 0 0 0 0ones(2，3)ans= 1 1 1 1 1 1eye(2)ans= 1 0 0 1zeros(2)ans= 0 0 0 0ones(2)ans= 1 1 1 1第7頁，共52頁。3.1.3 數(shù)組的構建 在MATLAB中數(shù)組可以看作行向量，即只有一行的矩陣，MATLAB創(chuàng)建數(shù)組可用以下特殊命令：1. 冒號生成法（初值：步長：終值） 0:0.4:2ans = 0 0.4000 0.8000 1.

5、2000 1.6000 2.0000初值=0，終值=2，步長=0.4，步長若省略，默認間隔1 a=1:4;b=1:2:7; c=a bc = 1 2 3 4 1 3 5 7 d=a 9 10d = 1 2 3 4 9 10第8頁，共52頁。2. linspace函數(shù) linspace(a,b,n)差值=(b-a)/(n-1) a=linspace(0,1,4)a = 0 0.3333 0.6667 1.0000初值=0，終值=1，元素個數(shù)=43. logspace函數(shù) logspace(a,b,n)公比=10(b-a)/(n-1) logspace(0,2,5)ans = 1.0000 3.1

6、623 10.0000 31.6228 100.0000初值=100，終值=102，元素個數(shù)=5，公比=100.53.1.4 從外部的數(shù)據(jù)文件中導入矩陣第9頁，共52頁。3.2 矩陣的元素3.2.1 矩陣元素的下標表示 1. 全下標表示 一個mn矩陣A的第i行，第j列元素表示為A(i,j)，即由行下標和列下標表示，行列數(shù)從1開始。注意：當給元素賦值時，如果超出矩陣范圍，則自動擴充矩陣；當取值時，若超出矩陣范圍，則提示錯誤。 a=1 2;3 4; a(1,2)=9; a(2,3)=8; aa = 1 9 0 3 4 8 a(2,4)? Index exceeds matrix dimension

7、s.第10頁，共52頁。2. 單下標表示 將矩陣的所有列按從左到右的順序接成“一維長列”，然后對元素進行編號。一個mn矩陣A的元素A(i,j)對應的下標為(j-1)*m+i。 a=1 2 3;4 5 6; a(1,2)ans = 2 a(3)ans = 2 a(5)=10a = 1 2 10 4 5 6第11頁，共52頁。3.2.2 子矩陣 1. 全下標表示（1）a(i j, k l) ：行數(shù)為i、j，列數(shù)為k、l的元素構成子矩陣（2）a(i:j, k:l) ：取行數(shù)為ij，列數(shù)為kl的元素構成的子矩陣（3）a(i:j, :)：取行數(shù)為ij，所有列的元素構成的子矩陣（4）a(end, k:j)

8、：取行數(shù)最大值，列數(shù)為kj的元素構成的子矩陣2. 單下標表示a(i j; k l)：取單下標為i、j、k、l的元素構成子矩陣。第12頁，共52頁。 a=magic(5)a = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 a(1 2,3 4)ans = 1 8 7 14 a(1:2,3:5)ans = 1 8 15 7 14 16 a(1:2,:)ans = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 a(end,1:2)ans = 11 18 a(1 3;4 5)(取單下標為1、2、3、5的元素構成

9、子矩陣)ans = 17 4 10 11第13頁，共52頁。3.2.3 矩陣元素的刪除 刪除矩陣元素可以簡單的將該元素賦值為空矩陣（用 表示）。 a=rand(3,4)a = 0.4565 0.4447 0.9218 0.4057 0.0185 0.6154 0.7382 0.9355 0.8214 0.7919 0.1763 0.9169 a(2)=（把第2個元素賦值為空）a = Columns 1 through 6 0.4565 0.8214 0.4447 0.6154 0.7919 0.9218 Columns 7 through 11 0.7382 0.1763 0.4057 0.9

