1、第四章導熱問題的數(shù)值解法第1頁，共39頁。1 、重點內(nèi)容： 掌握導熱問題數(shù)值解法的基本思路； 利用熱平衡法和泰勒級數(shù)展開法建立節(jié)點的離散方程。2 、掌握內(nèi)容：數(shù)值解法的實質(zhì)。 3 、了解內(nèi)容：了解非穩(wěn)態(tài)導熱問題的兩種差分格式及其穩(wěn)定性。 第2頁，共39頁。 求解導熱問題實際上就是對導熱微分方程在定解條件下的積分求解，從而獲得分析解。隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，對物理問題進行離散求解的數(shù)值方法發(fā)展得十分迅速，這些數(shù)值解法主要有以下幾種： （1）有限差分法 （2）有限元方法 （3）邊界元方法 第3頁，共39頁。分析解法與數(shù)值解法的異同點： 相同點：根本目的是相同的，即確定 t=f(x ， y ， z

2、) ； 。 不同點：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時間空間坐標系中離散點的溫度分布代替連續(xù)的溫度場；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場的分布特征，而不是分散點的數(shù)值。 第4頁，共39頁。數(shù)值解法的實質(zhì) 對物理問題進行數(shù)值解法的基本思路可以概括為：把原來在時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量的場，如導熱物體的溫度場等，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點上被求物理量的值。該方法稱為數(shù)值解法。 這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。 第5頁，共39頁。4-1 導熱問題數(shù)值求解的基本思想 及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)

3、域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進初場是否物理問題的數(shù)值求解過程1第6頁，共39頁。二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導熱問題2 例題條件（a）第7頁，共39頁。（b）xynm(m,n)MN3 基本概念：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點、界面線、步長二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導熱問題第8頁，共39頁。 如圖（a）所示二維矩形域內(nèi)無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導熱問題采用數(shù)值解法的步驟如下： （1）建立控制方程及定解條件 針對圖示的導熱問題，它的控制方程（即導熱微分方程）為： 第9頁，共39頁。（2）區(qū)域離散化（確立節(jié)點） 用一系列與坐標軸平行的網(wǎng)格線

4、把求解區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，用網(wǎng)格線的交點作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點 ( 結(jié)點 ) ，節(jié)點的位置用該節(jié)點在兩個方向上的標號 m ， n 表示。 相鄰兩節(jié)點間的距離稱步長。 如圖 (b) 所示。 第10頁，共39頁。 （3）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程（離散方程） 節(jié)點上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。其過程如下： 首先劃分各節(jié)點的類型； 其次，建立節(jié)點離散方程； 最后，代數(shù)方程組的形成。 對節(jié)點 (m,n) 的代數(shù)方程，當 x=y 時，有： 第11頁，共39頁。（4） 設立迭代初場 代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時，需對被求

5、的溫度場預先設定一個解，這個解稱為初場，并在求解過程中不斷改進。 第12頁，共39頁。（5） 求解代數(shù)方程組 求解時遇到的問題： 線性； 非線性； 收斂性等。 如圖 （ b ），除 m=1 的左邊界上各節(jié)點的溫度已知外，其余 (M-1)N 個節(jié)點均需建立離散方程，共有 (M-1)N 個方程，則構(gòu)成一個封閉的代數(shù)方程組。 1 ）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項系數(shù)在整個求解過程中不再變化； 第13頁，共39頁。2 ）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項系數(shù) 在整個求解過程中不斷更新。 3 ）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所

6、得之解的偏差是否小于允許值。 第14頁，共39頁。（6） 解的分析 通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場應進一步計算通過的熱流量，熱應力及熱變形等。因此，對于數(shù)值分析計算所得的溫度場及其它物理量應作詳細分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。 第15頁，共39頁。4 建立離散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）級數(shù)展開法；(2) 多項式擬合法；(3) 控制容積積分法；(4) 控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)第16頁，共39頁。(1) 泰勒級數(shù)展開法根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點(i,j)的溫度ti,j來表示節(jié)點(i+1,j)而溫度ti+1,j用節(jié)點(i,j)的溫度ti,j來表示節(jié)點(