10、355 0.9169第14頁，共52頁。3.2.4 矩陣元素的數(shù)量1. numel函數(shù) n=numel(a)：計算矩陣a中元素的總數(shù)2. size函數(shù)d=size(a) ：d=m n，m為a的行數(shù)，n為a的列數(shù)m n=size(a)： m為a的行數(shù)，n為a的列數(shù)m=size(a,dim)：m為矩陣a的第dim維元素的數(shù)量（1表示列，2表示行） a=rand(2,3)a = 0.2844 0.0648 0.5828 0.4692 0.9883 0.4235 d=size(a)d = 2 3 m=size(a,2)（第2行元素的數(shù)量）m = 3 numel(a)ans = 6第15頁，共52頁。3

11、.3 矩陣與數(shù)組運算MATLAB算術運算矩陣算術運算數(shù)組算術運算矩陣算術運算：按照線性代數(shù)運算法則定義數(shù)組算術運算：按照元素逐個執(zhí)行第16頁，共52頁。3.3.1 矩陣的運算 + 加法 - 減法 * 乘法 冪 左除 / 右除 轉置1. 矩陣的加減法 矩陣的加減法是對應元素的加減法，只有當兩個矩陣維數(shù)相同或者其中一個為標量時，才可以進行加減法運算。 a=1 2;3 4; b=5 6;7 8; a+bans = 6 8 10 12 3+aans = 4 5 6 7 b-3ans = 2 3 4 5第17頁，共52頁。2. 矩陣的乘法 矩陣的乘法使用“*”運算符，兩個矩陣要相乘，只有當前一矩陣的列數(shù)

12、與后一矩陣行數(shù)相等或者其中一個為標量時才能進行。 a=1 2;3 4; b=5 6 7;8 9 10; a*bans = 21 24 27 47 54 61 b*a? Error using = *Inner matrix dimensions must agree. 3*aans = 3 6 9 12第18頁，共52頁。3. 矩陣的除法 矩陣的除法有左除和右除兩種，分別用“”和“/”表示。通常矩陣除法可以用來求未知矩陣。 若 A*X=B，則 X=AB 若 X*A=B，則 X=B/A a=1 2;3 4; b=5 6 7;8 9 10; c=a*bc = 21 24 27 47 54 61 a

13、cans = 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 c/bans = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000第19頁，共52頁。例：求解以下方程 A=1 3 2;2 2 3;3 1 1A = 1 3 2 2 2 3 3 1 1 B=1;10;7B = 1 10 7 ABans = 2 -3 4第20頁，共52頁。4. 矩陣的乘方 矩陣的乘方使用“”運算符，如AP，當P為整數(shù)時，該指令運算結果可做如下解釋：當P0，表示方陣A直接自乘P次；當P a=1 2;3 4a = 1 2 3 4 a2ans = 7 10 15 22 a0ans

14、 = 1 0 0 1 a(-2)ans = 5.5000 -2.5000 -3.7500 1.7500第21頁，共52頁。5. 矩陣的轉置 矩陣的轉置使用“”運算符，矩陣的轉置就是將第i行第j列的元素和第j行第i列的元素進行互換。 對于有復數(shù)元素的矩陣A，A為共軛轉置，A.為非共軛轉置。 a=1 2;3 4a = 1 2 3 4 aans = 1 3 2 4 a=1+i 2+i;3+i 4+i; aans = 1.0000 - 1.0000i 3.0000 - 1.0000i 2.0000 - 1.0000i 4.0000 - 1.0000i a.ans = 1.0000 + 1.0000i

15、3.0000 + 1.0000i 2.0000 + 1.0000i 4.0000 + 1.0000i第22頁，共52頁。6. 矩陣的逆（inv） 在MATLAB中，使用函數(shù)inv計算矩陣的逆矩陣。A是可逆矩陣的充分必要條件是|A|0，即可逆矩陣是非奇異方陣。 a=magic(3)a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 inv(a)ans = 0.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889 -0.1028 a*inv(a)ans = 1.0000 0 -0.0000 -0.0000 1.0000 0 0.0000 0 1.