7、i-1,j)的溫度ti-1,j第17頁，共39頁。將上兩式相加可得將上式改寫成 的表達式，有同樣可得：表示未明確寫出的級數(shù)余項中的X的最低階數(shù)為2第18頁，共39頁。根據(jù)導熱問題的控制方程 ( 導熱微分方程 )若 x=y 則有 得第19頁，共39頁。(2) 控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：是傅里葉導熱定律和能量守恒定律的體現(xiàn)。對每個元體，可用傅里葉導熱定律寫出其能量守恒的表達式。如圖所示，從節(jié)點 (m-1,n) 通過界面 w 傳導到節(jié)點 (m,n) 的熱流量： 同理：通過界面 e,n,s 傳導給節(jié)點（ m,n ）的熱流量也可求得（省略）第20頁，共39頁。對元體 (m,n). 根據(jù)能量守恒

8、定律可知： 其中，規(guī)定：導入元體（ m,n ）的熱流量為正；導出元體（ m,n ）的熱流量為負。 第21頁，共39頁。說明： 上述分析與推導是在笛卡兒坐標系中進行的； 熱平衡法概念清晰，過程簡捷； 熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體。 第22頁，共39頁。4-2 邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解 對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。 而對于第二類或第三類邊界條件的導熱問題，所有內(nèi)節(jié)點的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度

9、，因而應對位于該邊界上的節(jié)點補充相應的代數(shù)方程，才能使方程組封閉，以便求解。 為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。為使結(jié)果更具一般性，假設物體具有內(nèi)熱源 ( 不必均勻分布 ) 。第23頁，共39頁。如圖所示 邊界節(jié)點 (m,n) 只能代表半個元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為 ，據(jù)能量守恒定律對該元體有： 1.邊界節(jié)點離散方程的建立：(1) 平直邊界上的節(jié)點第24頁，共39頁。xyqw第25頁，共39頁。(2) 外部角點如圖所示，二維墻角計算區(qū)域中，該節(jié)點外角點僅代表 1/4 個以 為邊長的元體。假設邊界上有向該

10、元體傳遞的熱流密度為 ，則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為： 第26頁，共39頁。xyqw第27頁，共39頁。(3) 內(nèi)部角點如圖所示內(nèi)部角點代表了 3/4 個元體，在同樣的假設條件下有第28頁，共39頁。xyqw第29頁，共39頁。討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況： （1）絕熱邊界即令上式 即可。 （2） 值不為零流入元體， 取正，流出元體， 取負使用上述公式 （3）對流邊界此時 ，將此表達式代入上述方程，并將此項中的 與等號前的 合并。對于 的情形有第30頁，共39頁。（a）平直邊界（b）外部角點（c）內(nèi)部角點第31頁，共39頁。2 代數(shù)方程的求解方法 2） 迭代法：先對要計算的場作出假設（設定

11、初場），在迭代計算中不斷予以改進，直到計算前的假定值與計算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱迭代計算收斂。1） 直接解法：通過有限次運算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。 第32頁，共39頁。2 迭代法目前應用較多的是： 1 ）高斯賽德爾迭代法：每次迭代計算，均是使用節(jié)點溫度的最新值。 2 ）用雅可比迭代法：每次迭代計算，均用上一次迭代計算出的值。 第33頁，共39頁。設有一三元方程組： 其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是已知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。第34頁，共39頁。采用高斯賽德爾迭代法的步驟： （1）將三元方程變形為迭式方程： 第35頁，共39頁。（2）假設一組解（迭代初場），記為： 并代入迭代方程求得第一 次解 每次計算均用最新值代入。 （3）以新的初場 重復計算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，則稱迭代收斂，計算終止。 第36頁，共39頁。判斷迭代是否收斂的準則：k及k+1表示迭代次數(shù)；第k次迭代得到的最大值當有接近于零的t 時，第三個較好第37頁，共39頁。說明： 1 ）對于一個代數(shù)方程組，若選用的迭代方式不合適，有可能導致發(fā)散，即稱迭代過