16、0000 a(-2)ans = 0.0293 -0.0124 -0.0124 -0.0124 0.0293 -0.0124 -0.0124 -0.0124 0.0293 inv(a2)ans = 0.0293 -0.0124 -0.0124 -0.0124 0.0293 -0.0124 -0.0124 -0.0124 0.0293第23頁，共52頁。7. 方陣的行列式（det） 方陣和行列式是兩個不同的概念，n階方陣是n2個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，n階行列式則是這些數(shù)按一定的運算法則確定的一個數(shù)。在MATLAB中，求方陣的行列式的函數(shù)是det。 a=magic(3)a = 8 1 6 3 5

17、7 4 9 2 det(a)ans = -360第24頁，共52頁。8. 矩陣的特征值（eig） 在MATLAB中，以函數(shù)eig計算矩陣的特征值，并以向量的形式存放。 如果AX=X存在非零解向量，則稱為A的一個特征值，相應的非零解向量X稱為與相對應的特征向量。 G=1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1; eig(G)ans = 3.7321 0.2679 1.0000 p,q=eig(G)p = -0.2440 -0.9107 0.4472 -0.3333 0.3333 0.0000 -0.9107 -0.2440 0.8944q = 3.7321 0 0 0 0.2679 0 0 0

18、 1.0000第25頁，共52頁。9. 矩陣的特征多項式（poly） 在MATLAB中，以函數(shù)poly計算矩陣的特征多項式。 設A為n階方陣，如果和n維非零列向量X使關系式AX= X成立，那么（A-E）X=0稱為矩陣A的特征方程，| A- E |稱為方陣A的特征多項式。 a=-2 1 1; 0 2 0;-4 1 3; poly(a)ans = 1 -3 0 4 roots(ans)ans = 2.0000 + 0.0000i 2.0000 - 0.0000i -1.0000 eig(a)ans = -1 2 2第26頁，共52頁。10. 矩陣的秩（rank） 在MATLAB中，以函數(shù)rank計

19、算矩陣的秩。 設在矩陣A中存在一個不等于0的r階子式D，且所有（r+1）階子式全為0，那么稱D為方陣A的最高階非零子式，r為矩陣A的秩。 a=magic(4)a = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 rank(a)ans = 3 det(a)ans = 0第27頁，共52頁。3.3.2 數(shù)組的運算 .+ 加法 .- 減法 .* 乘法 . 冪 . 左除 ./ 右除 . 轉置 數(shù)組的運算操作都是對元素逐個進行的。數(shù)組運算符與矩陣運算符的區(qū)別便是多一個小黑點。 a=1 2 3; b=4 5 6; a.*bans = 4 10 18 a.2ans = 1 4

20、 9 a.bans = 4.0000 2.5000 2.0000 a=1+j 2+j 3+ja = 1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 1.0000i 3.0000 + 1.0000i a. (轉置)ans = 1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 1.0000i 3.0000 + 1.0000i第28頁，共52頁。 a=ones(3); b=magic(3)b = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 a*bans = 15 15 15 15 15 15 15 15 15 a.*bans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 b2 (對矩陣求平方）ans = 9

21、1 67 67 67 91 67 67 67 91 b.2(對元素求平方）ans = 64 1 36 9 25 49 16 81 4第29頁，共52頁。3.4 矩陣關系運算與邏輯運算說明：（1）表達式輸入：非0“邏輯真”，0“邏輯假”（2）表達式輸出：1“邏輯真”，0“邏輯假”3.4.1 關系運算兩個維數(shù)相同的矩陣進行比較：相對應元素進行比較，結果為一個同維數(shù)矩陣；矩陣和標量進行比較：標量和矩陣中的每一個元素進行比較，結果為一個同維數(shù)矩陣。第30頁，共52頁。關系操作符=大于等于大于=等于 a=1 2; 3 4; b=1 3; 4 4; a abans = 0 0 0 0 a=bans = 1

22、 0 0 1 a=2ans = 0 1 0 0 a=bans = 1 1 1 1 、=僅比較實部，而=、=同時比較實部和虛部。第31頁，共52頁。3.4.2 邏輯運算 如果A和B是維數(shù)相同的矩陣，或者其中一個是標量，則可以對矩陣進行邏輯運算。與A&B或and(A,B)或A|B或or(A,B)非A或not(A)異或xor(a,b) a=0 1 0 1; b=0 1 1 0; and(a,b)ans = 0 1 0 0 a&bans = 0 1 0 0 a|bans = 0 1 1 1 xor(a,b)ans = 0 0 1 1 a&1ans = 0 1 0 1第32頁，共52頁。3.5 各種運算

23、符的優(yōu)先級 MATLAB對各種運算的優(yōu)先級別做了規(guī)定。計算時，遵守的規(guī)定是較高優(yōu)先級先于較低優(yōu)先級，相同優(yōu)先級遵從從左到右原則。優(yōu)先級運算符最高( ).、.、.*、*、./、 /、.、+、-:、=、=、=&最低|第33頁，共52頁。 x=5;y=3;z=2; X=ones(3); Y=magic(3)Y = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Z=zeros(3); a=x2*(X+Y)+za = 227 52 177 102 152 202 127 252 77 b=Y&Z+xb = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c=Y=Z+X=Y*xc = 0 0 0 0 0 0 0 0 0第34頁

24、，共52頁。3.6 基本統(tǒng)計處理3.6.1 查最大值（max）1. C=max(A) 返回矩陣A各列的最大值；若A為向量，返回該向量的最大值。2. C,I= max(A) 將矩陣A各列中的最大元素值及其該元素的位置賦予行向量C與I，當A是向量時，C、I是標量。3. C,I= max(A,dim) 按矩陣A的第dim維的方向查取最大的元素及其該元素的位置賦予向量C與I。若dim=1，按列操作；若dim=2，按行操作。第35頁，共52頁。 x=2 4 7 4 8 3; m=max(x)m = 8 m,n=max(x)m = 8n = 5 x=3 5 1; 9 4 6; max(x)ans = 9

25、5 6 m,n=max(x)m = 9 5 6n = 2 1 2 m,n=max(x,1)m = 9 5 6n = 2 1 2 m,n=max(x,2)m = 5 9n = 2 1第36頁，共52頁。3.6.2 查取最小值（min） min函數(shù)用來求取數(shù)據(jù)序列中的最小值，使用方法和max函數(shù)相同。3.6.3 求中值（median）1. Y=median（X）：返回矩陣X各列元素的中值賦予行向量Y；若X為向量，Y為標量。2. Y=median（X,dim）：將數(shù)組X的第dim維方向的元素求其中值賦予向量Y；若dim=1，按列操作（默認），若dim=2，按行操作。 x=3 5 1; 9 4 6;

26、median(x)ans = 6.0000 4.5000 3.5000 median(x,2)ans = 3 6第37頁，共52頁。3.6.4 求和（sum）1. Y=sum（X）：返回矩陣X各列元素的和賦予行向量Y；若X為向量，Y為標量。2. Y=sum（X,dim）：將數(shù)組X的第dim維方向的元素的和賦予向量Y；若dim=1，按列操作，若dim=2，按行操作。 x=3 5 1; 9 4 6; sum(x)ans = 12 9 7 sum(ans)ans = 28 sum(x,2)ans = 9 19第38頁，共52頁。3.6.5 求平均值（mean）1. Y=mean（X）：返回矩陣X各列

27、元素的平均值賦予行向量Y；若X為向量，Y為標量。2. Y=mean（X,dim）：將數(shù)組X的第dim維方向的元素的平均值賦予向量Y；若dim=1，按列操作，若dim=2，按行操作。 a=1 2 3;4 5 6a = 1 2 3 4 5 6 mean(a)ans = 2.5000 3.5000 4.5000 mean(a,2)ans = 2 5第39頁，共52頁。3.6.6 求積（prod）1. Y=prod（X）：返回矩陣X各列元素的積賦予行向量Y；若X為向量，Y為標量。2. Y=prod（X,dim）：將數(shù)組X的第dim維方向的元素的積賦予向量Y；若dim=1，按列操作，若dim=2，按行操

28、作。 a=1 2 3;4 5 6a = 1 2 3 4 5 6 prod(a)ans = 4 10 18 prod(a,2)ans = 6 120第40頁，共52頁。3.6.7 排序（sort）1. Y=sort（X）：將矩陣X的各列元素升序排列。2. Y=sort(X,dim)：將矩陣X的第dim維元素升序排列；若dim=1，按列操作，若dim=2，按行操作。3. Y = sort(X,mode)：按照mode模式對矩陣X進行排列，若mode為ascend表示升序排列，若mode為descend表示降序排列。 x=3 7 5; 6 8 3; 0 4 2; sort(x)ans = 0 4 2

29、 3 7 3 6 8 5 sort(x,2)ans = 3 5 7 3 6 8 0 2 4 sort(x,2,descend)ans = 7 5 3 8 6 3 4 2 0第41頁，共52頁。3.7 多項式運算 多項式是形如p(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an的式子，在MATLAB中，多項式用行向量表示P=a0 a1an-1 an。3.7.1 多項式的創(chuàng)建1. 直接輸入系數(shù) 直接輸入向量，MATLAB將按降冪自動將向量的元素分配給多項式各項的系數(shù)，該向量可以是行向量或列向量。 P=3 5 0 1 0 12; y=poly2sym(P) y = 3*x5+5*x4+x2+12第4

30、2頁，共52頁。2. 由多項式的根逆推多項式 若已知某多項式的根，可用poly函數(shù)反推出與其相對應的多項式。 root=-4 -2+2i -2-2i 5root = -4.0000 -2.0000+2.0000i -2.0000-2.0000i 5.0000 p=poly(root)p = 1 3 -16 -88 -160 poly2sym(p)ans =x4+3*x3-16*x2-88*x-160第43頁，共52頁。3.7.2 多項式的運算1. 多項式的求值（1）代數(shù)多項式求值：polyval函數(shù) polyval（P,X）計算向量P為系數(shù)的多項式在點X的值，如果X是矩陣或者向量，該命令對X的

31、每個元素都進行計算。（2）矩陣多項式求值：polyvalm函數(shù) Y=polyvalm（P,X）計算向量P為系數(shù)的多項式在矩陣X的值，向量X必須為方陣。Y=P(1)Xn+P(2)Xn-1+P(N)X+P(N+1)I第44頁，共52頁。 p=1 2 3; poly2sym(p) ans = x2+2*x+3 a=1 2;3 4; polyval(p,2)ans = 11 polyval(p,a)ans = 6 11 18 27 polyvalm(p,a)ans = 12 14 21 33 b=1 2 3;4 5 6; polyvalm(p,b)? Error using = polyvalmMat

32、rix must be square.第45頁，共52頁。2. 多項式的根 求多項式的根，即求使多項式為零的值。設多項式由行向量p表示，其系數(shù)按降序排列，使用roots函數(shù)計算多項式的根，格式為roots（p）。例：計算多項式x4+3x2+12x-7的根。 p=1 0 3 12 -7p = 1 0 3 12 -7 roots(p)ans = 0.7876 + 2.4351i 0.7876 - 2.4351i -2.0872 0.5121 polyval(p,ans)ans = 1.0e-013 * -0.0178 + 0.8793i -0.0178 - 0.8793i 0.1954 0 第46頁，共52頁。3. 多項式的四則運算（1）加法和減法 如果兩個多項式的向量階數(shù)相同，可直接進行加減法計算；如果向量階數(shù)不同，不能直接進行運算，需要在低階多項式的前面補0，使其具有相同的階數(shù)。 a=8 2 2 8;b=6 1 6 1; poly2sym(a) ans = 8*x3+2*x2+2*x+8 poly2sym(b) ans = 6*x3+x2+6*x+1 c=a+bc = 14 3 8 9 poly2sym(c)ans =14*x3+3*x2+8*x+9 d=a-bd = 2 1 -4 7 poly2sym(d)ans =2*x3+x2-